全國(guó)優(yōu)秀案例任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例

任意角的三角函數(shù)陳正泉一、教學(xué)內(nèi)容解析這是一堂關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課．在初中，學(xué)生已學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比值．在此基礎(chǔ)上，隨著本章將角的概念推廣，以及引入弧度制后，這里相應(yīng)地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，但它與解三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了．任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識(shí)它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀幫助，這中間體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù)，它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見(jiàn)、最基本的數(shù)學(xué)模型，不僅在高中數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在其他領(lǐng)域中也具有廣泛的應(yīng)用．而任意角三角函數(shù)的概念又是整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念，同時(shí)在高中數(shù)學(xué)中還占有重要的地位．本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開，任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點(diǎn)，能夠利用單位圓認(rèn)識(shí)該定義是解決教學(xué)重點(diǎn)的關(guān)鍵．二、教學(xué)目標(biāo)解析1．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：（1）能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)；（2）能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示任意角的三角函數(shù)；（3）知道三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．2．在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問(wèn)題．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1．學(xué)生在理解用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是學(xué)生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長(zhǎng)的比值來(lái)表示銳角三角函數(shù)．要克服這一困難，關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值與直角三角形有關(guān)邊長(zhǎng)的比值的聯(lián)系．2．學(xué)生在理解將終邊上任意一點(diǎn)取在終邊與單位圓的交點(diǎn)這一特殊位置上時(shí)，又可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會(huì)認(rèn)為這一特殊點(diǎn)不具有任意性．針對(duì)這一問(wèn)題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)，明白對(duì)于一個(gè)確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會(huì)隨終邊上所取點(diǎn)的位置的改變而改變．3．學(xué)生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時(shí)，還可能會(huì)出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問(wèn)題．要幫助學(xué)生克服這一困難，就要讓學(xué)生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問(wèn)題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒(méi)有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)，同時(shí)還能定義任意角的三角函數(shù)．四、教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過(guò)程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維．五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義進(jìn)一步理解任意角三角函數(shù)的概念小結(jié)（二）教學(xué)情景1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)．如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？PPMO圖1設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答．2．認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義問(wèn)題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說(shuō)的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．師生活動(dòng)：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，利用下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．如果學(xué)生仍然不能想到借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)定義，那么可以進(jìn)一步提出下列問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考：?jiǎn)栴}8：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，它的大小將會(huì)怎樣變化？它所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值又將怎樣變化？設(shè)計(jì)意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合的思想．師生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生討論完成．例3：先確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再求出它們的值：（1）sin；（2）cos3π；（3）tan；（4）cos．設(shè)計(jì)意圖：將確定函數(shù)值的符號(hào)與求函數(shù)值這兩個(gè)問(wèn)題合在一起，通過(guò)應(yīng)用公式一解決問(wèn)題，讓學(xué)生熟悉和記憶公式一，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念．師生活動(dòng)：先完成題（1），再通過(guò)改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題．4．練習(xí)1．填表：角α0°30°45°60°90°180°270°360°角α的弧度數(shù)sinαcosαtanα2．設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，在sinα，cosα，tanα，tan中，有可能取負(fù)值的是．3．選擇“>”，“<”，“＝”填空：（1）cos0；（2）tan0；（3）sin0；（4）tan556°0．4．選擇①sinθ>0，②sinθ<0，③cosθ>0，④cosθ<0，⑤tanθ>0，⑥tanθ<0中適當(dāng)?shù)年P(guān)系式的序號(hào)填空：（1）當(dāng)角θ為第一象限角時(shí)，，反之也對(duì)；（2）當(dāng)角θ為第二象限角時(shí)，，反之也對(duì)；（3）當(dāng)角θ為第三象限角時(shí)，，反之也對(duì)；（4）當(dāng)角θ為第四象限角時(shí)，，反之也對(duì)．5．求的正弦、余弦和正切值．6．已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－12，5），求角θ的正弦、余弦和正切值．7．求下列三角函數(shù)值（求非特殊角的三角函數(shù)值可用計(jì)算器）：（1）cos1109°；（2）tan；（3）sin；（4）tan．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)應(yīng)用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號(hào)、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念的理解．師生活動(dòng)：根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況，對(duì)練習(xí)題的數(shù)量和內(nèi)容作具體調(diào)整．5．小結(jié)問(wèn)題9：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來(lái)表示其銳角的三角函數(shù)．通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了．我們是利用單位圓來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標(biāo)系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來(lái)表示圓心角的三角函數(shù)．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．師生活動(dòng)：在學(xué)生給出定義之后，教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)．問(wèn)題10：今天我們不僅學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應(yīng)用．你能不能歸納一下，今天我們利用定義解決了哪些問(wèn)題？設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)三角函數(shù)定義在本節(jié)課中的應(yīng)用．師生活動(dòng)：在學(xué)生回顧與總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)定義應(yīng)用過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)