2020年第十六屆“無悔金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題(小學(xué)組-深圳)

2011年第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題（小學(xué)組-深圳）一、填空（每題10分，共80分）1．（10分）…++…++…++＝．2．（10分）甲車從A出發(fā)駛向B，往返來回；乙車從B同時出發(fā)駛向A，往返來回．兩車第一次相遇后，甲車繼續(xù)行駛4小時到達B，乙車繼續(xù)行駛1小時到達A．若A，B兩地相距100千米，那么當(dāng)甲車第一次到達B時，乙車的位置距離A千米．3．（10分）每個鉛字上刻有一個數(shù)碼．如果印刷十二頁書，所用的頁碼鉛字要以下15個：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．現(xiàn)要印刷一本新書，從庫房領(lǐng)出頁碼鉛字共2011個，排版完成后有剩余．那么，這本書最多有頁．最少剩余個鉛字．4．（10分）一列數(shù)：8，3，1，4，．…，從第三個開始，每個數(shù)都是最靠近它前兩個數(shù)的和的個位數(shù)．那么第2011個數(shù)是．5．（10分）編號從1到50的50個球排成一行，現(xiàn)在按照如下方法涂色：（1）涂2個球；（2）被涂色的2個球的編號之差大于2．如果一種涂法被涂色的兩個球與另一種涂法被涂色的兩個球至少有一個是不同號的，這兩種涂法就稱為”不同的”．那么不同的涂色方法有種．6．（10分）A，B兩地相距100千米．甲車從A到B要走m個小時，乙車從A到B要走n個小時，m，n是整數(shù)．現(xiàn)在甲車從A，乙車從B同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時在途中C點相遇．若甲車已經(jīng)走過路程的一半，那么C到A路程是7．（10分）自然數(shù)b與175的最大公約數(shù)記為d．如果176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，則b＝8．（10分）如圖．ABCD為平行四邊形．AE＝2EB．若三角形CEF的面積＝1．那么，平行四邊形ABCD的面積＝千米．．．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）第1頁（共11頁）9．（10分）三位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和等于百位數(shù)字的數(shù)，稱為”好數(shù)”．共有多少個好數(shù)？10．（10分）在下列2n個數(shù)中，最多能選出多少個數(shù)，使得被選出的數(shù)中任意兩個數(shù)的比都不是2或？3，3×2，3×22，3×2，3×2，3×2，…，3×2．5342n1﹣11．（10分）一個四位數(shù)和它的反序數(shù)都是65的倍數(shù)．求這個數(shù)．12．（10分）用寫有+1和﹣1的長方塊放在10×n方格中，使得每一列和每一行的數(shù)的乘積都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．（15分）十五個盒子，每個盒子裝一個白球或一個黑球，且白球不多于12個．你可以任選三個盒子來提問：“這三個盒子中的球是否有白球？”并得到真實的回答．那么你最少要問多少次，就能找出一個或更多的白球？14．（15分）求與2001互質(zhì)，且小于2001的所有自然數(shù)的和．第2頁（共11頁）2011年第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題（小學(xué)組-深圳）參考答案與試題解析一、填空（每題10分，共80分）1．（10分）…++…++…++＝95．【分析】根據(jù)數(shù)字特點，把分母相同的分數(shù)相加，原式變?yōu)?（+）+（++）+…+（++…+）+（++…+），然后把每個括號內(nèi)的數(shù)字算出來，在運用乘法分配律以及高斯求和公式簡算即可．【解答】解：（++…+）+（+…+）+…+（+）+＝+（+）+（++）+…+（＝+1+1+…+9+9++…+）+（++…+）＝×（1+2+3+…+19）＝×[（1+19）×19÷2]＝×190＝95故答案為：95．2．（10分）甲車從A出發(fā)駛向B，往返來回；乙車從B同時出發(fā)駛向A，往返來回．