2019數(shù)學(xué)（文）通用版二輪精準提分練習(xí)第二篇 第16練 概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第16練概率[小題提速練][明晰考情］1。命題角度：古典概型與幾何概型的概率計算.2。題目難度：中低檔難度.考點一隨機事件的概率要點重組（1）對立事件是互斥事件的特殊情況，互斥事件不一定是對立事件.(2）若事件A，B互斥，則P(A∪B）＝P(A)＋P(B）；若事件A，B對立，則P（A)＝1－P(B）。1。從10個事件中任取一個事件，若這個事件是必然事件的概率為0.2,是不可能事件的概率為0.3，則這10個事件中隨機事件的個數(shù)是(）A。3 B.4C.5 D。6答案C解析這10個事件中，必然事件的個數(shù)為10×0。2＝2，不可能事件的個數(shù)為10×0。3＝3.而必然事件、不可能事件、隨機事件是彼此互斥的事件，且它們的個數(shù)和為10.故隨機事件的個數(shù)為10－2－3＝5。故選C。2.從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件，設(shè)事件A＝｛抽到一等品｝,事件B＝{抽到二等品｝，事件C＝｛抽到三等品｝，且已知P(A)＝0。7,P(B)＝0.2，P（C)＝0。1，則事件“抽到的不是一等品"的概率為(）A.0。7 B.0。2C.0.1 D。0。3答案D解析∵“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到一等品”,事件A＝｛抽到一等品｝，P(A)＝0。7，∴“抽到的不是一等品"的概率是1－0。7＝0。3。3.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0。42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（)A。0。42 B.0.28C.0。3 D。0。7答案C解析∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0。3，故選C。4.在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目，若選中男教師的概率為eq\f(9，20），則參加聯(lián)歡會的教師共有________人.答案120解析可設(shè)參加聯(lián)歡會的教師共有n人，由于從這些教師中選一人，“選中男教師”和“選中女教師”兩個事件是對立事件,所以選中女教師的概率為1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20).再由題意,知eq\f(11，20)n－eq\f（9，20)n＝12，解得n＝120.考點二古典概型方法技巧求古典概型問題的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解。(2）要用間接法,利用對立事件的概率公式進行求解.5.(2018·全國Ⅱ)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為（)A.0.6 B。0。5C。0。4 D。0.3答案D解析設(shè)2名男同學(xué)為a,b,3名女同學(xué)為A，B,C,從中選出兩人的情形有(a，b)，（a，A)，(a，B），（a,C)，(b,A），(b，B)，（b，C),(A，B），（A，C)，（B,C），共10種,而都是女同學(xué)的情形有(A，B），(A,C）,(B,C),共3種，故所求概率為eq\f(3，10）＝0.3.6。(2017·天津）有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫。從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）A.eq\f（4，5) B.eq\f（3，5)C.eq\f(2,5) D。eq\f(1，5）答案C解析從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫、黃藍、黃綠、黃紫、藍綠、藍紫、綠紫,共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝eq\f（4，10）＝eq\f(2,5)。故選C。7.有兩張卡片，一張的正反面分別畫著老鼠和小雞，另一張的正反面分別畫著老鷹和蛇.現(xiàn)在有個小孩隨機地將兩張卡片排在一起放在桌面上，不考慮順序，則向上的圖案是老鷹和小雞的概率是(）A。eq\f(1,2） B.eq\f(1,3)C。eq\f(1，4) D。eq\f(1,5）答案C解析向上的圖案為鼠鷹、鼠蛇、雞鷹、雞蛇四種情況，其中向上的圖案是雞鷹的概率為eq\f(1,4）。故選C。8。如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P，Q,M，N分別是線段OA,OB，OC，OD的中點，在A，P，M，C中任取一點記為E,在B，Q，N，D中任取一點記為F,設(shè)G為滿足eq\o(OG,\s\up6（→)）＝eq\o(OE,\s\up6（→))＋eq\o(OF,\s\up6（→))的點,則在上述的點G組成的集合中的點,落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為________.答案eq\f（3，4)解析基本事件的總數(shù)是4×4＝16，在eq\o(OG，\s\up6（→）)＝eq\o(OE,\s\up6（→）)＋eq\o（OF,\s\up6(→))中,當eq\o(OG,\s\up6(→)）＝eq\o(OP,\s\up6（→））＋eq\o(OQ,\s\up6(→）），eq\o(OG,\s\up6(→）)＝eq\o(OP，\s\up6(→)）＋eq\o(ON,\s\up6(→）)，eq\o(OG，\s\up6(→）)＝eq\o（ON,\s\up6(→））＋eq\o(OM，\s\up6(→)），eq\o（OG，\s\up6（→））＝eq\o（OM,\s\up6（→）)＋eq\o（OQ,\s\up6(→))時,點G分別為該平行四邊形的各邊的中點,此時點G在平行四邊形的邊界上，而其余情況的點G都在平行四邊形外，故所求的概率是1－eq\f(4，16）＝eq\f(3，4).考點三幾何概型要點重組幾何概型試驗的兩個基本特點（1)無限性。(2）等可能性.方法技巧幾何概型問題解決的關(guān)鍵是確定區(qū)域的測度，注意區(qū)分長度與角度、面積與體積等一般所選對象的活動范圍,在直線上選長度作為測度;在平面區(qū)域內(nèi)選面積作為測度；在空間區(qū)域中則選體積作為測度。