直線與圓橢圓同時相切問題的初等解法與高等解法

22直線與圓、圓同時相切題的初等解與高等解題：如圖，設(shè)直線與

y2

R

2

R于，橢圓E∶2相于B，為得大值？并求最大值．初解：設(shè)l方程為m，因l與圓：2

y

2

R

2

12切，所以R

|1k

，即m

2

R

2

k

2

)

①，因?yàn)閘橢圓E∶ykxm

相點(diǎn)B，由2得xy214

m

4，即

2

2

2

40有個相等的實(shí)數(shù)解，⊿64k

2

m

2

2

2

1)

2

m

2

1)0，即4k

2

2

,②由①、②可得

22

2221R2

，設(shè)B求根公式得x111

8km4k2(1)mm

，

4k221k()mm

，2

2

22

，在角三角形OAB中，

4R2

4R25R2

R2，因?yàn)?/p>

4R2

R2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)R2取等號，所AB

541即當(dāng)R2，得大，大1．

高解：上述解法用的是初等數(shù)學(xué)的解題法解二次曲線問題常利用的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系達(dá)理包根公式；特地，對于直線與圓的相切，可利用直線與圓相切時，圓心到直的距離等于圓的半徑．現(xiàn)在提供等數(shù)學(xué)方法，即導(dǎo)數(shù)的方法．首先利用導(dǎo)數(shù)證明下面的常用結(jié)：定：曲

2

ny

2

1的任意一點(diǎn)的線方程為xnyy10000證：

2

ny

2

1兩邊對x求導(dǎo)，2mx2nyy0，mxnyy0，所以過切線當(dāng)有斜率時，斜率為y00

mx0ny0

，切線方程為y0

mx0ny0

x)，即y2000

x0

20

，又

20

ny20

1，∴mxxnyy，切方斜率不存在時也適合．00注意，若從

2

ny

2

1先出y，再求導(dǎo)，比較麻煩．利用上面的定理，有下面的高等法：設(shè)BA1122則圓C

y

2

R

2

在A的線為xyR2222

2

，軌跡E

在B)的為11

xx14

yy1即x4yy，111由題意xxyyR與xx4yy4應(yīng)表示同一條直線，2211x所以2x又2y22

y24y1R

2

Rx2，所以24x21R2，所以x216y11

y22161R416

R4x2y2，2216x216y21116，216y11R

，

R416

，又21

421

4，所以2y

16R2

4，y

4141，所以x43R233R23

)，B

2

y2

4R2

5，直角三角形OAB中，

5

4R2

4R25R2

R2，因?yàn)?/p>

4R2

R2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)R2取等號，所

541即當(dāng)R2，得大，大1．

比兩種解法，顯然初等方法比較煩，而高等方法比較簡單．但是對于文科學(xué)生，沒有學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，更沒有學(xué)習(xí)隱數(shù)求導(dǎo)方法，因此考生是很難想到的，除非平時已經(jīng)對圓錐曲上任意一點(diǎn)的切線方程作為一個論已經(jīng)記個論好鞏練：4102１、已知焦點(diǎn)在x軸中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的離率為，過。53）圓的；）l分圓M2

y

2

R

2

（其中3R5）橢圓C、B，求AB|的最大值．解圓程為c44∵，ca，a55

x

22

b

a

2

925

a

，200橢圓過點(diǎn)

∴

9a2

19a25

2

1

，解得a

2

b

2

故橢圓的程為

29

．）設(shè)直線的為y，直線l圓C：x

y

2

R

2

3R5)

相切于A所以R

|1k

，即m

2

R

2

k

2

)

①，因?yàn)閘橢圓相所以ykxm由xy259

1

得

2

2

50kmx

2

9)0⊿2

2

9)

2

9)0，2即m由①②可得

2

22

②2R222

，設(shè)B求根公式得x111

2(92)

25kmm

25km

，

∴

k(

25k2mm

，x2

222在角三角形OAB中，