正余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式

P(a,b)美博教育一一講義P(a,b)教師：課

題

學(xué)生：

日期：星期：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式

時(shí)段：學(xué)習(xí)目標(biāo)與分析學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)方法

1、理解利用單位圓定義的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念2、會(huì)利用單位圓研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性及誘導(dǎo)公式1.正、余弦函數(shù)的定義及正、余函數(shù)值的符號(hào)；會(huì)利用單位圓求三角函數(shù)值；2.掌握誘導(dǎo)公式，包括推導(dǎo)、記憶、應(yīng)用（求值、化簡(jiǎn)等理解記憶法學(xué)習(xí)內(nèi)容與過程1、單位圓在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)為半徑的圓，稱為單位圓。單位長(zhǎng)：可以是1cm、1m、1km、1光年等。單位圓可根據(jù)需要移到其它地方。2、任意角的正、余弦函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，給定單位圓，對(duì)于任意α，使α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v)，則交點(diǎn)P縱坐標(biāo)v作角α的正弦函數(shù)，記作v=sinα;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u叫作角的余弦函數(shù),記作u=cos

改α.

y

α通常，用x表示自變量，用x表示角的大小，用表示函數(shù)值，因此定義任意角的三角函數(shù)和y=cosx,定義域?yàn)椋涤驗(yàn)閇-1，1]。Ox設(shè)點(diǎn)P（a,b）是角α終邊上除原點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)，r則定sin,cos更具有一般性。rr

2

23、三角函數(shù)值的符號(hào)根據(jù)定義三角函數(shù)值的符號(hào)僅與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)有關(guān)sinα在一、二象限為正，三、四象限為負(fù)cosα在一、四象限為正，二、三象限為.軸線角的正余弦函數(shù)值也有符號(hào)。4、單位圓與周期性在單位圓中找到角,2,46

等與單位圓的交點(diǎn)說明沒變；（2）交點(diǎn)沒變交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)沒變。從而說明正弦函數(shù)值沒變，余弦函數(shù)值沒變。即sin(4)),cos(4)).666從而說明終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等。

)x,Zk

)cosxk說明：對(duì)于任意一個(gè)角x，每增

的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變。所以，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的。這種隨自變量的變化函數(shù)值呈周期性變化的函數(shù)叫做周期函數(shù)特別指出期性不是三

角函數(shù)特有的，一般函數(shù)也有周期性。周期函數(shù)的自變量不一定是角。

是xxR的周期，則2

,都是它的周期，并且它的所有周期中有一個(gè)最小的正數(shù)2為它的最小正周期同也是cosx,xR的小正周期。有的周期函數(shù)沒有最小正周期，如f(x)2,xR任意一個(gè)正數(shù)都是它的周期，但沒有一個(gè)最小的正數(shù)。周期函數(shù)的嚴(yán)格定義：一般地，對(duì)于函數(shù)(x)如果存在非零常數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，都有f()f()，則稱f()周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。

y5.誘導(dǎo)公式1、、余弦函數(shù)關(guān)系

x,)sin(,cos(2、、余弦函數(shù)關(guān)系sin(sin(的正、余弦函數(shù)關(guān)系3、也可以由1、2兩組公式推出sin(

(-y)1

x,y(y)1y

x(-x,-y)1y(-xy)2x,)cos(4、與正、余弦函數(shù)關(guān)系2),cos()

M1y

M,x)1

x5、與

2

、余弦函數(shù)關(guān)系

M1

,)sin6、任意的正、余弦函數(shù)的導(dǎo)公式（1k)

yx

M（2sin(,cos(（3

（4

kk

（5）

2

2

sin3(6)2

3sin(,cos(22

33sin(2

記憶規(guī)律數(shù)名不變，符號(hào)看象限它們的正、余弦函數(shù)值等于同名三角函數(shù)值，加上把成為銳角時(shí)，對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)。如成銳角時(shí)2在第四象，其余弦值為正，函數(shù)名稱不變，所cos(2

2

32

憶規(guī)律函數(shù)名改變，符號(hào)看象限即它們的正、余弦函數(shù)值等的“余”名三角函數(shù)值，加上成為銳角時(shí)，對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)”名正則余，余則正如成銳角時(shí)，

2

在第二象限，其余弦值為負(fù)，函數(shù)名稱改變，所cos(27、誘導(dǎo)公式的作用

（1）可把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化0~

2

的三角函數(shù)值求出。一般地：負(fù)角化正2k

~

2

求出二象限

，第三象限

，第四象限2角函數(shù)

正弦

sin

sin

cos

cos

余弦

sin

正切

//六組誘導(dǎo)公式統(tǒng)一為“k)2

255B．記憶口訣：奇變偶不變符號(hào)看255B．5同角三角函基本關(guān)：

2

（平方和關(guān)系

cos

（商數(shù)關(guān)系）.1、下列各式不正確的是（）A．sin（α＋180°）=－αC．sin（－α－360°）=－sinα

B．cos（－α＋β）=－cos（α－β）D．cos（－α－β）=cos（α＋β）2、若sin（＋α）＋sin（－α）=－,則sin（π＋α）2sin（2－α）等于（）2323A．－mB．－mC．mD．3232

m1936

的值等于（）A．

12

B．

C．

D．

324、如cosx

).則的取值范圍是

（）A[

k

k(k)B．

(

3k2

k

(kZ)C[

3k2

(kZ)D(

(Z)5．已知函數(shù)(x)sinxx滿足(5)7.則(的值為（）A．5B．－5C．6D．－66、sin

·cos·的值是()6A．－

C．－

D．

7．設(shè)那sin(值為()

（）A．

B．－

C．

D．

2

2

2

28．

cos(的值集合為()

（）A{

k

Z}

B{

2k

Z}C{

Z}

D{

Z}9.求值：sin160°cos160（tan340°＋cot340°）=．10.若sin（125°－α）=

1213

,則sin（α＋55°）=

．11.cos

π2π3π4π5π6π＋cos＋＋cos＋cos＋cos=．77777712.已sin(2

.13、已知

,求

2))4cos())

的值．

14、若cosα＝，α是第四象限角，求

cos(

的值．15、設(shè)()

f(

(x(x

和g()

1cos,(x)21g(()25求()f)g()f()的值.316．設(shè)(x)滿足f(sinx)x)4sinxxx（１）求f(x的表達(dá)式）求fx)的最大值．

),

《誘導(dǎo)式》參考答一、選題ABAC二、填題

BABC129.1．10、．13三、解題

11、0．12、013、7．

14、．215、()，

3()f()

)3f()sin()，416、解析）由已知等式

故原式=3．f(