復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章留數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章留數(shù)第1頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第五章留數(shù)§5.2留數(shù)§5.1孤立奇點(diǎn)§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用第2頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四主要內(nèi)容本章介紹孤立奇點(diǎn)的概念、分類及其判別；留數(shù)的概念；孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算；并將其應(yīng)用于實(shí)函數(shù)積分的計(jì)算.第3頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§5.1孤立奇點(diǎn)一、引言二、零點(diǎn)三、孤立奇點(diǎn)四、孤立奇點(diǎn)的分類五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類第4頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四回顧復(fù)積分的計(jì)算方法：（4）柯西-古薩基本定理：（5）Cauchy積分公式（6）Cauchy高階導(dǎo)數(shù)公式一、引言第5頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四問題：如何轉(zhuǎn)化成含有的形式？一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問題。

如圖，考慮積分

DrCG(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)此時(shí)第6頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)則此時(shí)，將函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開，由則積分“不難?

”得到。G第7頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四則稱為的零點(diǎn)；(1)若

所謂函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根。定義設(shè)函數(shù)在處解析，(2)若在

處解析且則稱為的

m

階零點(diǎn)。二、零點(diǎn)P81定義

5.3

第8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、零點(diǎn)

定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價(jià)的：(1)為的m階零點(diǎn)。(2)其中，(3)在內(nèi)的泰勒展開式為充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?

)(進(jìn)入證明?)第9頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四其中，二、零點(diǎn)

充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?

)定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價(jià)的：(1)為的m階零點(diǎn)。(2)(3)在內(nèi)的泰勒展開式為收斂且解析第10頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四是的三階零點(diǎn)。是的三階零點(diǎn)。方法一

方法二

第11頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四三、孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點(diǎn)。使得在去心且存在定義設(shè)為的奇點(diǎn)，例為孤立奇點(diǎn)。例原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)均為奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)。P79定義

5.1

第12頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例(1)令為孤立奇點(diǎn)；(2)也是奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)。鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點(diǎn)。使得在去心定義設(shè)為的奇點(diǎn)，且存在三、孤立奇點(diǎn)第13頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四xyo這說明奇點(diǎn)未必是孤立的.函數(shù)的實(shí)部注:若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).第14頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

將在內(nèi)定義設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開為洛朗級(jí)數(shù)：(1)若有則稱為的可去奇點(diǎn)。(

即不含負(fù)冪次項(xiàng)

)P79

第15頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開為洛朗級(jí)數(shù)：則稱為的

N階極點(diǎn)；(

即含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)

)(2)若有且有特別地，當(dāng)時(shí)，稱為的簡單極點(diǎn)。第16頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開為洛朗級(jí)數(shù)：(

即含無限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)

)(3)若有則稱為的本性奇點(diǎn)。第17頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開為洛朗級(jí)數(shù)：小結(jié)(1)可去奇點(diǎn)

不含負(fù)冪次項(xiàng)；(2)N階極點(diǎn)

含有限多的負(fù)冪次項(xiàng),且最高負(fù)冪次為

N；

(3)本性奇點(diǎn)

含有無窮多的負(fù)冪次項(xiàng)?？扇テ纥c(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)第18頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四可去奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類定理

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：可去奇點(diǎn)的判定方法第19頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四(不含負(fù)冪次項(xiàng))解是的奇點(diǎn)，由是的可去奇點(diǎn)?？芍?，將在的去心鄰域展成洛朗級(jí)數(shù)，有或如果約定在點(diǎn)的值為

1，則在點(diǎn)就解析了，因此稱為的可去奇點(diǎn)。第20頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)（都是N階極點(diǎn)的特征）：(iii)z0是的N階零點(diǎn).(可去奇點(diǎn)作為解析點(diǎn)看)N階極點(diǎn)的判定方法第21頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是與不存在極限的區(qū)別定理

若零點(diǎn)，則(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，即為的可去奇點(diǎn)。為的

(n-m)

階極點(diǎn)。且為的

n

階零點(diǎn)，為

的

m階第22頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四(含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，且最高負(fù)冪次為

