北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一章三角形的證明-測(cè)試卷含答案

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一章三角形的證明評(píng)卷人得分一、單選題1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，則PC與PD的大小關(guān)系是（）A．PC＞PD B．PC＝PD C．PC＜PD D．不能確定2．如圖，已知在△ABC，AB＝AC．若以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE3．已知三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在的邊上，則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定4．如圖,點(diǎn)C是△ABE的BE邊上一點(diǎn),點(diǎn)F在AE上,D是BC的中點(diǎn),且AB=AC=CE,給出下列結(jié)論:①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正確的結(jié)論有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，則∠1與∠B的關(guān)系是（）A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．不確定6．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．12B．15C．12或15D．187．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，那么△ABC的面積為（）A．cm2 B．2cm C．3cm2 D．4cm28．如圖，在△ABC中，AC=4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長(zhǎng)是7cm，則BC的長(zhǎng)為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm9．在等邊三角形所在平面內(nèi)找出一個(gè)點(diǎn)，使它與三角形中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)所組成的三角形都是等腰三角形，這樣的點(diǎn)一共有（）A．1個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．10個(gè)10．如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，則△ADE的周長(zhǎng)等于（）A．8 B．4 C．12 D．16評(píng)卷人得分二、填空題11．已知等腰三角形的一個(gè)外角是70°，則它頂角的度數(shù)為．12．如圖，已知△ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，D為垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，則∠A=__________．13．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD=36°，則∠BAC的度數(shù)為_(kāi)_______，∠C的度數(shù)為_(kāi)_______．14．如圖所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，則∠ADB等于________度．15．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分成三個(gè)三角形，則：：等于__________．16．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點(diǎn)D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為_(kāi)____．17．如圖∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，則PD等于________.18．如圖，已知點(diǎn)P是∠AOB角平分線上的一點(diǎn)，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中點(diǎn)，DM=4cm，如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為_(kāi)_______cm．評(píng)卷人得分三、解答題19．如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE．20．如圖，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE＝CF，過(guò)E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，試證明BD平分EF．21．如圖，△ABC的高BD與CE相交于點(diǎn)O，OD=OE，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)M，請(qǐng)你從圖中找出幾對(duì)全等的直角三角形，并說(shuō)明理由．22．如圖：AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接E、F，求證：AD是EF的垂直平分線．23．如圖所示，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長(zhǎng).24．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF，交AC于點(diǎn)E，連接BE，∠A=∠ABE．（1）求證：DF是線段AB的垂直平分線；（2）當(dāng)AB=AC，∠A=46°時(shí)，求∠EBC及∠F的度數(shù)．25．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC邊的中線，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）試證明：AE=CD；（2）若AC=12cm，求線段BD的長(zhǎng)度．26．如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE．（2）延長(zhǎng)BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=6，求PQ的長(zhǎng)．27．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D為AB中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段BC上以3cm/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).（1）若Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與P點(diǎn)相同，且點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)1秒鐘后△BPD與△CQP是否全等，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，但運(yùn)動(dòng)的速度不相同，當(dāng)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有△BPD與△CQP全等？（3）若點(diǎn)Q以（2）中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都是逆時(shí)針沿△ABC的三邊上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？參考答案1．B【解析】主要應(yīng)用到全靠等三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用．通過(guò)AAS來(lái)證明△OCP和△ODP全等即可．證明：∵OP平分∠AOB∴∠AOP=∠BOP∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D∴∠OCP=∠ODP=90°又∵OP=OP∴△OCP≌△ODP(AAS)∴PC＝PD點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定的應(yīng)用，及對(duì)角平分線的理解．2．C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交腰AC于點(diǎn)E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故選C．點(diǎn)睛：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉菍?duì)應(yīng)相等時(shí)其頂角也相等，難度不大．3．B【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊垂直平分線概念即可解題.【詳解】解,由三角形的垂直平分線可知,銳角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部,直角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在△ABC的斜邊上,鈍角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在△ABC的外部.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形垂直平分線的概念,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉概念是解題關(guān)鍵.4．B【解析】【分析】根據(jù)所給條件利用三線合一性質(zhì)即可證明①正確,進(jìn)而證明④正確,即可解題.【詳解】①∵D是BC的中點(diǎn)，AB=AC，

