malab講義之?dāng)?shù)值計算功能

第四章MATLAB的數(shù)值計算功能Chapter4:NumericalcomputationofMATLAB一、多項(xiàng)式(Polynomial)`1．多項(xiàng)式的表達(dá)與創(chuàng)建(ExpressionandCreatingofpolynomial)(1)多項(xiàng)式的表達(dá)（expressionofpolynomial）_Matlab用行矢量表達(dá)多項(xiàng)式系數(shù)(Coefficient)，各元素按變量的降冪順序排列，如多項(xiàng)式為：P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an則其系數(shù)矢量(Vectorofcoefficient)為：P=[a0a1…an-1an]如將根矢量(Vectorofroot)表示為：ar=[ar1ar2…arn]則根矢量與系數(shù)矢量之間關(guān)系為：（x-ar1）(x-ar2)…(x-arn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an(2)多項(xiàng)式的創(chuàng)建（polynomialcreating）a)系數(shù)矢量的直接輸入法利用poly2sym函數(shù)直接輸入多項(xiàng)式的系數(shù)矢量，就可方便的建立符號形式的多項(xiàng)式。例：創(chuàng)建多項(xiàng)式x3-4x2+3x+2poly2sym([1-432])ans=蹲x^3-4*譯x^2+3*濱x+2考POLY戲Conve察rtroo間tsto舅polyno心mial.薦PO貴LY(A),循when咽Aisa歐nNby墊Nmat蘭rix,i雁saro驗(yàn)wvect襯orwit漢h偶N+畝1elem棋entsw偵hicha頌rethe營coeff嶄icient兔soft皆he產(chǎn)網(wǎng)charac術(shù)terist釘icpol虜ynomia揮l,DET黃(lambd晚a*EYE(拆SIZE(A慈))-A妙).越POLY(V蓋),銳when驟Visa犯vecto唯r,is孝avect跌orwho馳seele崇ments剖are敲th封ecoef牧ficien沒tsof贊thepo與lynomi媽alwho態(tài)seroo忽tsare嘴the醒el儲ements泳ofV舊.For溝vector櫻s,ROO鍛TSand劈POLY再arein探verse叔fu糖nction鋼sofe姜achot菜her,u轎ptoo短rderin隱g,sca竊ling,盛and腫ro范undoff拼error巖.狹b)父卡由根矢量創(chuàng)建麥多項(xiàng)式燥通過調(diào)用函數(shù)惡鄉(xiāng)p=poly居(ar)含產(chǎn)生多項(xiàng)式的歇系數(shù)矢麗量晉,踢確再利用寒poly2s怕ym叫函數(shù)就可方便涉的建立符號形基式的多項(xiàng)式。肥注：喘（繭1環(huán)）根矢量元素鉆為津n餓，則多項(xiàng)式系線數(shù)矢量元素為撲n+1趨；薪（睜2沙）函數(shù)催poly2s舟ym(pa)得栽把多項(xiàng)式系數(shù)時矢量表達(dá)成符暗號形式的多項(xiàng)做式，缺省情況桐下自變量符號遺為步x載，可以指定自禾變量。棋（苦3柔）使用簡單繪孝圖函數(shù)酒ezplot藥可以直接繪制門符號形式多項(xiàng)搏式的曲線。五例燦1好：由根矢量創(chuàng)憑建多項(xiàng)式。將慎多項(xiàng)式胞(括x-6)(x董-3)(x-抽8)班表示為系數(shù)形相式荒衣a=[6店38]乒涂森笛搶%慣根矢量蓄pa=pol殊y(a)掏案脖棒錫脾%蓄求系數(shù)矢量組ppa=po寨ly2sym伴(pa)極棵殖婚曾%桂以符號形式表喝示原多項(xiàng)式毅ezplot頃(ppa,[袍-50,50康])pa=宿1霉-17伯90哨-144ppa=重x^3-17喉*x^2+9杜0*x-14死4槳注：蜻含復(fù)數(shù)根的根蜂矢量所創(chuàng)建的質(zhì)多項(xiàng)式要注意猾：彎（綱1魯）要形成實(shí)系棒數(shù)多項(xiàng)式，根勻矢量中的復(fù)數(shù)惱根必須共軛成培對；親庫勤（貿(mào)2廚）含復(fù)數(shù)根的擠根矢量所創(chuàng)建艘的多項(xiàng)式系數(shù)抓矢量中，可能兔帶有很小的虛既部，此時可采遮用取實(shí)部的命線令翻(盡real匙)鬧把虛部濾掉。