兩車第一次相遇后，甲車繼續(xù)行駛4小時到達B，乙車繼續(xù)行駛1小時到達A．若A，B兩地相距100千米，那么當(dāng)甲車第一次到達B時，乙車的位置距離A100千米．【分析】設(shè)甲車車速為v1，乙車車速為v．根據(jù)路程比等于速度的比可得出第一次相遇2時兩車的路程比，再根據(jù)兩車第一次相遇后，甲車繼續(xù)行駛4小時到達B，乙車繼續(xù)行駛1小時到達A，再求出兩車行駛的路程，因為路程互換，從而求出速度的比，再根據(jù)速度的比求出當(dāng)甲車第一次到達B時，乙車行駛的路程得出乙車距離A的路程．【解答】解：，乙車車速為v．設(shè)甲車車速為v12如圖，第一次相遇在C點，則第3頁（共11頁）＝，，BC＝4v，＝，v＝2v，21而AC＝v21所以，當(dāng)甲車第一次到達B時，乙車的位置在B處，距離A100千米．故答案為：100．3．（10分）每個鉛字上刻有一個數(shù)碼．如果印刷十二頁書，所用的頁碼鉛字要以下15個：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．現(xiàn)要印刷一本新書，從庫房領(lǐng)出頁碼鉛字共2011最多有706頁．最少剩余1個鉛字．【分析】分別求出前9頁頁到999頁【解答】解：前9頁到99頁用2個鉛字，99頁共用，9+（100﹣10）×2＝189到999頁用3個鉛字一頁100頁共用189+3設(shè)一共有k頁（k﹣99）＜2011，3k＜2011+297﹣189答．這本書最多706頁個，排版完成后有剩余．那么，這本書用多少個鉛字，從第10頁到第99頁每頁用幾個鉛字，從第100每頁用多少個鉛字，再進行解答．用9個鉛字，從第10頁每頁（個）從第100頁每頁，個鉛字，，根據(jù)題意得189+3＝2119＝3×706+1．．最少剩余1個鉛字．4．（10分）一列數(shù)：8，3，1，4，．…，從第三個開始，每個數(shù)都是最靠近它前兩個數(shù)的和的個位數(shù)．那么第2011個數(shù)是2．【分析】繼續(xù)將數(shù)列寫下去，會發(fā)現(xiàn)60個數(shù)為一個周期，然后2011除以60得33余31，即第2011個數(shù)和第31個數(shù)相同，據(jù)此即可解答．【解答】解．寫下這列數(shù)的前若干個數(shù)：8，3，1，4，5，9，4，3，7，0，7，7，4，1，5，6，1，7，8，5，3，8，1，9，0，9，9，8，7，5，2，7，9，6，5，1，6，7，3，0，3，3，6，9，5，4，9，3，2，5，7，2，9，1，0，1，1，2，3，5，8，3，…．第一個數(shù)＝第61個數(shù)，第二個數(shù)＝第62個數(shù)，…60為數(shù)的出現(xiàn)的周期．第4頁（共11頁）2011＝33×60+31，第31個數(shù)是2．所以第2011個數(shù)是2．5．（10分）編號從1到50的50個球排成一行，現(xiàn)在按照如下方法涂色：（1）涂2個球；（2）被涂色的2個球的編號之差大于2．如果一種涂法被涂色的兩個球與另一種涂法被涂色的兩個球至少有一個是不同號的，這兩種涂法就稱為”不同的”．那么不同的涂色方法有1128種．【分析】第一個球涂色，另一個球從4號開始到第50號分別涂色，有47種方法；第二個球涂色，另一個球從5號開始到第50號，有46種涂法，…第47個球涂色，另一個球只有第50號涂色；根據(jù)加法原理，即可得解．【解答】解：設(shè)被涂色的球中的小號碼為K，1≤K≤50﹣3＝47，則另一個被涂色的求的號碼可能是K+3，…50；一共有50﹣（K+2）＝48﹣K種不同涂法，K可以取值1，2，…47；那么總共有：（48﹣1）+（48﹣2）+（48﹣3）+…+（48﹣47）＝1+2+…+47＝（1+47）÷2×47＝24×47＝1128答：那么不同的涂色方法有1128種．故答案為：1128．6．（10分）A，B兩地相距100千米．甲車從A到B要走m個小時，乙車從A到B要走n個小時，m，n是整數(shù)．現(xiàn)在甲車從A，乙車從B同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時在途中C點相遇．若甲車已經(jīng)走過路程的一半，那么C到A路程是83千米．【分析】根據(jù)甲車從A，乙車從B同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時在途中C點相遇可得＝5，則+＝．令m＝5+p，n＝5+q．即+＝，將分式方程去分母可得5（5+p+5+q）＝（5+p）（5+q），化簡得50+5（p+q）＝25+5（p+q）+pq，pq＝25，由于m，n是整數(shù)，所以設(shè)出mn的值，看是否符合要求即可解答．