一次函數(shù)與一元一次方程

一次函數(shù)與一元一次方程一.教學(xué)內(nèi)容：1.一次函數(shù)與一元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系。2.一次函數(shù)與一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系。3.一次函數(shù)與二元一次方程（組）。二.知識(shí)要點(diǎn)：1.一次函數(shù)與一元一次方程將一次函數(shù)y＝kx＋b中的y值看作0，則kx＋b＝0即為一元一次方程，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，從圖像上看，相當(dāng)于求已知直線y＝kx＋b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。例如，解方程2x－4＝0，相當(dāng)于求當(dāng)y＝2x－4的函數(shù)值為0的自變量的值，也相當(dāng)于確定y＝2x－4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。也就是說(shuō)，求得2x－4＝0的解為x＝2，就求得y＝2x－4的函數(shù)值為0時(shí)自變量的值為2，也就知道y＝2x－4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。反過(guò)來(lái)，要求y＝2x－4的函數(shù)值為0時(shí)自變量的值，就是求直線y＝2x－4與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就相當(dāng)于解方程2x－4＝0。2.任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以，解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍。例如，解不等式2x－4＞0，相當(dāng)于求使y＝2x－4的函數(shù)值大于0的自變量取值范圍，也相當(dāng)于y＝2x－4在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍。也就是說(shuō)，求得2x－4＞0的解集為x＞2，就得出當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)y＝2x－4的值大于0，也就得出當(dāng)x＞2時(shí)這條直線上的點(diǎn)在x軸的上方。如圖所示。反過(guò)來(lái)，求使y＝2x－4函數(shù)值大于0的自變量的取值范圍，要求y＝2x－4在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，都相當(dāng)于解不等式2x－4＞0。3.二元一次方程與一次函數(shù)由于任意一個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為y＝kx＋b的形式，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)一條直線。例如，二元一次方程2x－3y－6＝0可以化為y＝eq\f(2,3)x－2，所以方程2x－3y－6＝0對(duì)應(yīng)直線y＝eq\f(2,3)x－2。4.二元一次方程組與一次函數(shù)一般地，每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)。例如，解方程組，相當(dāng)于解方程eq\b\lc\{(\a\al\vs3(y=2x－1,y＝\f(1,2)x＋2))。從數(shù)的角度看，相當(dāng)于問(wèn)x為何值時(shí)，y＝2x－1的函數(shù)值與y＝eq\f(1,2)x＋2的函數(shù)值相等。也相當(dāng)于確定y＝2x－1與y＝eq\f(1,2)x＋2的交點(diǎn)坐標(biāo)。三.重點(diǎn)難點(diǎn)：初步理解一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)作函數(shù)圖像、觀察函數(shù)圖像進(jìn)行知識(shí)間的綜合，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。【典型例題】例1.（2022年太原）下列圖像中，以方程y－2x－2＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖像是（）分析：方程y－2x－2＝0的解對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝2x＋2的圖像，顯然，這條直線過(guò)（0，2）、（－1，0）兩點(diǎn)，故選C?；蚺袛鄖＝2x＋2經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。解：C評(píng)析：二元一次方程的每一組解都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是二元一次方程轉(zhuǎn)化為“形”后就是坐標(biāo)系中的一條直線。例2.用作圖像的方法解不等式x－2＞0。分析：先把x－2＞0左邊設(shè)為一次函數(shù)y＝x－2，畫(huà)出圖像，如圖所示，找出圖像在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x值即為不等式的解集。解：設(shè)y＝x－2，由圖像可知直線交x軸于（2，0）點(diǎn)，圖像位于x軸上方部分對(duì)應(yīng)的y值大于0，∴不等式x－2＞0的解集為x＞2。評(píng)析：解答此類問(wèn)題，首先確定與不等式相關(guān)的一次函數(shù)，并作出圖像，再觀察圖像確定答案。例3.（2022年重慶）如圖所示，已知函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖像交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖像可得，關(guān)于eq\b\lc\{(\a\al\vs3(y＝ax＋b,y＝kx))的二元一次方程組的解是__________。