濫進(jìn)行多項(xiàng)式的素求根運(yùn)算時，濕有兩種方法，昌一是直接調(diào)用摧求根函數(shù)浙roots愈，欲poly墾和帆碗roots鑼故互為逆函數(shù)?；榱硪环N是先把妨多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為引伴隨矩陣，然巖后再求其特征誘值，該特征值嘉即是多項(xiàng)式的揉根。獻(xiàn)例狀潑3堆：馳擁由給定復(fù)數(shù)根稿矢量求多項(xiàng)式擊系數(shù)矢量。刃r=[-0.沾5-0.葛3+0.4i泳-0.3白-0.4i]豪;鑒p=poly狀(r)增pr=rea凍l(p)撒ppr=po令ly2sym相(pr)p=抬1.袖0000干1.10椒00耕0.5500遼0.清1250pr=標(biāo)1.彼0000宏1.10堵00線0.5500洋0.奉1250ppr=兼x^3+11捧/10*x^刺2+11/2逗0*x+1/筒8聞c)滿特征多項(xiàng)式輸尤入法租用啄poly貞函數(shù)可實(shí)現(xiàn)由例矩陣的特征多查項(xiàng)式系數(shù)創(chuàng)建雄多項(xiàng)式。貨條件：特征多注項(xiàng)式系數(shù)矢量漿的第一個元素葵必須為一。說例鞋2淡：排刷求三階方陣頸A緩的特征多項(xiàng)式勢系數(shù)，并轉(zhuǎn)換影為多項(xiàng)式形式是。太a=[6貼38;7猛56窄;13府5]分Pa=pol擊y(a)程含歉%忘求矩陣的特征砌多項(xiàng)式系數(shù)矢耕量討Ppa=po擁ly2sym拋(pa)Pa=井1.0濱000-洗16.000做038稻.0000蒙-83.0泥000Ppa=壓x^3-17孟*x^2+9循0*x-14阻4共注：肯n申濱階方陣的特征嚷多項(xiàng)式系數(shù)矢酸量一定是普n+1摩階的。聾注：促（吸1劣）要形成實(shí)系邊數(shù)多項(xiàng)式，根傻矢量中的復(fù)數(shù)脫根必須共軛成朽對；袖降唐（復(fù)2之）含復(fù)數(shù)根的杠根矢量所創(chuàng)建廈的多項(xiàng)式系數(shù)禽矢量中，可能亡帶有很小的虛海部，此時可采類用取實(shí)部的命頭令纏(河real素)畢把虛部濾掉。著進(jìn)行多項(xiàng)式的錦求根運(yùn)算時，歡有兩種方法，中一是直接調(diào)用振求根函數(shù)牌roots液，差poly彼和迅瓜roots救藏互為逆函數(shù)。璃另一種是先把免多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為也伴隨矩陣，然榮后再求其特征促值，該特征值細(xì)即是多項(xiàng)式的恩根。發(fā)例色4辟：沖挎將多項(xiàng)式的系犬?dāng)?shù)表示形式轉(zhuǎn)亮換為根表現(xiàn)形怪式。濤求鏟狠x坊3局-6x鉤2留-72x-2析7瑞的根燙a=[輸1-6排-72介-27]技r=root錄s(a)r=蘋12.及1229看-5.卵7345薪-0.北3884吼MATLAB掘約定，多項(xiàng)式嬸系數(shù)矢量用行究矢量表示，根糖矢量用列矢量宰表示。>>頭1.李忌多項(xiàng)式的乘除帥運(yùn)啄算威(詠Multip頁licati量on印andd遼ivisio凍n巴of炕polyn叫omial)冬多項(xiàng)式乘法用宗函數(shù)譽(yù)conv(a議,b)衛(wèi)實(shí)現(xiàn)妨，翻號除法用函數(shù)么deconv音(a,b)臂實(shí)現(xiàn)磁。費(fèi)例魂1泛：想a(s)=s握2趕+2s+3,博b(s)原=4s紗2限+5s+6,燕計秘算貓臥a(s)昌與忙b(s)當(dāng)?shù)某朔e。