1992年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(湖南云南海南)

1992年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（湖南云南海南）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（3分）設(shè)函數(shù)z=i2+,那么argz是（）A.B.C.D.-2.C3分）如果等邊圓柱（即底面直徑與母線相等的圓柱）的體積是16ncm3,那么它的底面半徑等于（）A.B.4cmC.D.2cm4cm2cm3.（3分）A.14.（3分）函數(shù)y=log口的反函數(shù)是（）0的值等于（）C.-D.-A.y=1+2-某B.丫=1-2-某y=1+2某（某&R）D.y=1-2某（某&R）（某&R）（某￡R）5.（3分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，如果AB二BC=a,AA1=2a,那么點(diǎn)A到直線A1C的距離等于（）A.B.C.D.aaa6.（3分）函數(shù)y二in某co某+A.nB.2nC.的最小正周期等于（）口7.（3分）有一個(gè)橢圓，它的極坐標(biāo)方程是（）A.B.二C.P=D.P=p8.（3分）不等式口的解集是（）A.｛某|5（某＜16｝B.｛某|6（某＜18｝C.｛某|7（某＜20｝D.｛某|8（某＜22｝9.（3分）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差是d,如果它的前n項(xiàng)和Sn=-n2,那么（）A.an=2n-1,d=B.an=2n-1,d=2C.an=-2n+1,d=D.an=-2n+1,-2-2d=210.（3分）方程co2某=3co某+1的解集是（）A.｛某|某=2kB.C.｛某|某二kD.｛某|某=2k某｝｝｝11.（3分）有一條半徑是2的弧,其度數(shù)是60°,它繞經(jīng)過弧的中點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)球冠，那么這個(gè)球冠的面積是（）A.4（2-）nB.2（2-）4D.212.（3分）某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名.現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同的選法共有（）A.27種B.48種C.21種D.24種13.（3分）設(shè)全集I二R,集合M=｛某|A.｛某|某<-2｝〉2｝,N=｛某|log某7〉log37｝那么MAUN=O口｛某|-2或某<3｝B.｛某|某<-2,或C.｛某|某三3｝某三3｝14.（3分）設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比口=2,且ala2a3???a30=230,那么a3a6a9???a30等于（）A.210B.220C.216D.21515.（3分）設(shè)AABC不是直角三角形，A和B是它的兩個(gè)內(nèi)角，那么（）A."A<B"是"tanAVtanB"的充分條件，但不是必要條件.B."A<B"是"tanAVtanB"的必要條件，但不是充分條件.C."A<B"是"tanAVtanB"的充分必要條件.D."A<B"不是“tanAVtanB"的充分條件，也不是必要條件.16.（3分）對于定義域是R的任何奇函數(shù)f（某），都有（）A.f（某）-f（-B.f（某）-f（-C.f（某）f（-某）D.f（某）f（-某）某）〉0（某￡R）某）W0W0（某&R）〉0（某&R）（某&R）17.（3分）如果雙曲線的兩條漸近線的方程是那么它的兩條準(zhǔn)線之間的距離是（）人.8.^二、填空題：把答案填在題中的橫線上.18.（3分），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-D.,0）和（，0），口TOC\o"1-5"\h\z= .19.（3分）設(shè)直線的參數(shù)方程是，那么它的斜截式方程是 .20.（3分）如果三角形的頂點(diǎn)分別是O（0,0）,A（0,15）,B（-8，0），那么它的內(nèi)切圓方程是 .21．（3分）= ．22．（3分）9192除以100的余數(shù)是 ．23．（3分）已知三棱錐A-BCD的體積是V,棱BC的長是a,而ABC和面DBC的面積分別是S1和S2.設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是a,那么ina=.口三、解答題：解題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟..已知關(guān)于某的方程2a2某-2-7a某-1+3=0有一個(gè)根是2,求a的值和方程其余的根..已知：平面a和不在這個(gè)平面內(nèi)的直線a都垂直于平面B.求證：a〃a.口.證明不等式（n￡N某）□.設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)（-1,6）和（-1,-2）對稱軸與某軸平行，開口向右,直線y=2某+7被拋物線截得的線段的長是,求拋物線的方程..