分析：由圖知兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是P（－4，－2），而根據(jù)已知方程組eq\b\lc\{(\a\al\vs3(y＝ax＋b,y＝kx))與函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx圖像的關(guān)系知，兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)方程組的解。解：eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝－4,y＝－2))例4.用作圖像的方法解方程組eq\b\lc\{(\a\al\vs3(2x＋y＝4,2x－3y＝12))。分析：先把兩個(gè)方程化成一次函數(shù)的形式，再在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖像，交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解。解：由2x＋y＝4可得y＝－2x＋4。由2x－3y＝12得y＝eq\f(2,3)x－4。在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y＝－2x＋4和y＝eq\f(2,3)x－4的圖像，如圖所示，由圖像可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2），所以方程組eq\b\lc\{(\a\al\vs3(2x＋y＝4,2x－3y＝12))的解是eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝3,y＝－2))。評(píng)析：作圖時(shí)，兩點(diǎn)分別取在x軸或y軸上，可簡(jiǎn)化作圖。用此法得出的解是近似解，檢驗(yàn)正確后可得準(zhǔn)確解。例5.（2022年河北）如圖所示，直線l1的解析表達(dá)式為y＝－3x＋3，且l1與x軸交于點(diǎn)D。直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，直線l1、l2交于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線l2的解析表達(dá)式；（3）求△ADC的面積；（4）在直線l2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。答：（1）D（1，0）（2）y＝eq\f(3,2)x－6（3）S△ADC＝eq\f(9,2)（4）P（6，3）分析：（1）點(diǎn)D是直線l1與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)y＝0。（2）直線l2經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可以通過(guò)待定系數(shù)法求l2的解析式。（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)后，可求AD的長(zhǎng)，只要再求出點(diǎn)C到x軸的距離就可以求面積了，點(diǎn)C到x軸的距離可通過(guò)求l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)求得。（4）△ADP與△ADC有共同的底AD，它們的高如果相等，面積就相等，也就是在l2上求異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到x軸的距離與點(diǎn)C到x軸的距離相等。解：（1）直線l1：y＝－3x＋3與x軸交于點(diǎn)D，當(dāng)y＝0時(shí)，－3x＋3＝0，解得，x＝1所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，0）（2）由圖可知直線l2過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（3，－eq\f(3,2)），設(shè)其解析式為y＝kx＋b，把A、B的坐標(biāo)代入得：eq\b\lc\{(\a\al\vs3(0＝4k＋b,－\f(3,2)＝3k＋b))解得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(k＝\f(3,2),b＝－6))所以直線l2的解析式是y＝eq\f(3,2)x－6。（3）由點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)D（1，0），得AD＝3點(diǎn)C是直線l1和l2的交點(diǎn)，即eq\b\lc\{(\a\al\vs3(y＝－3x＋3,y＝\f(3,2)x－6))解得，eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝2,y＝－3))所以點(diǎn)C（2，－3）到x軸的距離是︱－3︱＝3所以△ADC的面積是eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)（4）因?yàn)椤鰽DC和△ADP面積相等且有公共邊AD，所以點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離等于3，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)等于3，此時(shí)3＝eq\f(3,2)x－6解得x＝6，即P（6，3）。評(píng)析：本題考查的是一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題和兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)的問(wèn)題，但從“數(shù)”的角度看是解一元一次方程和二元一次方程組。【方法總結(jié)】體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的意義，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。