碗a=[12謠3];忙導(dǎo)b=[45般6];臂c=conv渠(a,b)側(cè)cs=pol槽y2sym(脹c辜,何’圓s深’煮)c=大4撞13澇28嚼27救18cs=銳4*s^4+范13*s^3耐+28*s^膨2+27*s吉+18畝例禿2芬：略哪展開鴉(標(biāo)s野2抗+2s+2)來(s+4)(醋s+1)坊坡（多個多項(xiàng)式晶相乘）圈c=conv川([1,2,戴2],con載v([1,4知],[1,1挑]))可cs=pol貝y2sym(搞c湊,煩’參s隔’事)壇惹盟店%競（指定變量為蠅s益）c=貧1膽7御16堤18宜8cs=殃s^4+7*弊s^3+16拉*s^2+1姥8*s+8盟例傷2健：求多項(xiàng)式枯s^4+7*攀s^3+16除*s^2+1疾8*s+8追分別被偵(獸s+4),(臨s+3)祥除后的結(jié)果。厚c=[1帥716痛188培];休[q1,r1艦]=deco胃nv(c,[惕1,4])曬區(qū)巡%墳q使—邀商矢量溉，牛氧r販—個余數(shù)矢量猜[q2,r2色]=deco土nv(c,[頂1,3])照cc=con求v(q2,[飲1,3])流蜂戒%慨對除愧(岡s+3)爐結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)踭est=(館(c-r2)陰==cc)q1=守1僑3爪4獸2r1=匆0蘿0腦0鋸0符0q2=長1映4會4音6r2=富0砍0港0跡0幅-10cc=姓1娘7冬16獅18睛18test=妄1件1鄭1前1雜1襖1寺.賄其他常用的多額項(xiàng)式運(yùn)算命員令織(乞Other悟comput詞ation千comman壟dofp成olynom輛ial)撥pa=pol岡yval(p煮,s)拾列東兆按數(shù)組運(yùn)算規(guī)凱則計算給定懇s餃時多項(xiàng)式雞p手的值。稻pm=pol燥yvalm(甚p,s)銜責(zé)宰按矩陣運(yùn)算規(guī)買則計算給定借s扒時多項(xiàng)式裙p坑的值。仰[r,p,k侵]=resi慕due(b,垂a)予摩驚部分分式展開李，竿b,a桂分別是分子分叫母多項(xiàng)式系數(shù)晴矢量，采r,p,k莊分別是留數(shù)、延極點(diǎn)和直項(xiàng)矢爭量完p=poly忍fit(x,今y,n)傅嫩箏北用域n紛階多項(xiàng)式擬合垂x私，介y央矢量給定的數(shù)材據(jù)。獨(dú)polyde喪r(p)輪月樂放多項(xiàng)式微分。雪注：植利對于多項(xiàng)式挨b(s)喉與不重根的系n想階多項(xiàng)式烏a(s)忘之比，其部分廚分式展開為：池孝式中：另p牙1昨,p彈2規(guī),萍…繩,p麥n鋒稱為極態(tài)點(diǎn)加(poles盯)止，舒r半1狹,r儀2夜,警…幅,r擠n籃覆稱為留逝數(shù)習(xí)(resid么ues輸)虎，縮k(s)宇稱為直渾項(xiàng)肝(direc摸tterm撈s主)雖，假如酬a(s)套含有麻m爐重根病p史j俘，虛則相應(yīng)部分應(yīng)匙寫成：捷RESIDU喜E脹Partia劫l-frac墓tione生xpansi攔on(re植sidues練).涉[R寸,P,K]古=RESI擾DUE(B,供A)芹finds腹ther稼esidue務(wù)s,pol住esand梯direc莊tterm礎(chǔ)ofa竟partia斧lfrac軍tione乒xpansi乘onof洽thera這tioof的twop果olynom泉ialsB槍(s)/A(沸s).If溉there疾aren養(yǎng)omult唯iple朽roots,趕B(s)間席R(1)霞繪R(2)皂經(jīng)遣R(n)沸槳懼區(qū)----誕=石運(yùn)------席--托晚+頁般------循--+.教..+鋤流-----寺---利辯+棄籮K(s)處賀雜A(s)丹s-肚P(1)隔俗匙s-P(修2)坐防s-P耐(n)遞Vector鼠sBan蝶dAsp貞ecify軍theco把effici呈entso剃fthe譯numera歉toran速ddeno孩minato竊rpoly央nomial妨sind糖escend巾ingpo做werso煎fs.襪There行sidues機(jī)arere地turned剛inth絕ecolu員mnvec與torR,策thep纖olelo巾cation甚sinc誼olumn抄vector璃P,an旦dthe臭direct估terms旨inro婦wvect英orK.秤Thenu聚mbero雷fpole屋sisn拴=len氏gth(A)澤-1=l暢ength(環(huán)R)=l薯ength(踏P).Th鈴edire恭ctter蕩mcoe插fficie怪ntvec黎toris竹empty襯ifle隱ngth(B銅)<le由ngth(A歪),oth伐erwise截le免ngth(K哲)=le蘿ngth(B明)-leng頁th(A)+植1.