∴AD⊥BC，故①正確；

②∵F在AE上，不一定是AE的中點(diǎn)，AC=CE，

∴無(wú)法證明CF⊥AE，故②錯(cuò)誤；

③無(wú)法證明∠1=∠2，故③錯(cuò)誤；

④∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=DC，

∵AB=CE，

∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正確．

故其中正確的結(jié)論有①④．

故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的性質(zhì)和證明,中等難度,找到等腰三角形利用三線合一性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5．C【解析】【分析】根據(jù)直角三角形得∠A+∠B=90°,根據(jù)CD⊥AB，得∠1+∠A=90°,利用同角的余角相等即可得到∠1=∠B.【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°,∵CD⊥AB，∴∠1+∠A=90°,∴∠1=∠B（同角的余角相等）,故選C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的證明,用到了同角的余角相等,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6．B【解析】試題分析：根據(jù)題意，要分情況討論：①、3是腰；②、3是底．必須符合三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊．解：①若3是腰，則另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不構(gòu)成三角形，舍去．②若3是底，則腰是6，6．3+6＞6，符合條件．成立．∴C=3+6+6=15．故選B．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．7．A【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形面積公式S=,即可解題.【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)=2,∴S==,故選A【點(diǎn)睛】本題考查求等邊三角形的面積,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵.8．C【解析】試題分析：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴AN=BN，∵△BCN的周長(zhǎng)是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故選C．考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)．9．D【解析】解：如圖，①內(nèi)部一個(gè)，是三角形的中心P，②外面有九個(gè)，在直線AP上有三個(gè)點(diǎn)，，，滿足A=AB，A=AB，B=AB，同理，在直線BP上有三個(gè)點(diǎn)，在直線CP上有三個(gè)點(diǎn)，滿足條件．共有10個(gè)點(diǎn)．故選D．10．A【解析】【詳解】∵AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，則△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故選A．11．110°【解析】試題分析：三角形內(nèi)角與相鄰的外角和為180°，三角形內(nèi)角和為180°，等腰三角形兩底角相等，110°只可能是頂角．解：等腰三角形一個(gè)外角為70°，那相鄰的內(nèi)角為110°，三角形內(nèi)角和為180°，如果這個(gè)內(nèi)角為底角，內(nèi)角和將超過(guò)180°，所以110°只可能是頂角．故答案為110°．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)．12．45°【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵E在線段AB的垂直平分線上，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A=2∠EBC，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2(∠A+∠A)=180°，∴∠A=45°，故答案為：45°.13．72°54°【解析】【分析】根據(jù)已知證明△ABC為等腰三角形,利用三線合一性質(zhì)即可解題.【詳解】解：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC（三線合一）,∵∠BAD=36°，∴∠BAC=72°,∠C=90°-36°=54°.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的證明,三線合一的性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題,熟悉三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.14．30【解析】【分析】根據(jù)已知證明三角形ABD為等腰三角形,利用AD∥BC得∠ABD=∠ADB=∠DBC,根據(jù)∠BDC=90°得到∠DCB與∠DBC互余,等量代換角即可解題.【詳解】解：∵AB=AD，AD∥BC，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC,又∠ABC=∠DCB，∴∠DCB=2∠DBC,∵∠BDC=90°，即∠DCB+∠DBC=90°,∴∠DBC=30°,∴∠ADB=30°.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的三角證明,平行線性質(zhì),直角三角形性質(zhì),中等難度,等量代換角是解題關(guān)鍵.15．2：3：4.【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面積公式即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴：：=2：3：4．故答案為2：3：4．16．30°或150°或90°【解析】試題分析：分兩種情況；①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求解即可．解：①BC為腰，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，頂角∠C=30°，如圖2，AD在△ABC外部時(shí)，頂角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴頂角∠BAC=90°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°．故答案為30°或150°或90°．點(diǎn)睛：本題考查了含30°交點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．17．3【解析】【詳解】試題分析：過(guò)P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD，在求得∠BCP=30°，在Rt△ECP中，根據(jù)30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求得PD的長(zhǎng)．試題解析：過(guò)P作PE⊥OB于E，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∠AOP=∠BOP=15°，∴∠BOA=30°，PE=PD，∵PC∥OA，∴∠BOA=∠BCP=30°，又△ECP為直角三角形，且PC=6，∴PE=3，PD=3．考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；特殊直角三角形的性質(zhì)．18．4【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到答案．【詳解】是角平分線上的一點(diǎn)，，，，M是OP的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為P到OB距離，的最小值，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，然后證明△ABD≌△ACE即可證得結(jié)論．【解析】分析：證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△ABD與△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD=AE．20．詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明AB=CD,AF=CF，證明Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）,得BF＝DE,進(jìn)而證明△BFG≌△DEG（AAS），即可證明.【詳解】證明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°,∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE．