歸納提煉一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，從“形”的角度理解：解方程組相當(dāng)于確定兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)。通過(guò)2、3使學(xué)生從“數(shù)”的角度理解：解方程組相當(dāng)于求自變量為何值時(shí)兩函數(shù)值相等。【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一.選擇題1.點(diǎn)P1（x1，y1），點(diǎn)P2（x2，y2）是一次函數(shù)y＝－4x＋3圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，且x1＜x2，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A.y1＞y2 B.y1＞y2＞0 C.y1＜y2 D.y1＝y(tǒng)22.（2022年山東臨沂）直線l1：y＝k1x＋b與直線l2：y＝k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則關(guān)于x的不等式k1x＋b＞k2x的解為（）A.x＞－1 B.x＜－1 C.x＜－2 D.無(wú)法確定3.如圖所示，直線y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)（－4，0），當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（）A.x＞－4 B.x＞0 C.x＜－4 D.x＜04.已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像，如圖所示，當(dāng)x＜0時(shí)，y的取值范圍是（）A.y＞0 B.y＜0 C.－2＜y＜0 D.y＜－25.函數(shù)y＝4x－2與y＝－4x－2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（－2，0） B.（0，－2） C.（0，2） D.（2，0）6.（2022年新疆）一次函數(shù)y＝kx＋b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖像如圖所示，則不等式kx＋b＞0的解集是（）A.x＞－2 B.x＞0 C.x＜－2 D.x＜07.（2022年沈陽(yáng)）一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像如圖所示，當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍是（）A.x＞0 B.x＜0 C.x＞2 D.x＜2*8.（2022年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南預(yù)賽）一次函數(shù)y＝k（x－1）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（－1，－2），則其圖像與y軸的交點(diǎn)是（）A.（0，－1） B.（1，0） C.（0，0） D.（0，1）二.填空題1.已知y＝2x－4，當(dāng)__________時(shí)，y＞0。2.已知y1＝2x－3，y2＝－x＋6，當(dāng)__________時(shí)，y1＞y2。3.（2022年湖北荊門）如圖，l1反映了某公司的銷售收入與銷量的關(guān)系，l2反映了該公司產(chǎn)品的銷售成本與銷量的關(guān)系，當(dāng)該公司贏利（收入大于成本）時(shí)，銷售量必須____________。*4.一次函數(shù)y＝（m－2）x＋m的圖像不經(jīng)過(guò)第三象限，且m為正整數(shù)，則它的圖像上縱坐標(biāo)為－5的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________。*5.莉莉有10元錢，她購(gòu)買作業(yè)本后剩下的錢y（元）與購(gòu)買的作業(yè)本數(shù)x滿足函數(shù)y＝10－，當(dāng)剩下的錢y不超過(guò)元時(shí)，她購(gòu)買的作業(yè)本數(shù)x應(yīng)滿足__________。**6.（2022年武漢）如圖，直線y＝kx＋b經(jīng)過(guò)A（－2，－1）和B（－3，0）兩點(diǎn)，則不等式組eq\f(1,2)x＜kx＋b＜0的解集為_(kāi)_________。三.解答題1.（2022年廣東汕頭）已知直線l1：y＝－4x＋5和直線l2：y＝eq\f(1,2)x－4，求兩條直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷該交點(diǎn)落在平面直角坐標(biāo)系的哪一個(gè)象限上。2.畫(huà)出一次函數(shù)y＝－3x＋12的圖像，通過(guò)圖像觀察x為何值時(shí)，（1）y＞0？（2）y＝0？（3）y＜0？3.利用圖像解方程組eq\b\lc\{(\a\al\vs3(y＝－2x－1,y＝\f(1,2)x＋4))。**4.（2022年南昌）2022年北京奧運(yùn)會(huì)的比賽門票開(kāi)始接受公眾預(yù)訂。下表為北京奧運(yùn)會(huì)官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價(jià)格。球迷小李用8000元作為預(yù)訂下表中比賽項(xiàng)目門票的資金。（1）若全部資金用來(lái)預(yù)訂男籃門票和乒乓球門票共10張，問(wèn)男籃門票和乒乓球門票各訂多少?gòu)?？?）小李想用全部資金預(yù)訂男籃、足球和乒乓球三種門票共10張，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【試題答案】一.選擇題1.A2.B3.A4.D5.B6.A7.C8.A二.填空題1.x＞22.x＞33.大于44.65.6≤x≤8且x為整數(shù)6.－3＜x＜－2三.解答題1.（2，－3），在第四象限。2.圖像略，（1）x＜4，（2）x＝4，（3）x＞4。3.eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝－2,y＝3))4.（1）設(shè)訂男籃門票x張，乒乓球門票y張，則eq\b\