墻IfP(j否)=..獻(xiàn).=P(杯j+m-1)述isa煌poleo呆fmult綁plicit徑y(tǒng)m,t盼henth墾eexpa牢nsion饑includ括ester靜msof貓thefo渡rm窮R(j)鐘仰R(j+1)些泉越鞋R(j+m-優(yōu)1)螺------眠--+-獅------鏡-----貴+..壓.+--蓋------孟----刺s-P(漲j)(符s-P(輪j))^2花勁次(s-園P(j))^嶄m捷[B,A]仙=RESI翁DUE(R,摧P,K),粉with3月input淺argum瓣entsa宜nd2o娃utput難argume豈nts,c肅onvert匪sthe咳partia泳lfrac劍tione拿xpansi灑onbac挪ktot煤hepol顆ynomia最lswit廚hcoef告ficien拔tsin菜Band航A.連例仰3陶：卡對鼠秧(維3x局4嘩+2x嘴3辨+5x逆2獲+4x+6)壇/(x撒5疼+3x手4企+4x盼3腳+2x件2司+7x+2)杏程堆做部分分式展敲開陵a=[1部34抗27妻2];睜b=[3伏25廁46];假[r,s,k搭]=resi毅due(b,連a)r=隆1.1聽274+夜1.1513飼i牛1.1奴274-別1.1513甩i蛾-0.0學(xué)232-馳0.0722鉛i招-0.0艱232+陵0.0722節(jié)i鉗0.7反916甘其s=答-1.7睛680+節(jié)1.2673死i梅-1.7貸680-糞1.2673敘i透0.4顛176+旱1.1130品i另0.4獲176-估1.1130綿i漿-0.2度991下鳳k=湖[]暮三(捆分母階數(shù)高于廁分子階數(shù)時，膏k日將是空矩陣，嬌表示無此席項(xiàng)艘)逮例役5崗：幫對一組實(shí)驗(yàn)數(shù)姜據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式抵最小二乘擬株合優(yōu)(蜻least肌square僑fit)廁x=[1仔23等45];孕喂楊垂%壘衫實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)追y=[5.5旅43.1沸128孩290.7拉498.飯4];營p=poly喂fit(x,碰y,3)煩棒貸每份矮%憤做三階多項(xiàng)式獎擬合通x2=1:.啊1:5;湯y2=pol舊yval(p神,x2);罪別寇%債絡(luò)根據(jù)給定值計每算多項(xiàng)式結(jié)果欠plot(x怠,y鹽,靜’續(xù)o芳’協(xié),x2,y2喝)姥二、線性代數(shù)基(鋒Linear叮哀Algebr狡a候)澆解線性方尿程都(害Linear椅游equati死on狠)禮就是找出是否駝存在一個唯一泉的矩陣嘉x病，何使得乞a,b們滿足關(guān)系：抬ax=b承或犯xa=b顧MALAB生中閉x=a\b決是方程堡ax=b們扶的解，栗順x=b/a辣是方程式寇xa=b水的解。探通常線性方程殺多寫成靜ax=b倍，縣“宴\幻”盟較多用，兩者巷的關(guān)系為：辯(b/a拐)胃’漠=(雁a石’息\敏b專’知)懇系數(shù)矩陣狠a休可能是帽m消行思n涌列的，有三種話情況：歡*禁方陣系畫統(tǒng)設(shè):隸(將Square照matri赤x)夠誼部m=n私宅可求出精確解誓（認(rèn)a聚必須是非奇桌異墻(nonsi膚ngular語)承，即滿籮秩帳(full掠rank懲)姐）邊*虧超定系統(tǒng)軟：罵(槽Overde減termin盾dsyst伶em)坑m>n薄漆可求出最小二談乘解病*譜欠定系統(tǒng)平：繳(慌Underd閘etermi蘆ndsys扔tem)身耗m<n改罪可嘗試找出含基有最少歸m窮個基解或最小外范數(shù)解憐MATLAB鐵對不同形式的逮參數(shù)矩陣，采船用不同的運(yùn)算狗法則來處理，奮它會自動檢測拿參數(shù)矩陣，以萬區(qū)別下面幾種遷形式：靜*唱三角矩箭陣?yán)?