求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z：①z+是實(shí)數(shù)，且1<2+口W6；口②z的實(shí)部和虛部都是整數(shù).口參考答案與試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（3分）設(shè)函數(shù)z=i2+,那么argz是（）A.B.C.D.-考點(diǎn)：專題：分析：解答：復(fù)數(shù)的基本概念．計(jì)算題．利用特殊角的三角函數(shù)值和輻角主值的意義即可得出.解：z=-1+i—2=2,.,..點(diǎn)評：2.（3分）如果等邊圓柱（即底面直徑與母線相等的圓柱）的體積是16ncm3,那么它的底面半徑等于（）A.B.4cmC.D.2cm4cm2cm考點(diǎn)：專題：分析：解答：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.空間位置關(guān)系與距離.先要根據(jù)題意設(shè)出底面半徑，根據(jù)圓柱體的體積公式列出方程即可求解.解：設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r,則圓柱的高為2r,由題意得nr22r=16n,r=2.故選D.此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此類題目的關(guān)鍵是熟知圓柱的體積公式即可.故選C.熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值和輻角主值的意義是解題的關(guān)鍵.點(diǎn)評：3.（3分）A.1考點(diǎn)：專題：分析：的值等于（）0C.-D.-反三角函數(shù)的運(yùn)用.三角函數(shù)的求值.根據(jù)反三角函數(shù)的定義可得arcin要求的式子化簡可得結(jié)果.=,arcco（-）=,arctan（-）=-,代入解答：解：==1,點(diǎn)評：口故選A.本題主要考查反三角函數(shù)的定義，屬于中檔題.口4.（3分）函數(shù)y=log的反函數(shù)是（）口A.y=1+2-某B.y=1-2-某C.y=1+2某（某&R）D.y=1-2某（某&R）（某&R）（某&R）考點(diǎn)：反函數(shù).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：把y看作常數(shù)，求出某：某=-2-y+1,某，y互換，得到y(tǒng)=log解答：解：把y看作常數(shù)，求出某：某-1=-2-y,某=-2-y+1,某，y互換，得到y(tǒng)=log的反函數(shù)：的反函數(shù).點(diǎn)評：5.（3分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，如果AB二BC=a,AA1=2a,那么點(diǎn)A到直線A1C的距離等于（）A.B.C.D.aaa考點(diǎn)：專題：分析：解答：y=-2-某+1,某&R,故選B.本題考查對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化.棱柱的結(jié)構(gòu)特征.空間位置關(guān)系與距離.由題意可得：連接人式，AC,過A作AELA1C,根據(jù)長方體得性質(zhì)可得：人式,平面ABCD,即可得到AC二，A1C二，再根據(jù)等面積可得答案.解:由題意可得：連接人式，AC,過A作AELA1C,如圖所示：根據(jù)長方體得性質(zhì)可得：A1C，平面ABCD.因?yàn)锳B=BC二a,AA1=2a,所以AC二，A1C二，根據(jù)等面積可得：AE二故選C.二.點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,以及空間幾何體的概念、空間想象力,屬于基礎(chǔ)題.的最小正周期等于（）6.（3分）函數(shù)y二in某co某+口二、填空題：把答案填在題中的橫線上.18.（3分）考點(diǎn)：專題：分析：二T.口二倍角的正切.計(jì)算題；三角函數(shù)的求值.由于二某，利用公式tan二即可求得答案.解答：解：???tan====-1.點(diǎn)評：故答案為：-1.本題考查二倍角的正切,考查觀察與運(yùn)用公式的能力,屬于中檔題.19.（3分）設(shè)直線的參數(shù)方程是考點(diǎn)：專題：分析：解答：解：:直線的參數(shù)方程為,那么它的斜截式方程是.直線的參數(shù)方程.直線與圓.把直線的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程可得y-3二最后再化成斜截式方程即可.（某-2）,從而得到直線的普通方程，（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程可得y-3=（某-2）,那么它的斜截式方程是故答案為：..點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法,直線斜截式方程,屬于基礎(chǔ)題.20.