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文檔簡介

第二章行列式 §2.1§2.2§2.3 §2.4§2.5Cramer17世紀(jì)末由G.Leibniz發(fā)明的.H. Vandermonde,P.La ce,A-L.Cauchy和C.G.J.Jacobi等人的工C.F.Guass(1801)使用.現(xiàn)代意義的行列式概念和符號(hào)是由Cauchy(1841)創(chuàng)立的行列式理論完19世紀(jì).一般地,n元一次方程就叫做n元線性方程一個(gè)以x1,…, a1x1+a2x2+"+anxn=其中a1a2an,b一組n元??a11x??

a12x2

21x

將第一個(gè)方程乘以a12,a2 然后相減(a11a22?a12a21 =b1a22?(a11a22?a12a21 =b2a11?如果a11a22?a12a21≠ 0,則可得方程組x1

b1a22?b2a12a11a22?a12a21

x2

b2a11?b1a21a11a22?a12a21.a a12a a a11a a12a21a21a22a12a22a21a22a12a22a21a21a12a22類似地通過考慮三元線性方程組可知,三階 a11a22a a12a23a a13a21a?a13a22a a12a21a a11a23a32 積,共計(jì)6項(xiàng),各項(xiàng)的符號(hào)可由下面所謂 一般地,na11a21"an

a12 a22 an

a1a2"an簡記為det(aij),其中的元素串a(chǎn)11,a22,…,ann的定義可以想像到,n階行列式的展開式中的一般項(xiàng)應(yīng)為n個(gè)既不 ±a1p1a2p anpn因?yàn)橐话沩?xiàng)中的a1p1,a2p2, ,an

p1,p2 pn是12,…n的一個(gè)排列.方面,其列標(biāo)排列唯一確定因?yàn)楣灿衝! 中共有n!個(gè)項(xiàng).設(shè)p1p2…pn是一個(gè)排列,對(duì)于 記為τ(p1p2pn).現(xiàn)在再二、三階行列式可知,其各項(xiàng)的符號(hào)有以下規(guī)律當(dāng)列標(biāo)排列是偶排列時(shí)帶正號(hào),否則帶負(fù)號(hào).例如,ττ(?1)(p1p2p3)a1

a3p

∑(?1)τ(p1p2p3)a1p

a2pa3 p1p2

定義ndet(aij)

∑(?1)τ(p1p2"

n)a1p

"anpp1p2"pn

其中p1p2"pn是n排列,每個(gè)n排列確定一項(xiàng),共有n!項(xiàng),求和是對(duì)這n項(xiàng)求和.下面的式 #

ann 上元積.det(aij)是一個(gè)上三角行列式,則aij=0,1≤j<i≤n.由

"anpn p1p2. 但是,對(duì)于任意n排列p1p2"p

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