泳Triang析ularM著atrix)城*匠對稱正定矩緊陣惹(觸symmet客rical童positi喇ve鍛determ臟ined怒matri涼x)畏*噴非奇異方令陣絕(污Nonsin還gular頁matrix渾)安*島超定系嘗統(tǒng)津(貨Overde斜termin涌dsyst船em)姐*孫欠定系秒統(tǒng)親(寫Underd漏etermi丟ndsys顏tem)庸方陣系統(tǒng)磚：擇(裕Square衛(wèi)array墊)告最常見的是系渣數(shù)矩陣為方陣擦a州，常數(shù)項(xiàng)極b舟為列矢量蘇,登其解帆x巷可寫成應(yīng)x=a\b,術(shù)責(zé)x逗和暑b捕大小相同。躬例管1尚：娃垃求方陣系統(tǒng)的朋根。稅a=[11演67;反513需9;1區(qū)71害8]鴉b=[16帳134祖]獸’x=a\ba=禾11糟6門7抖5確13鮮9斷17瓣1閘8b=16134x=努3.牌9763察5.累4455勁-8.泛6303智例訊2欺：假如度a,b膠為兩個大小相軍同的矩陣，求斃方陣系統(tǒng)的根拒。刺a=[4廳59;府1819繞5;1匠41播3]投b=[1盛512;雕315際19;沿76效10]x=a\bC=a*xa=譽(yù)4煎5陣9舞18向19輕5永1秩4綁13b=禾1橡5表12腳3旋15皺19模7陡6貢10x=師-3.衣6750殿-0.73菊33章2.9708浴3.偵7250蠻1.46芳67-量2.1292堅-0.館3250寸0.06泊67市1.1958C=欲1.萍0000攏5.00尼001扒2.0000爽3.倆0000折15.00烈001耍9.0000憂7.0000琴6.是0000關(guān)10.00膠00班若方陣緞a投的各個行矢量紐線性相常關(guān)狠(linea群rcorr眉elatio枕n否)議，則稱方陣謀a子為奇異矩陣。責(zé)這時線性方程千將有無窮多組時解。若方陣是肥奇異矩陣，則藍(lán)反斜線運(yùn)算因屈子將發(fā)出警告筍信息。昨2尖．超定系統(tǒng)巷(蠻Overde差termin泡dsyst愛em)蛋乘貿(mào)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較多響，尋求他們的注曲線擬合。缸債如在費(fèi)t驗(yàn)內(nèi)測得一組數(shù)手據(jù)只y幻：宿t杏y橋0.0耗0.8叢2仇0.3耳0.7鈔2耀0.8藏0.6驢30.60徐1.6膝0.5拔5弄2.2請0.5陰0皆這些數(shù)據(jù)顯然言有衰減指數(shù)趨嘩勢促：呈染y(t)~嫁c測1鳥+c滴2屯e溜-t結(jié)此方程意為隔y雪矢量可以由兩昏個矢量逐步逼球近而得，一個瘡是單行的常數(shù)董矢量，一個是焰由指數(shù)肅e感-t存項(xiàng)構(gòu)成，兩個益參數(shù)那c貼1承和仰c主2勢可用最小二乘畫法求得，它們寨表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)粥與方程洗y(t)~c策1笑+c湊2救e肉-t灣之間距離的最碗小平方和。今例潑1轉(zhuǎn)：摸乏求上述數(shù)據(jù)的勿最小二乘解。響將數(shù)據(jù)帶入方委程式灌y(t)~c秘1菊+c箱2巖e過-t肺中，可得到含乞有兩個未知數(shù)杏的健6屬個等式，可寫回成擠6撿行瑞2與另列的矩陣拆e.器t=[0遵0.30榴.81.雨11.6飛2.2戀]認(rèn)’貝;怕y=[0.8損20.7剖20.6島30.6敏00.5迷50.5冒0枝]擺’閣;楊e=[one飯s(size獅(t))凱exp(-t取)]狐末%痛求集6臨個宏y(t)螞方程的系數(shù)矩?fù)P陣瓜c=e\y騰喚撫乎沸炸%持悄求方程的解e=讓1.割0000偉1.00視00浮1.哄0000畢0.74明08持1.冒0000泊0.44形93頑1.逮0000遮0.33護(hù)29飄1.題0000銹0.20連19吵1.面0000喚0.11樣08c=繡0.候47440.3434薪帶入方程得：細(xì)y(t)~0產(chǎn).4744+努0.3434嚷e岡-t互用此方程可繪閥制曲線：難t=[0酸0.30舞.81.豎11.6唯2.2膠]夸’允;爐y=[0.8擺20.7屬20.6揉30.6食00.5春50.5喇0喘]閃’偉;太t1=[0:轉(zhuǎn)0.1:2.畏5寧]描’鋼;礎(chǔ)菊y1=[on傲es(siz膽e(t1))賽,exp(-煙t1)]*c按plot(t嘉1,y1瓦,友’槍b潔’熔,t,y候,睬’安r榜o待’衡)桐如果一個矩陣頂?shù)男惺噶渴蔷€太性相關(guān)的，則招它的最小二乘厘解并不唯一，扭因此，炸a\b呈運(yùn)算將給出警猾告，并產(chǎn)生含揮有最少元素的巖基解。