2

)解是的奇點(diǎn)，由是的極點(diǎn)?？芍?，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有注可見，為的二階極點(diǎn)。第23頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四本性奇點(diǎn)的判定方法定理

z0為f(z)的本性奇點(diǎn)第24頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解是的奇點(diǎn)，考察極限是的本性奇點(diǎn)。因此，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有注(含無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng))由不存在且不為可知，第25頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四是的一階極點(diǎn)。判斷函數(shù)的奇點(diǎn)的類型。例是的二階極點(diǎn)。解由于是的可去奇點(diǎn)，故解由于是的一階極點(diǎn)，故第26頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四由于是的四階零點(diǎn)，解故是的二階極點(diǎn)。將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有因此，為的二階極點(diǎn)。注直接利用洛朗級(jí)數(shù)來判斷奇點(diǎn)類型的方法最好也能夠掌握

且是的二階零點(diǎn)，第27頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié):孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)N階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)Laurent級(jí)數(shù)的特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為第28頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四小結(jié)第29頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)則此時(shí)，將函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開，由則積分“不難?

”得到。G第30頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§5.2留數(shù)一留數(shù)的概念二留數(shù)的計(jì)算方法第31頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)5.2留數(shù)第32頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、留數(shù)的概念將在的去心鄰域設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，定義稱為在處的留數(shù)，記作：內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)：(兩邊積分)其中，C是的去心鄰域內(nèi)繞的一條簡單閉曲線。P83定義

5.6

(留數(shù)的產(chǎn)生)第33頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四而且在使用該方法時(shí)，并不需要知道奇點(diǎn)的類型。

二、留數(shù)的計(jì)算方法若為的可去奇點(diǎn)，方法1.可去奇點(diǎn)若為的本性奇點(diǎn)，方法2.本性奇點(diǎn)則“只好”

將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。(1)在具體展開的時(shí)候，并不需要寫出

“完整”

的洛朗級(jí)數(shù)，

注只需將其中負(fù)一次冪的系數(shù)求出來就可以了。

(2)對(duì)于不是本性奇點(diǎn)的情況，該方法有時(shí)也是很有效的，

則第34頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四(1)若為的簡單極點(diǎn)，特別則(2)若且

在

點(diǎn)解析，則

P84法則3二、留數(shù)的計(jì)算方法3.極點(diǎn)方法(法則)若為的

m

階極點(diǎn)，P84法則2

第35頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四是的可去奇點(diǎn)，解(1)和均為的一階極點(diǎn)，(2)第36頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四(羅比達(dá)法則)

是的三階極點(diǎn)，解(1)為的二階極點(diǎn)，(2)第37頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四是的本性奇點(diǎn)，解將在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開，有第38頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四方法一

利用洛朗展式求留數(shù)

解將在的去心鄰域展開，得第39頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四由于是三階極點(diǎn)，解方法二

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

(羅比達(dá)法則)

因此有(好麻煩!)

第40頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解方法二

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

若

“不幸”

將判斷成了的六階極點(diǎn)，

巧合?

(非也!)第41頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四如果為的階極點(diǎn),取正整數(shù)法則4那么注(1)此類函數(shù)求留數(shù)，可考慮利用洛朗展式。

(2)若此類函數(shù)求閉路積分，則可考慮利用高階導(dǎo)公式，而不一定非得使用后面即將介紹的留數(shù)定理。

第42頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用一留數(shù)定理二留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用第43頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四DC…一、留數(shù)定理處處解析，且連續(xù)到邊界

C

，定理設(shè)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外注意只需計(jì)算積分曲線

C

所圍成的有限區(qū)域內(nèi)奇點(diǎn)的留數(shù)。如圖，將孤立奇點(diǎn)用含于

D

內(nèi)且證明互不重疊的圓圈包圍起來，根據(jù)復(fù)合閉路定理有則P86定理

5.7

第44頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)圍線積分的步驟：1明確積分曲線及內(nèi)部奇點(diǎn)2確定奇點(diǎn)類型,計(jì)算留數(shù)3應(yīng)用留數(shù)定理,求積分第45頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：可去奇點(diǎn)一階極點(diǎn)第46頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：一階極點(diǎn)二階極點(diǎn)第47頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解方法一

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

(羅比達(dá)法則)為被積函數(shù)的二階極點(diǎn)，方法二利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解

第48頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四方法三

利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)在的去心鄰域展開，第49頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四極點(diǎn)z=3在的外部.分別是f(z)的3級(jí)和1級(jí)極點(diǎn),都在的內(nèi)部.而練習(xí)計(jì)算積分其中C是的正向.記顯然z=0和z=1第50頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四于是，根據(jù)留數(shù)基本定理第51頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

