初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答-第19講-轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

第十九講轉(zhuǎn)化靈活的圓中角角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線位置關(guān)系、運(yùn)用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特征，賦予角極強(qiáng)的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化．根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索；由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對(duì)角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來(lái)．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論．注：根據(jù)頂點(diǎn)、角的兩邊與圓的位置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類(lèi)似地，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)，我們可以定義圓外角與圓內(nèi)角，這兩類(lèi)角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系?讀者可自行作一番探討．【例題求解】【例1】如圖，直線AB與⊙O相交于A，B再點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝40°，點(diǎn)E是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合)，直線EC交⊙O于另一點(diǎn)D，則使DE=DO的點(diǎn)正共有個(gè)．思路點(diǎn)撥在直線AB上使DE=DO的動(dòng)點(diǎn)E與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?分點(diǎn)E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長(zhǎng)線上(E點(diǎn)在⊙O外)三種情況考慮，通過(guò)角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù)．注：弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法．【例2】如圖，已知△ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F、M，對(duì)于如下五個(gè)結(jié)論：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)思路點(diǎn)撥充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗(yàn)證．注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類(lèi)問(wèn)題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇．【例3】如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面積．思路點(diǎn)撥由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵．【例4】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AB于D(AD<DB)，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)(點(diǎn)D、B除外)，直線CE交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)AF與直線CD交于點(diǎn)G．(1)求證：AC2=AG×AF；(2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立．請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路點(diǎn)撥(1)作出圓中常用輔助線證明△ACG∽△AFC；（2）判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵．注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問(wèn)題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件．【例5】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿(mǎn)足AB=CD=EF，且對(duì)角線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CF的交點(diǎn)為P．求證：（1）；(2)．思路點(diǎn)撥解本例的關(guān)鍵在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對(duì)相似三角形．證明△QDE∽△ACF；(2)易證，通過(guò)其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題的證明．注：有些幾何問(wèn)題雖然表面與圓無(wú)關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有：(1)利用圓的定義判定；(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定．學(xué)歷訓(xùn)練1．一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為．2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的一點(diǎn)，則∠1+∠2=．3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，則EF的長(zhǎng)為．4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，設(shè)⊙O的半徑為，AB的長(zhǎng)為，用的代數(shù)式表示，=．5．如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°6．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，則∠BOC等于()A．20°B．30°C．40°D．50°7．如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點(diǎn)，AB=，BC=2，則∠D的度數(shù)為()A．60°B．120°C．135°D．150°⌒⌒8．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，點(diǎn)P是弧AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F．給出下列四個(gè)結(jié)論：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠⌒⌒A．1B．2C．3D．49．如圖，已知B正是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高．(1)求證：AC·BC=BE·CD；已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)．10．如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C．(1)求證：FB=FC；(2)求證：FB2=FAFD；(3)若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長(zhǎng)．11．如圖，B、C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(diǎn)(B、C點(diǎn)除外)，則tan∠APB·tan∠CPD=．12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，則四邊形ABCD的面積為．13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，則BC=．⌒⌒14．如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點(diǎn)，∠B=40°，則∠A等于()A．60°B．50°C．80°D．70°15．如圖，已知ABCD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長(zhǎng)AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，則⊙O的面積為()A．25πB．16πC．15πD．13π(2001年紹興市競(jìng)賽題)16．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過(guò)A、D兩點(diǎn)的圓與AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F，弦EF與AD相交于點(diǎn)G，則圖中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為()A．5B．4C．3D．217．如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積．18．如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，且有∠BAE=∠DAC．求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·BC＝AC·BD．19．如圖，已知P是⊙O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，直線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn)，弦DF⊥AB于點(diǎn)H，CF交AB于點(diǎn)E．(1)求證：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長(zhǎng)．⌒20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．