9.某人從甲地去乙地共走了500m，途經(jīng)一條寬為xm的河流，該人不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，則能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(4，5），則河寬大約為(）A.80m B。50mC。40m D.100m答案D解析由長度的幾何概型公式并結(jié)合題意可知，河寬為500×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5）））＝100（m）.10.在Rt△ABC中，直角頂點為C，∠A＝30°，在∠ACB的內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，則滿足BC＜AM＜AC的概率為()A。eq\f（1,4)B.eq\f(1,3）C。eq\f(1,2)D.eq\f(2,3）答案C解析記“BC＜AM＜AC”為事件D，在AB上取一點C1，使得AC1＝AC，連接CC1，則∠ACC1＝75°，在AB上取一點C2,使得BC2＝BC，連接CC2,則∠ACC2＝30°，那么∠C1CC2＝∠ACC1－∠ACC2＝45°，而∠ACB＝90°,根據(jù)幾何概型的概率計算公式知,P（D）＝eq\f（∠C1CC2，∠ACB）＝eq\f（45°,90°）＝eq\f（1,2）。11.(2018·全國Ⅰ)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2，p3，則（）A。p1＝p2 B。p1＝p3C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3答案A解析∵S△ABC＝eq\f(1,2）AB·AC,以AB為直徑的半圓的面積為eq\f(1，2）π·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（AB，2）））2＝eq\f（π,8)AB2，以AC為直徑的半圓的面積為eq\f(1，2）π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（AC，2)））2＝eq\f（π，8)AC2,以BC為直徑的半圓的面積為eq\f(1，2)π·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(BC,2)）)2＝eq\f（π，8)BC2，∴SⅠ＝eq\f(1，2）AB·AC，SⅢ＝eq\f（π,8）BC2－eq\f(1，2）AB·AC,SⅡ＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，8）AB2＋\f（π,8）AC2）)－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，8)BC2－\f（1,2)AB·AC))＝eq\f(1,2)AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由幾何概型概率公式得p1＝eq\f(SⅠ，S總），p2＝eq\f(SⅡ，S總）?！鄍1＝p2.故選A.12.（2017·全國Ⅰ)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(）A.eq\f（1,4)B。eq\f(π,8)C。eq\f(1，2)D.eq\f(π,4)答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4。由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝eq\f（1,2）S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知,所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形）＝eq\f（\f（π，2),4)＝eq\f（π，8）。故選B1。設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2,，0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A.eq\f（π,4)B。eq\f（π－2，2）C.eq\f(π，6）D。eq\f（4－π，4)答案D解析如圖所示，其構(gòu)成的區(qū)域D為邊長為2的正方形,面積為S1＝4,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一點，則此點到原點的距離大于2所表示的平面區(qū)域是以原點為圓心,以2為半徑的eq\f(1，4)圓外部，面積為S2＝4－eq\f（π×22,4)＝4－π.所以在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率P＝eq\f（4－π,4）。故選D.2.若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標有1，2,3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率為________.答案eq\f(1，12）解析將先后擲2次出現(xiàn)向上的點數(shù)記作點坐標（x，y)，則共可得點坐標的個數(shù)為6×6＝36,而向上點數(shù)之和為4的點坐標有(1，3)，（2,2),（3，1),共3個，故先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率P＝eq\f（3，36）＝eq\f(1，12)。解題秘籍(1）利用古典概型公式解題時，要注意基本事件的等可能性，正確把握基本事件的個數(shù)。（2)當基本事件受兩個連續(xù)變量控制時，一般是把兩個連續(xù)變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決。1。(2018·全國Ⅲ）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0。45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0。15,則不用現(xiàn)金支付的概率為(）A.0。3 B。0。4C。0.6 D。0。7答案B解析由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1－0。45－0.15＝0。4.2.