初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 專題12 最短路徑-阿氏圓（PA+k·PB型）定圓型軌跡問(wèn)題探究-備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題研究

專題十二：最短路徑——阿氏圓（PA+k·PB型）定圓型軌跡問(wèn)題探究知識(shí)精講在平面上，到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上，即對(duì)于平面內(nèi)的定點(diǎn)A、B，若平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足PA:PB＝1，則P點(diǎn)軌跡為一條直線（即線段AB的垂直平分線），如果這個(gè)比例不為1，P點(diǎn)的軌跡又會(huì)是什么呢？?jī)汕Ф嗄昵暗陌⒉_尼斯在其著作《平面軌跡》一書(shū)中，便已經(jīng)回答了這個(gè)問(wèn)題。接下來(lái)，讓我們站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）時(shí)P點(diǎn)的軌跡。對(duì)于平面內(nèi)的定點(diǎn)A、B，若在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P且P滿足PA：PB＝k（k≠1），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是一個(gè)圓，這個(gè)圓被稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”，如圖所示：幾何“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題．如圖2所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A，B都在圓外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA，PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定?如圖3所示，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說(shuō)明△BPO∽△PCO，即k·PB=PC．因此，求“PA+k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)最小(如圖4所示)．圖2圖3圖4專題導(dǎo)例1.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)E繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，則線段AF的長(zhǎng)的最小值．方法點(diǎn)睛“阿氏圓”解題一般步驟:(1)連接動(dòng)點(diǎn)P至圓心O(將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接)，即連接OP，OB;(2)計(jì)算出所連接的這兩條線段OP，OB的長(zhǎng)度;(3)計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比;(4)在OB上取點(diǎn)C，使得，即:半徑的平方=原有的線段×構(gòu)造線段;(5)連接AC與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．要點(diǎn)：如圖5，構(gòu)造△PAB∽△CAP，得到PA2=AB·AC，即：半徑的平方=原有線段×構(gòu)造線段口決：路徑成最短，折線變直線導(dǎo)例答案：22-1．典例精講類型一：圓中的阿氏圓問(wèn)題例1如圖，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半徑為4，點(diǎn)D是⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，連接AD、BD，則的最小值為.方法一：阿氏圓模型對(duì)比一下這個(gè)題目的條件，P點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，我們需要找出另一個(gè)定點(diǎn)M使得PM:PA=1:2，這就是把“阿氏圓”的條件與結(jié)論互換了一下；而且這種問(wèn)題里，給定的圓的位置、定點(diǎn)A的位置、線段的比例等，往往都是搭配好的！P點(diǎn)軌跡圓的圓心C點(diǎn)和A點(diǎn)在直線AC上，故所求M點(diǎn)在AC邊上，考慮到PM：PA=1:2，不妨讓P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，此時(shí)DM==1，即可確定M點(diǎn)位置．如果對(duì)這個(gè)結(jié)果不是很放心，不妨再取個(gè)特殊的位置檢驗(yàn)一下，如下圖，此時(shí)PM=3，PA=6，亦滿足PM:PA=1:2．方法二:構(gòu)造相似三角形注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點(diǎn)M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可．【問(wèn)題剖析】（1）這里為什么是？答：因?yàn)閳AC半徑為2，CA=4，比值是1:2，所以構(gòu)造的是，也只能構(gòu)造．（2）如果問(wèn)題設(shè)計(jì)為PA+kPB最小值，k應(yīng)為多少？答：根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3，k應(yīng)為．類型二：與拋物線有關(guān)的阿氏圓問(wèn)題例2．如圖，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，連接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求這條拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E，點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以O(shè)，C，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOE相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若將（2）的線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°），連接E′A，E′B，求E′A+12E′B【分析】（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=233，推出當(dāng)OP=12OC或OP′=2OC時(shí)，△POC與（3）如圖，取Q（12，0）．連接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出QE'BE'=OE'OB，推出E′Q=12BE′，推出AE′+12BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+12E′B專題突破1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為，的最大值為.2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA＝135o，則2PD＋PC的最小值是.3如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝60°，⊙B的半徑為2，P為⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.4.如圖9所示，點(diǎn)A，B在⊙O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD=4，動(dòng)點(diǎn)P在⊙O上，則PD+2PC的最小值為．5.如圖，拋物線y＝﹣89x2+bx+c（b為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝89x+（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)M（m，0）是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？