⌒(1)求∠B的度數(shù)；(2)求CE的長(zhǎng)；(3)求證：DA、DC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．參考答案第二十講直線與圓直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形，既可從直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定，也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來(lái)考察．討論直線與圓的位置關(guān)系的重點(diǎn)是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長(zhǎng)定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識(shí)，這些豐富的知識(shí)對(duì)應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論：注：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱(chēng)“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點(diǎn)．【例題求解】【例1】如圖，AB是半圓O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長(zhǎng)為．思路點(diǎn)撥從C點(diǎn)看，可用切線長(zhǎng)定理，從E點(diǎn)看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O的半徑．注：連結(jié)圓心與切點(diǎn)是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用．【例2】如圖，AB、AC與⊙O相切于B、C，∠A=50°，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是()A．65°B．115°C．60°和115°D．130°和50°(山西省中考題)思路點(diǎn)撥略【例3】如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．問(wèn)：(1)若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切?(2001年黑龍江省中考題)思路點(diǎn)撥(1)是結(jié)論探索題，(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫(huà)圖，方能求解．【例4】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合)，Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)．(1)當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(廣州市中考題)思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)P能作為直角頂點(diǎn)，建立一個(gè)研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點(diǎn)就是符合要求的點(diǎn)P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見(jiàn)問(wèn)題，判定的基本方法有：(1)從直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)入手；(2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直；(3)運(yùn)用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．一個(gè)圓的問(wèn)題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進(jìn)而可得不同的證法，對(duì)于分層次設(shè)問(wèn)的問(wèn)題，需整體考慮；【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，EQ\o(\s\up8(︵),\s\do1(AC))是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作EQ\o(\s\up8(︵),\s\do1(AC))所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．（1）當(dāng)∠DEF=45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，如圖，當(dāng)EF=時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由．思路點(diǎn)撥圖中有多條⊙B的切線，由切線長(zhǎng)定理可得多對(duì)等長(zhǎng)線段，這是解(1)、(2)問(wèn)的基礎(chǔ)，對(duì)于(3)，由(2)求出的值，確定E點(diǎn)位置，這是解題的關(guān)鍵．注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識(shí)，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互助等思想方法，具有較強(qiáng)的選拔功能．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=，F(xiàn)M=，那么△PMB的周長(zhǎng)為．2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn)，則∠ACB=．3．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠F=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是．4．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E，要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿(mǎn)足的條件是．5．、表示直線，給出下列四個(gè)論斷：①∥；②切⊙O于點(diǎn)A；③切⊙O于點(diǎn)B；④AB是⊙O的直徑．若以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()1B．2C．3D．46．如圖，圓心O在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線BD上，⊙O過(guò)B點(diǎn)且與AD、DC邊均相切，則⊙O的半徑是()A．B．C．D．7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)()A．不存在B．只有一個(gè)C．只有兩個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)⌒⌒8．如圖，圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列結(jié)論：①CH=CP；②AD=DB；③⌒⌒A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半徑為1，(1)求弦AC、AB的長(zhǎng)；(2)若P為CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，試確定P點(diǎn)的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O的半徑；(3)求sin∠PCA的值．11．(1)如圖a，已知直線AB過(guò)圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F(不與B重合)，直線交⊙O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、AD，求證：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．(2)在問(wèn)題(1)中，當(dāng)直線向上平行移動(dòng)與⊙O相切時(shí)，其他條件不變．①請(qǐng)你在圖b中畫(huà)出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)Da標(biāo)記字母；②問(wèn)題(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立?如果成立，請(qǐng)給出證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則⊙O的半徑等于．13．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)M重合)，點(diǎn)Q在半圓O上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ=PO，過(guò)點(diǎn)Q作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．(1)當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明．(2)當(dāng)QP⊥AB時(shí)，△QCP的形狀是三角形．(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜想當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)，△QCP一定是三角形．14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長(zhǎng)線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長(zhǎng)為()A．2B．3C．3．5D．4⌒⌒15．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B切點(diǎn)，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結(jié)論：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PC·⌒⌒A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)16．如圖，已知△ABC，過(guò)點(diǎn)A作外接圓的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，，點(diǎn)D在AC上，且，延長(zhǎng)PD交AB于點(diǎn)E，則的值為()A．B．C．D．⌒