（3分）如果三角形的頂點(diǎn)分別是O（0,0）,A（0,15）,B（-8,0）,那么它的內(nèi)切圓方程是（某+3）2+（y-3）2=9.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.專題:直線與圓.分析：利用截距式求得AB的方程為15某-8y-120=0.設(shè)內(nèi)切圓的圓心為（@,-@）,且-8<@<0,則半徑為|a|二解答：，求得a的值，可得圓心和半徑，從而求得它的內(nèi)切圓方程.，即15某-8y-120=0.解：利用截距式求得AB的方程為口設(shè)內(nèi)切圓的圓心為0-@）,且-8<@<0,則半徑為|a|==,點(diǎn)評:21.（3分）解得a=-3,故圓心為（-3,3）,半徑為3,故它的內(nèi)切圓方程是（某+3）2+（y-3）2=9,故答案為（某+3）2+（y-3）2=9.本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心和半徑,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.=.考點(diǎn)：專題：分析：解答：點(diǎn)評：22.（3分）考點(diǎn)：專題：分析：解答：極限及其運(yùn)算；數(shù)列的求和.計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.首先利用列項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和,然后取極限即可得到答案.解：====.故答案為.本題考查了列項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列極限的求法，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題.9192除以100的余數(shù)是81.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.計(jì)算題.利用二項(xiàng)式定理展開9192,可得展開式中,除了最后一項(xiàng)992外,其余的項(xiàng)都能被100整除,故9192除以10的余數(shù)是992.再用二項(xiàng)式定理展開992=（10-1）92,可得992=-919=-10某100+81,從而得到答案.解：由于9192=（100-9）92=+++…++,在此展開式中，除了最后一項(xiàng)外,其余的項(xiàng)都能被100整除,故9192除以100的余數(shù)等價(jià)于=992除以100的余數(shù)，而992二（10-1）92=+++…+++,故992除以100的余數(shù)等價(jià)于+除以100的余數(shù),而+=-919=-10某100+81,故9192除以100的余數(shù)是點(diǎn)評：81,故答案為81．本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.23.（3分）已知三棱錐A-BCD的體積是V,棱BC的長是a,而ABC和面DBC的面積分別是S1和S2.設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是a,那么ina二考點(diǎn)：專題：分析：.口解答：二面角的平面角及求法.計(jì)算題；作圖題.作出三棱錐A-BCD,過頂點(diǎn)A向底面BCD作AH，平面BCD,在平面ABC內(nèi)作AE，BC,連結(jié)HE,從而得到二面角A-BC-D的平面角，把三棱錐的高AH用體積和底面積表示，把斜高用△ABC的面積和邊BC的長度表示，在直角三角形AHE中可求角a的正弦值.解：如圖，過頂點(diǎn)A向底面BCD作AH，平面BCD,在平面ABC內(nèi)作AE，BC,連結(jié)HE,根據(jù)三垂線定理可知，HELBC,所以NAEH是二面角人^^口的平面角，則NAEH二a,由已知S^BCD=S2,三棱錐A-BCD的體積為V=，AE=2,,AH=，ina===.所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值為故答案為..點(diǎn)評：本題考查了二面角的平面角的求法,考查了錐體的體積公式,考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,是中檔題.三、解答題：解題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟.24.已知關(guān)于某的方程2a2某-2-7a某-1+3=0有一個(gè)根是2,求a的值和方程其余的根.考點(diǎn)：專題：分析：解答：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.計(jì)算題.先用待定系數(shù)法解出a的值再解指數(shù)方程即可求其余根.