第5頁（共11頁）【解答】解：＝5，則+＝．令m＝5+p，n＝5+q．則：+＝，5（5+p+5+q）＝（5+p）（5+q），（p+q）+pq，50+5（p+q）＝25+5pq＝25，（1）p＝5，q＝5，m＝10，AC＝5×（2）p＝25，q＝1，m＝30，AC＝5×AB＝AB；不滿足要求．AB＝AB，不滿足要求．（3）p＝1，q＝25，m＝6，AC＝5×AB＝AB＝所以C到A路程是83千米．故答案為：83．＝83千米＞AB，滿足要求．7．（10分）自然數(shù)b與175的最大公約數(shù)記為d．如果176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，則b＝385．【分析】因為b與175的最大公約數(shù)記為d，所以d與175是倍數(shù)關(guān)系，把175分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)5d+1＝176，176比175多1，由此可以求出d的值．然后把d的值代入176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，即可求出b的值．【解答】解：因為b與175的最大公約數(shù)記為d，d必為175的約數(shù)，而175＝5×5×7，所以d只能取1，5，7，25，35，175；另外由176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1可知b﹣11×d+1為非0自然數(shù)，即b﹣11d+1≥1，因此5d+1≥176?d≥35．所以d＝35或175．以d＝35代入176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，得b＝385．以d＝175代入176×（b﹣11×d+1）＝5×d+1，得176×（b﹣11×175+1）＝5×175+1＝876，即44×（b﹣11×175+1所以d＝175不合要求．所以b＝385．）＝219，左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾！故答案為：385．第6頁（共11頁）8．（10分）如圖．ABCD為平行四邊形．AE＝2EB．若三角形CEF的面積＝1．那么，平行四邊形ABCD的面積＝5．：S△＝AF：FC＝AE：DC＝2：3，則S＝，S△△＝+1＝，AEC【分析】S△AEFCEFAEF，進而求得平行四邊形ABCD的面積．同理可求S△ABC：S△＝AF：FC＝AE：DC＝2：3，則S＝，S＝+1＝，AEFAEC【解答】解：S△AEFCEF△△S△：S△＝AE：EB＝2：1，則S＝，S＝+＝，BECBECABCAEC△△S＝5＝2S△ABC?ABCD答：平行四邊形ABCD的面積5；故答案為：5．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）三位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和等于百位數(shù)字的數(shù)，稱為”好數(shù)”．共有多少個好數(shù)？【分析】為解答方便，我們不妨按百位數(shù)黑豆網(wǎng)黑豆網(wǎng)涵蓋電影，電視劇，綜藝，動漫等在線觀看資源！金馬醫(yī)藥招商網(wǎng):金馬醫(yī)藥招商網(wǎng)是專業(yè)提供醫(yī)藥代理招商的資訊信息發(fā)布平臺，科技新聞網(wǎng):科技新聞網(wǎng)每天更新最新科技新聞,權(quán)威的科技新聞資料。頭號新聞網(wǎng):聞資訊分類計數(shù)，百位數(shù)＝1，十位數(shù)＝0，1，共2個；百位數(shù)＝2，十位數(shù)＝0，1，2，共3個；…，百位數(shù)＝k，十位數(shù)＝0，…，k，共k+1個；據(jù)此解答．【解答】解．按百位數(shù)分類計數(shù)：頭號新聞網(wǎng)為您及時提供科技、互聯(lián)網(wǎng)等相關(guān)領(lǐng)域的新百位數(shù)＝1，十位數(shù)＝0，1，個位數(shù)字＝1，0，共2個；百位數(shù)＝2，十位數(shù)＝0，1，2，個位數(shù)字＝2，1，0，共3個；百位數(shù)＝3，十位數(shù)＝0，1，2，3，個位數(shù)字＝3，2，1，0，共4個；第7頁（共11頁）…．百位數(shù)＝k，十位數(shù)＝0，…，k，共k+1個；因為0＜k＜10，因此k最大為9，因此k+1＝10．