在高等數(shù)學(xué)中，以及許多實(shí)際問題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如

二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用第52頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來計(jì)算定積分是計(jì)算定積分顯得有用。即使尋常的方法可用，如果用留數(shù)，也往往首先，被積函數(shù)必須要與某個(gè)解析函數(shù)密切相關(guān)。這一的一個(gè)有效措施，特別是當(dāng)被積的原函數(shù)不易求得時(shí)更感到很方便。當(dāng)然這個(gè)方法的使用還受到很大的限制。點(diǎn)，一般講來，關(guān)系不大，因?yàn)楸环e函數(shù)常常是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是可以推廣到復(fù)數(shù)域中去的。其次，定積分的積分域是區(qū)間，而用留數(shù)來計(jì)算要牽涉到把問題化為沿閉曲線的積分。這是比較困難的一點(diǎn)。下面來闡述怎樣利用復(fù)數(shù)求某幾種特殊形式的定積分的值。第53頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用1、形如的積分2、形如的積分3、形如的積分第54頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四思想方法:封閉路線的積分.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條第55頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四1、形如的積分方法(1)令則要求是

u,

v

的有理函數(shù)，即是以

u,

v

為變量的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。第56頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四方法即是以

u,

v

為變量要求是

u,

v

的有理函數(shù)，1、形如的積分的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。其中，是在內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。(2)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化第57頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例

計(jì)算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn):在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.第58頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四由于因此從而被積函數(shù)1級(jí)極點(diǎn)z1.所以在單位圓周內(nèi)只有一個(gè)第59頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四其中，P(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高二次；(3)分母Q(x)無實(shí)零點(diǎn)。推導(dǎo)(略)

其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。要求(1)方法2、形如的積分(進(jìn)入推導(dǎo)?)第60頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:在上半平面取一條分段光滑的曲線,使其與實(shí)軸的一部分構(gòu)成一條簡單閉曲線,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇點(diǎn)，并使f(z)在其內(nèi)部除去這種方法稱為圍道積分法.1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當(dāng)z在實(shí)軸上時(shí),f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.第61頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

(1)令解(2)(3)在上半平面內(nèi)，i與3i為一階極點(diǎn)。第62頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四3、形如的積分(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高一次；(3)分母Q(x)無實(shí)零點(diǎn)。其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。其中，P(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；要求(1)方法第63頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四即：第64頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

在上半平面內(nèi)，1+3

i為一階極點(diǎn)。(1)令解(2)第65頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四(3)(2)第66頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四留數(shù)計(jì)算方法留數(shù)定理留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章內(nèi)容總結(jié)第67頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四1.留數(shù)的計(jì)算3.留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章的重點(diǎn)2.留數(shù)定理及在復(fù)變函數(shù)積分中的應(yīng)用第68頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第四章完第69頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德國數(shù)學(xué)家.曾在波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律,1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué).后來成為中學(xué)教師,不僅教數(shù)學(xué)、物理,還教寫作和體育,在這期間刻苦進(jìn)行數(shù)學(xué)研究.1856年到柏林大學(xué)任教,1864年成為教授.Weierstrass是將嚴(yán)格的論證引入分析學(xué)的一位大師,他發(fā)現(xiàn)了處處不可微的連續(xù)函數(shù),與其他一些數(shù)學(xué)家一起共同結(jié)束了分析學(xué)的混亂局面.第70頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四EugeneRouche(1832.8.18-1910.8.19)法國數(shù)學(xué)家.在分析學(xué)和代數(shù)學(xué)方面均有貢獻(xiàn).1862年發(fā)表了Rouche定理.1875年曾發(fā)表文章證明了線性方程組存在解的系數(shù)矩陣秩準(zhǔn)則.第71頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四附：留數(shù)(Residu)的產(chǎn)生

柯西在“求沿著兩條有相同起點(diǎn)與終點(diǎn)且包圍著

函數(shù)極點(diǎn)的路徑積分之差”時(shí)得到了這個(gè)概念。這也是使用該名稱的緣故。1829年柯西創(chuàng)建了留數(shù)理論。1814年柯西第一個(gè)注意到了留數(shù)的概念。(即留數(shù)、殘數(shù)、剩余)這個(gè)術(shù)語。1826年柯西在他的研究報(bào)告中首次使用了“residu”(返回)第72頁，共78頁，20