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）A。eq\f(1，3） B.eq\f(1，4）C。eq\f（1,5） D。eq\f（1,6)答案A解析分別用A,B,C表示齊王的上、中、下等馬，用a,b，c表示田忌的上、中、下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9種情況，其中田忌的馬獲勝的有Ba，Ca，Cb共3種情況,所以田忌的馬獲勝的概率為eq\f(1，3），故選A。3。如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1，2,3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(）A。eq\f（3,10）B。eq\f(1，5）C.eq\f（1,10)D.eq\f(1，20)答案C解析從1，2,3，4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1,2,3），（1，2,4)，(1，2,5)，(1，3,4），（1,3,5)，（1，4,5），（2，3，4)，（2，3，5），(2,4,5），(3,4，5），其中勾股數(shù)只有(3,4，5)，所以概率為eq\f(1,10）.故選C.4.一個袋中裝有大小相同,編號分別為1,2,3,4,5，6,7,8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個小球的編號之和小于15的概率為（)A。eq\f(29，32)B。eq\f（63，64）C.eq\f（31,32）D.eq\f（61，64）答案D解析基本事件總數(shù)為8×8＝64.兩球編號之和不小于15的情況有三種:（7,8)，(8，7），（8,8）,則兩球編號之和不小于15的概率為eq\f（3,64）,因此兩個球的編號之和小于15的概率為1－eq\f（3,64)＝eq\f（61，64）。5。如圖,在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，現(xiàn)從該三棱錐的6條棱中任選2條,則這2條棱互相垂直的概率為(）A.eq\f(1,3） B。eq\f(1，4）C.eq\f（2，5） D.eq\f(2,9）答案A解析由已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,可推得SB⊥BC，從該三棱錐的6條棱中任選2條,基本事件為:（SA，SB)，(SA，SC)，（SA,AB），(SA，AC），（SA，BC)，（SB，SC)，（SB，AB），(SB，AC），（SB,BC）,（SC,AB），(SC，AC），(SC,BC)，（AB，AC），（AB，BC），(BC，AC)，共15種情況，而其中互相垂直的2條棱有(SA,AB)，(SA,BC)，（SA,AC），(SB，BC)，(AB，BC)，共5種情況,所以這2條棱互相垂直的概率為P＝eq\f(5，15)＝eq\f(1，3）.6。(2017·全國Ⅱ)從分別寫有1，2,3，4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A。eq\f(1，10） B。eq\f(1，5）C。eq\f（3,10） D.eq\f(2,5）答案D解析從5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f（10,25)＝eq\f（2，5）。故選D。7。已知a,b∈（0，1)，則函數(shù)f（x）＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)的概率為（)A.eq\f(1,4） B.eq\f（1，2）C。eq\f（3,4） D.eq\f(3，5)答案A解析函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上是增函數(shù)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知－eq\f（－4b,2a)＝eq\f(2b,a)≤1，即a≥2b.由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0<a〈1，,0<b〈1，，a≥2b，））即圖中陰影部分?！嗪瘮?shù)f（x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為eq\f（\f(1,2)×1×\f(1，2）,1×1）＝eq\f(1,4）。故選A.8.（2018·衡水金卷模擬)三世紀中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法。如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖,現(xiàn)向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A。eq\f（3\r（3）,2π） B。eq\f（2\r(3），9π）C。eq\f(3\r（2）,2π) D.eq\f（2\r（3),3π)答案A解析設(shè)圓的半徑為r，則圓的面積S圓＝πr2，正六邊形的面積S正六邊形＝6×eq\f（1,2）×r2×sin60°＝eq\f(3\r（3）,2)r2，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內(nèi)的概率P＝eq\f（S正六邊形，S圓)＝eq\f(\f(3\r（3）,2）r2,πr2）＝eq\f（3\r（3)，2π)，故選A.9.在三棱錐P－ABC內(nèi)任取一點Q,使VQ－ABC<eq\f（1，3）VP－ABC的概率為________。答案eq\f(19，27）解析如圖,作出P在底面△ABC內(nèi)的射影O。若VQ－ABC＝eq\f（1,3）VP－ABC，則三棱錐Q－ABC的高h＝eq\f（1,3)PO，則VQ－ABC<eq\f（1，3)VP－ABC的點Q位于三棱錐P－ABC的截面DEF以下的棱臺內(nèi)，其中D,E,F分別為BP,AP，CP的三等分點。則VQ－ABC〈eq\f(1，3）VP－ABC的概率P＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,3)))3＝eq\f（19,27).10.某中學(xué)夏季運動會上，鐵餅項目運動員向一矩形區(qū)域進行扔餅訓(xùn)練,該矩形長為6，寬為4,鐵餅是半徑為1的圓，該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區(qū)域內(nèi)，則該運