機(jī)3擇.括欠定系統(tǒng)懲:暫護(hù)(長Underd拴etermi圍ndsys叛tem)嫁欠定系統(tǒng)為線俯性相關(guān)系統(tǒng)，扒其解都不唯一勢，纏MATLAB丟會計算一組構(gòu)高成通解的基解圍，而方程的特錫解則用譯QR場分解法決定。持兩種解法：最朗少元素解光a\b苦，最小范數(shù)解乖pinv(a慮)*b.輛例：毀別用兩種方法求恐解欠定系統(tǒng)。夏對扶a說和矢量驅(qū)b煤分別用沖a\b拿和襪pinv(a直)*b閉求解橫:帆a=[1兩11;揀11桂-1]古b=[10新6耀]慧’p=a\b才q=pinv怒(a)*ba=膜絹1雀1稿1慈1召1蛾-1b=106p=齒8.絨0000軍助0姓2.挺0000q=對4.沖0000晉4.說0000磨2.億0000掀三挺．您攀逆矩陣及行列叢式風(fēng)(尸Revers表andd泳etermi疤nanto己fmatr凡ix)潛1孫．悼三方陣的逆和行幻列式慚(族Revers漲andd咽etermi燥nanto戚fsqua茂remat閉rix)久若模a伶是方陣，且為謙非奇異陣，則觸方程準(zhǔn)ax=I湯和餡xa=I奶有相同的解億X繞。碧X富稱為慎a馬的逆矩陣，記痛做蔽a詠-1牢，在撓MATLAB繁中語仔用籌inv定劑函數(shù)來計算矩少陣的逆。隊計算方陣的行腥列式則用劃det刻函數(shù)。遭DET挺Dete勢rminan希t.廈DET(X)仙isth蛙edete不rminan抵toft稿hesqu日arema件trixX跳.兔泊溝Use撇COND外instea仍dofD蠟ETto腔testf初ormat宇rixsi既ngular崇ity.凈INV愚Mat延rixin太verse.豐INV(X)桌isth按einve疲rseof馬thes拌quare磁matrix騎X.鍵亭Awarn凳ingme瞧ssage祥ispri毛ntedi拾fXis騙badly矛scale停dor活冰nearly徐捉singul敘ar.摔例：計算方陣愚的行列式和逆枕矩陣。于a=[3登-31;前-35中-2;1內(nèi)-21明];慕b=[14色135藥;51儲12;6絕14份5];驟d1=det財(a)或x1=inv織(a)惠d2=det攝(b)心x2=inv亂(b)d1=1x1=是1.烤0000河1.00飼00遷1.0000碧1.飄0000李2.00畢00堂3.0000嶺1.倦0000阻3.00燦00除6.0000d2=筋甲-1351x2=舍0.魯1207被-0.00講37-遭0.1118厲-0.與0348校-0.02妹96聾0.1058束-0.淘0474訓(xùn)0.08壽73尤0.0377墻2敵．膊獻(xiàn)廣義逆矩陣（曲偽逆訂）肥(膠Genera艘lized蛋inver傲semat史rix)稀一般非方陣無檔逆矩陣和行列搖式，方程單ax=I挎和府xa=I梅至少有一個無差解，這種矩陣暫可以求得特殊插的逆矩陣，成煎為廣義逆矩鎖陣介(gener想alized限inver帶semat育rix概)拜（或偽媽逆規(guī)pseud偽oinver謙s不e民）。矩陣胳a殃mn雙存在廣義逆矩辯陣梅x欺nm李，使得翅較ax=I端mn送，虎頌MATLAB皺用特pinv騰函數(shù)來計算廣塞義逆矩陣。框例復(fù)：計算廣義逆站矩陣。拌a=[8酒14;1岔3;9避6]亮x=pinv翅(a)b=x*ac=a*x淡d=c*a提濱%d=a*懼x*a=a喜e=x*c寺黃%e=x*a哥*x=xa=濱8芬14厲1冬3棍9晝6x=牧-0.枯0661辟-0.04與02杰0.1743伶0.危1045唱0.04宅06-本0.0974b=縫1.距0000能-0.00賢00饑-0.蛛0000再1.00錘00c=工0.顫9334戶0.24煉72角0.0317展0.飲2472與0.08熔17-爪0.1177白0.著0317哪-0.11暴77名0.9849d=凱8.膨0000里14.00崇00披1.瘋0000鎮(zhèn)3.00導(dǎo)00飽9.盆0000豬6.00片00e=冊-0.微0661找-0.04繳02境0.1743象0.1045開0.喝0406魔-0.09立74疫PINV楚Pseu才doinve廁rse.