所以共有2+3+…+10＝54個．答：共有54個好數(shù)．10．（10分）在下列2n個數(shù)中，最多能選出多少個數(shù)，使得被選出的數(shù)中任意兩個數(shù)的比都不是2或？3，3×2，3×22，3×2，3×2，3×2，…，3×2．5342n1﹣【分析】運用反證法，假設(shè)選出的數(shù)多于n個，那么就可以從中挑出n+1個，通過論證，得出矛盾的結(jié)論．據(jù)此解答．【解答】解：最多可選出n個，如3，3×22，…3×22n﹣1．×3，2l×3，2l×3，…，如果選出的數(shù)多于n個，那么就可以從中挑出n+1個，如下：2l1232l×3，l＜l＜l＜…＜l．n+1123n+1．﹣l＝（l．﹣l）+（l﹣l）+…+（l﹣l）≥﹣＝2n．則2n﹣1＞ln+11n+1nnn1212n﹣1＞2n，不可能．因此選出的數(shù)不能多于n個．11．（10分）一個四位數(shù)和它的反序數(shù)都是65的倍數(shù)．求這個數(shù)．和它的反序數(shù)都是65的倍數(shù)，所以1000a+100b+10c+d≡1000d+100c+10b+a≡0（mod65）．通過推理，解決問題．b+a≡0（mod65）．【分析】因為一個四位數(shù)【解答】解：1000a+100b+10c+d≡1000d+100c+101001（a+d）+110（b+c）≡0（mod65）．7×11×13（a+d）+2×5×11（b+c）≡0（mod65）．65＝13×5．所以a+d＝5，10，15；b+c＝0，13．另一方面，1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100c+10b+a）＝999（a﹣d）+90（b﹣c）≡0（mod65）．所以a﹣d＝0，5或d﹣a＝5．由于a+d和a﹣d有相同的奇偶性，所以a＝d＝5．若b+c＝13，則：第8頁（共11頁）1000a+100b+10c+d＝5000+100b+10（13﹣b）+5＝5005b+90130＝65×79+65b+25b≡25b≡0（mod65）．所以25b≡0（mod13），b＝0，c＝13，不可能（c是數(shù)碼）．所以b+c＝b＝c＝0，1000c+d＝5005．故答案為：5005．a(chǎn)+100b+1012．（10分）用寫有+1和﹣1的長方塊放在10×n方格中，使得每一列和每一行的數(shù)的乘積都是正的，n的最小值是多少？【分析】由題意可得：每一列，每一行的﹣1的個數(shù)都是偶數(shù)個，所以，整個方格中的﹣1的個數(shù)是偶數(shù)個，而﹣1的個數(shù)就是長方塊的個數(shù)．所以可設(shè)有2m個長方塊．每個長方塊占2個格．當(dāng)長方塊放滿的時候，10n＝4m，5n＝2m，所以n＝2k，m＝5k，k＝1，2，3，…然后從最小的2開始進行討論，得出符合題意的答案．【解答】解：每一列，每一行的﹣1的個數(shù)都是偶數(shù)個，所以，整個方格中的﹣1的個數(shù)是偶數(shù)個，而﹣1的個數(shù)就是長方塊的個數(shù)．所以可設(shè)有2m個長方塊．每個長方塊占2個格．當(dāng)長方塊放滿的時候，10n＝4m，5n＝2m，所以n＝2k，m＝5k，k＝1，2，3，…最小的n＝2，但是，若n＝2，m＝5，長方塊不能水平放置，豎直放置5個長方塊，每一列恰好5個﹣1，不可能滿足要求的情況．n＝4，m＝10，如圖．每個長方塊都是水平放置+1，在左邊，﹣1在右邊即可．第9頁（共11頁）答：n的最小值是4．三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）13．（15分）十五個盒子，每個盒子裝一個白球或一個黑球，且白球不多于12個．你可以任選三個盒子來提問：“這三個盒子中的球是否有白球？”并得到真實的回答．那么你最少要問多少次，就能找出一個或更多的白球？【分析】先給15個盒子進行編號，選編號為1號，m號和n號的三個盒子提問一次，共需提問91次，通過回答的答案全部是“有”，或者“無”進行分情況討論求解．【解答】解：將所有的盒子編號：1，2，3，…，15．如下提問91次：選編號為1號，m號和n號的三個盒子提問一次，2≤m≤n，共提問：14×（14﹣1）÷2＝91（次），如果回答全是“有”，則1號盒子中的球是白的，這是因為2～15號中2個盒子是黑球；如果1號是黑球，它們與1號盒子的組合得提問的回答一定是“無”；如果91個回答中有答“無”的，那么1號球是黑的，91個回答中，凡是答“無”的三個盒子（包括1號）全拿走，余下的盒子中