在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì),中等難度,將中點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明全等問(wèn)題是解題關(guān)鍵.21．△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由見(jiàn)解析.【解析】試題分析：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可證明，做題時(shí)，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個(gè)驗(yàn)證．試題解析：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由如下：在△ADO與△AEO中，∠ADO=∠AEO=90°，，∴△ADO≌△AEO（HL），∴∠DAO=∠EAO，AD=AE，在△DOC與△EOB中，，∴△DOC≌△EOB（ASA），∴DC=EB，OC=OB，∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，∵∠DAO=∠EAO，∴AM⊥BC，CM=BM，在△COF與△BOF中，∠OMC=∠OMB=90°，，∴△COF≌△BOF（HL），在△ACF與△ABF中，∠AFC=∠AFB=90°，，∴△ACF≌△ABF（HL），在△ADB與△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），在△BCE與△CBD中，∠BEC=∠CDB=90°，，∴△BCE≌△CBD（HL）．22．詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)垂直證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），即可解題.【詳解】證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分線，∴AD是EF的垂直平分線【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,屬于簡(jiǎn)單題,將垂直平分線問(wèn)題轉(zhuǎn)換為全等問(wèn)題是解題關(guān)鍵.23．△AMN的周長(zhǎng)為2．【解析】【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，證明△DMN≌△DEN，得到對(duì)應(yīng)邊相等即可解題.【詳解】如圖，延長(zhǎng)NC到E，使CE=BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用,截長(zhǎng)補(bǔ)短的數(shù)學(xué)方法,中等難度,作輔助線證明全等是解題關(guān)鍵.24．（1）見(jiàn)解析；（2）∠EBC=21°，∠F=23°．【解析】試題分析：(1)、根據(jù)題意得出AE=BE，然后結(jié)合AD=BD得出答案；(2)、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=67°，根據(jù)∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．試題解析：(1)、證明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB，∵AD=DB，∴DF是線段AB的垂直平分線；(2)、解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．25．（1）證明見(jiàn)解析（2）BD=6cm．【解析】【分析】（1）證兩條線段相等，通常用全等，本題中的AE和CD分別在三角形AEC和三角形CDB中，在這兩個(gè)三角形中，已經(jīng)有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進(jìn)行解答；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12cm，即可求出BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，∴∠D=∠AEC，又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，∴△DBC≌△ECA（AAS），∴AE=CD；（2）因?yàn)椤鰽CE≌△CBD，所以BD=CE，因?yàn)镃E=BC=AC=×12=6cm，所以BD=6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．26．（1）詳見(jiàn)解析；（2）PQ=8.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得∠ACD=∠BCE,即可證明△ACD≌△BCE（SAS）,（2）過(guò)C作CH⊥BQ，垂足為H，由角平分線得到∠CAD=∠BAC=30°,通過(guò)（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根據(jù)30