（3）在（2）問(wèn)條件下，當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′，將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間）；①探究：線段OB上是否存在定點(diǎn)P（P不與O、B重合），無(wú)論ON如何旋轉(zhuǎn)，NPNB始終保持不變，若存在，試求出P②試求出此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（NA+34NB6．如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若C1C2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AE′、BE′，求AE′+23BE7.如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP＋BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP＋BP＝AP＋PD．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP＋BP的最小值為．（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的情況下，AP＋BP的最小值為．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA＋PB的最小值．專題十二：最短路徑——阿氏圓（PA+k·PB型）定圓型軌跡問(wèn)題探究答案例1.連接CD，在BC上取點(diǎn)E，使得CE＝2，連接AE、ED，如圖所示：∵CD＝4，BC＝8，CE＝2，，，∵∠BCD＝∠BCD，∴△CDE∽△CBD，，，∴BD＝2DE，，，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，當(dāng)點(diǎn)D在AE上時(shí)，AD＋DE最小，最小值就是AE的長(zhǎng)，，∴∠ACB＝90o，的最小值是.例2．（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H．∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°．∴OH=1，AH=3．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．將兩點(diǎn)代入y=ax2+bx,得a-b=3，4a+2b=0.解得a=33,b=-2（2）如圖，∵C（1，﹣33），∴tan∠EOC=ECOE=33．∴∠POC=90°+30°=120°．∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°．∵OA=2OE，OC=233，∴當(dāng)OP=12OC或OP′=2OC時(shí)，△POC與△∴OP=33，OP′=433．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3（3）如圖，取Q（12，0）．連接AQ，QE∵OE'OB=OQOE'=12，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∴E'QBE'=OE'OB=12．∴E′Q=12BE′．∴AE′+12BE′=∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+12E′B的最小值就是線段AQ的長(zhǎng)，最小值為=212專題突破1.在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，連接PG、DG，如圖所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，的值最小，最小值為；當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線時(shí)，的值最大，如圖所示：此時(shí)最大值也是DG，最大值為5.2.依題意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135o，∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓O上的劣弧AB，構(gòu)造圓O，連接OP，在OC上截取OE＝1，連接PE、ED，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OC于點(diǎn)F，如圖所示：，∠POC＝∠EOP，∴△POC∽△EOP，，，，當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD＋PE的值最小，最小值為DE的值，∵DF⊥OC于點(diǎn)F，則DF＝2，EF＝2，，∴的最小值為2DE.3.在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接DG、BP，如圖所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴當(dāng)D、G、P三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60o，CD＝4，，在Rt△GDF中，的最小值為.4.410．提示：如圖，作O關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)E，連接ED交圓O于點(diǎn)P．5.（1）在y＝89x+163中，令x＝0，則y＝163，令y＝∴B（0，163），A（﹣6，0），把B（0，163），A（﹣6，0）代入y＝﹣89x2+bx+∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣89x2﹣409x+令y＝0，則0＝﹣89x2﹣409x+163，∴x1＝﹣6，x2＝1，（2）∵點(diǎn)M（m，0），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，∴D（m，89m+163），當(dāng)如圖1，作BG⊥DE于G，則EG＝GD＝12ED，GM＝OB＝163，∵DM+DG＝GM＝∴89m+163+12（﹣89m2﹣409m+163﹣8解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合題意，舍去），∴當(dāng)m＝﹣4時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；（3）①存在，如圖2．∵ON＝OM′＝4，OB＝163∵∠NOP＝∠BON，∴當(dāng)△NOP∽△BON時(shí)，OPON＝NPNB=ONOB＝34，∴NPNB不變，即OP＝3②∵N在以O(shè)為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，NPNB=ON∴NP＝34NB，∴（NA+34NB）的最小值＝NA+∴此時(shí)N，A，P三點(diǎn)共線，∴NA+34NB的最小值＝32+6．如圖，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)解析式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若C1C2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AE′，BE′，求AE′+23BE（1）解：將A（4,0）代入拋物線y=ax2+（a+3）x+3，∴16a+4（a+3）+3=0.解得a＝--34，拋物線解析式為y=--3當(dāng)x=0時(shí)，y=3，所以B（0,3），設(shè)直線解析式為y=kx+b，將A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得4k+b=0解得k=∴y＝-34∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN.∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE.∴PNAN=6∵NE∥OB，∴ANAB=AEOA.∴AN＝∵拋物線的解析式為y=--3∴PN=--34m2＋94m＋3-(--34m＋3)=--34m∴-34∴m＝2.（3）如圖，在y軸上取一點(diǎn)M′，使得OM′=43,連接AM′,在AM′取一點(diǎn)E′，使得OE′=OE，∴OE＝OE′＝2，OM′·OB=4∴OE'2=OM′·OB.∵∠BOE'=∠M′OE∴△M′OE∽△E'O∴M'E'BE'=OE'OB＝23.∴M′∴AE′+23BE′=AE′+M′E′=AM′，此時(shí)AE′+23BE′最小(兩點(diǎn)之間線段最短，A,在Rt△AOM′中，AO=4，OM′=43，∴AM′=43AE′+23BE′最小值為43（1）如圖1，連結(jié)AD，∵AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最小，∴