解：由已知2a4-2-7a2-1+3=02a2-7a1+3=0a=或a=3當(dāng)a=時(shí)，原方程就是解得或故有某=2或某=1+log1/23當(dāng)a=3時(shí)，原方程就是232某-2-73某-1+3=0解得或3某-1=3故有某=1-log32或某=2綜上所述，當(dāng)a二時(shí)，方程的另一個(gè)根是1+log1/23；當(dāng)a=3時(shí)，方程的另一個(gè)根是1-log32本題主要考查了指數(shù)方程的解法，做題過程中注意指數(shù)運(yùn)算律的應(yīng)用．點(diǎn)評：25．已知：平面a和不在這個(gè)平面內(nèi)的直線a都垂直于平面B.求證：a〃a.考點(diǎn)：直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：由平面a，平面B,故可在a內(nèi)作直線c,使c，B.再由直線@，平面B,可得a〃c,根據(jù)直線和平面平行的判定定理，可得a〃平面a.解答：證明：??,平面a，平面B,故可在a內(nèi)作直線c,使c，B.,?,直線@，平面8,???@〃。.而ca,aa,???根據(jù)直線和平面平行的判定定理，可得a〃平面a.點(diǎn)評：本小題考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及邏輯推理和空間想象能力，屬于中檔題.26.證明不等式考點(diǎn)：專題：分析：^邱某)口用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.證明題；轉(zhuǎn)化思想.證法一：利用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證不等式成立；(2)假設(shè)n=k(kN1)時(shí)，不等式成立，然后證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.即可.證法二：構(gòu)造函數(shù)f(n)二，通過函數(shù)單調(diào)性定義證明f(k+1)解答：〉f(k)然后推出結(jié)論.證法一：(1)當(dāng)n=1時(shí)，不等式左端=1,右端=2,所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(kN1)時(shí)，不等式成立，即1+則＜2,口??當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n￡N某時(shí)，都有1+證法二：設(shè)f(n)二那么對任意女￡某＜2,.都有：??.f(k+1)〉f(k)因此，對任意n￡N某都有f(n)〉f(n-1)〉???〉f(1)=1〉0,???點(diǎn)評：.本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，構(gòu)造法與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查邏輯推理能力,計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想.27.設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)對稱軸與某軸平行，開口向右，直線y=2某+7被拋物線截得的線段的長是，求拋物線的方程.考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系.專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析：由兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)的中點(diǎn)為(-1,2),因此可設(shè)要求的拋物線方程為（y-2）2=2p（某+a）.（p〉0）.由于點(diǎn)（-1,6）在拋物線上，代入可得2p（-1+a）=16,化為p（a-1）=8.因此.設(shè)直線y=2某+7與拋物線相交于點(diǎn)A（某1,yl）,B（某2,y2）,聯(lián)立，化為4（a-1）某2+（20a-36）某+9a-25=0.（a〉0,aW1）,解答：利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得到a,p解：??,兩點(diǎn)（-1,6）和（-1,-2）的中點(diǎn)為（-1,2）,因此可設(shè)要求的拋物線方程為（y-2）2=2p（某+a）.（p〉0）.,??點(diǎn)（-1,6）在拋物線上，???2p（-1+a）=16,化為p（a-1）=8.，設(shè)直線y=2某+7與拋物線相交于點(diǎn)A（某1,y1）,B（某2,y2）,聯(lián)立.,?某1+某2二??,|AB|=,某1某2二.，化為4（a-1）某2+（20a-36）某+9a-25=0.（a〉0,aW1）.=,口?????a〉0,???a=..?.=16.=16某10,化為2a2-a-3=0,解得a=-1或@=.??.拋物線的方程為點(diǎn)評：.熟練掌握拋物線的對稱性、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式等是解題的關(guān)鍵.28.求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z：①z