食X=PI毯NV(A)鴿produ桌cesa預(yù)matrix俊Xof贈thesa溪medim擦ension古sasA演'sot貼hatA*填X*A業(yè)=A,X椒*A*X=幻Xand天A*Xa扎ndX*A酒areH段ermiti役an.Th弓ecomp她utatio謊nisb塵asedo罷nSVD(趁A)and謹(jǐn)anys諸ingula壤rvalu橋esles筆sthan董atol搶erance洽aret瘡reated噴asze帖ro.攤Th保edefa蘋ultto藏leranc既eisM穗AX(SIZ擇E(A))葡*NORM貓(A)*狡EPS.竟PINV(A麻,TOL)畫usest竿hetol撫erance胞TOLi帥nstead鏟ofth舒edefa今ult.膜四皂．疑斑矩陣分么解餃(桑Matrix牢decom釣positi查on)勉MATLAB備求解線性方程車的過程基于三神種分解法則：跑（蝕１）貝Choles桶ky盟分解越，針對對稱正謎定矩陣；禽（２）高斯消免元法員，醬臟針對一般矩陣果；婆吐（３）正交化氏，右覆私針對一般矩陣決（行數(shù)窮≠輕列數(shù)）參這三種分解運(yùn)已算分別由縱chol趕,撲lu憶和惠贈qr答三個函數(shù)來分立解掛.崇Choles滴ky孝分阻解蛙(槍Choles清kyDec拘omposi歡tion)宰僅適用于對稱夕和上三角矩陣翠例：獸choles徹ky棚分解。融a=pasc砌al(6)懷b=chol梁(a)a=裁1抬1造1要1坦1氣1棕1堵2渠3猜4予5矮6欲1儉3去6御10路15押21述1夸4摟10震20爸35踢56謙1極5既15攏35聯(lián)70百126司1雕6王21脾56甩126原252b=助1榨1素1性1梨1淹1碧0礦1花2屯3那4怎5購0子0著1括3陶6掙10娃0貴0托0并1返4松10桃0肉0簡0闊0莖1南5惑0拌0唯0濾0靈0僵1忘CHOL唯Chole殘skyfa魚ctoriz紋ation.辭CHOL(X庫)茶useso屋nlyth懸ediag棵onala湯ndupp透ertri很angle逃ofX.即Thelo炭wertr坐iangul蘇aris從assume吉dtob起ethe箏(compl吳excon擦jugate頌)tran濫spose愛ofthe姑upper悟.If頃Xisp章ositiv勺edefi反nite,近thenR按=CHO幣L(X)p賄roduce寶sanu檔ppert民riangu蒸lar麗倦Rsot僚hatR'圈*R=X教.IfX柳isno歸tposi塌tived鄭efinit給e,an汁error注messag終eis疊勁printe譜d.降[R,p]渠=CHOL批(X)牧,with刻twoo服utput部argume蒸nts,n濾everp絹roduce補(bǔ)san勁error直messag已e.If斬Xis贊positi訓(xùn)vedef部inite,震then臘pis0線andR續(xù)isth嫩esame渠asab考o(jì)ve.吃Buti腎fXis打notp粗ositiv被edefi鍋nite,授thenp象isa心positi結(jié)veint荒eger.柔Wh趟enXi火sfull盟,Ris斷anup火pertr榆iangul益armat麻rixof膜order影q=p奔-1傲so像that鑒R'*R=金X(1:q乎,1:q).看When誕Xiss巾parse,著Ris攝anupp畫ertri詳angula欲rmatr竊ixof頭sizeq帶-by-n準(zhǔn)sotha捏tthe寶L-shap恐edreg墨ionof鍵thef愿irstq遷rows怒andfi吊rstq洪column批sofR鏟'*Rag辭reewi濾ththo務(wù)seof樹X.內(nèi)2宇．宿L州U賤分頁解身(報LUfac漸toriza塌tion幟)暖.炒用橫lu屆函數(shù)完成寧LU咬分解，將矩陣揮分解為上、下古兩個三角陣，期其調(diào)用格式為兇：片[l,u]=最lu(a)野l(fā)吐代表下三角陣乏，績u升代表上三角陣濕。例：LU分解。叼a=[47正242屯2;11弟440各;303方841]絞[l,u]=扯lu(a)a=池47沸24童22恨11引44劈0傅30剛38冤41l=敵1.仇0000非杏0萍0仁0.怖2340滴1.00揮00系0絨0.甲6383救0.59瓜09勢1.0000u=謹(jǐn)47.耽0000厭24.00指002事2.0000毀攤0黃38.38糕30-大5.1489奮糕0兩梅03浸0.0000茫LU材LU缺facto佳rizati證on.慈[L,U]叨=LU(X脆)耍store罰sanu瞞ppert婆riangu扔larma囑trixi壞nUan真da"p踢sychol乒ogical秋lylow客ertri銀angula筐rmatr困ix"(i仙.e.a油produc稱tofl胸owert脂riangu若laran協(xié)dperm臨utatio腥nmatr父ices)浮inL,乎sotha愧tX=源L*U.X挺canb灌erect指angula哄r.褲[L,U,P飄]=LU鮮(X)粒retur詳nsuni詠tlowe序rtria鼠ngular減matri些xL,u鐵ppert敗riangu叛larma房trixU毅,and羞permut幸ation摧matrix巧Pso描that黃P*X=擠L*U.沸3悠．會Q癢R穿分堂解被(鞠Orthog漂onal-t靈riangu樣larde灰compos途ition抹)鋼.壟函數(shù)調(diào)用格式粒：期[q,r]=城qr(a),幟q觀代表正規(guī)正交唉矩陣，趣r乒代表三角形矩微陣。原始陣反a掃不必一定是方陵陣。如果矩陣獻(xiàn)a松是鉗m×n罷階的，則矩陣折q練是粒m×m逆階的，矩陣濫r脹是滾m×n妄階的。案例：幕QR駐分解友.旺A=[22疤462齊020;鑒303合646艷44;39倘84擊52];弦[q,r]=匹qr(A)q=爛-0.井4082務(wù)-0.72認(rèn)09-立0.5601臭-0.蒙5566佛-0.28掛98員0.7786獎-0.艷7236確0.62肺96-答0.2829r=雞-53.保8981姥-44.60益27-6共6.3289獸-34.乏1014帽萍0攪-38.55贏64恨0.5823嬌-25.捉9097曲侵0帝芒01洽1.8800叛22.趟4896辰QR損Or搭thogon靜al-tri牲angula曠rdeco話mposit身ion.量[Q,R]管=QR(A貴)略produ飼cesan掛upper脾trian海gular露matrix焰Rof描thesa緩me冷di匆mensio暮nasA磚anda液unita胃rymat憲rixQ哈sotha襖tA=罰Q*R.癢[Q,R,E粉]=QR遷(A)錦produ擁cesa棍permut和ation雙matrix余E,an體upper痛tr壓iangul胞arRa辯ndau長nitary攪Qso乓thatA蓬*E=Q啄*R.T枝hecol庸umn害pe陸rmutat仰ionE尸ischo睜senso漆t(yī)hat偶abs(di窄ag(R))略isde斃creasi浙ng.蕩[Q,R]熟=QR(A沾,0)咬produ晚cesth晨e"eco念nomys徐ize"d割ecompo歲sition以.IfA訪ism-港by-n險withm貿(mào)>n,孕theno長nlyth間efirs演tnco泰lumns錄ofQa振recom畢puted.成4迅.軋?zhí)卣髦蹬c特征艱矢咬量畢(慶Eigenv腫alues未andei累genvec果tors劇)鉛.街MATLAB迎中使用函數(shù)俯eig飽計算特征值賽和彈渡特征矢量，有烈兩種調(diào)用方法型：紋*押e=eig(紐a),錫其中獄e烤是包含特征值單的矢量；竊*槽[霧v,d]=e紫ig(a),污虛其中踢v霜是一個與斑a輪相同的澤n×n林階矩陣，它的豬每一列是矩陣默a撿的一個特征值橋所對應(yīng)的特征新矢量，筒d對為對角陣，其爭對角元素即為崗矩陣艇a棟的特征值。亦例：計算特征態(tài)值和特征矢量義。石a=[34燈251陽5;18躍359岔;41雄219]羨e=eig(幕a)特[v,d]=廳eig(a)a=開34馬25脾15吧18盛35艦9諸41摩21妄9e=榆68.沙5066疲15.省5122盈-6.宰0187v=盆-0.拴6227總-0.44芒09-交0.3105云-0.演4969道0.67還86-畝0.0717浸-0.暫6044欣-0.58遣75艙0.9479d=華68.丟5066拆株0趴0傾仔0絞15.51捧22熄0責(zé)隊0叔挨0-堤6.0187茂EIG撞Eige上nvalue站sand介eigenv腦ectors押.程E=EI乞G(X)壯isa鑄vector側(cè)conta軋ining鴨theei只genval宅uesof格asqu范arema疤trix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