《復合函數(shù)的導數(shù)》參考教案

課題：復合函數(shù)的導數(shù)(1)

教學目的：

1.理解，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認識規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律．

教學重點：復合函數(shù)的求導法則的概念與應用

教學難點：復合函數(shù)的求導法則的導入與理解

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

內(nèi)容分析：

復合函數(shù)的導數(shù)是導數(shù)的重點，也是導數(shù)的難點.要弄清每一步的求導是哪個變

量對哪個變量的求導.求導時對哪個變量求導要寫明，可以通過具體的例子，讓學生

對求導法則有一個直觀的了解

教學過程：

一、復習引入：

1.常見函數(shù)的導數(shù)公式：

C'0；(xn)'nxn1；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx

2.法則1[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)．

法則2[u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x),[Cu(x)]Cu'(x)

u'u'vuv'

法則3(v0)

vv2

二、講解新課：

1.復合函數(shù):由幾個函數(shù)復合而成的函數(shù)，叫復合函數(shù)．由函數(shù)yf(u)與

u(x)復合而成的函數(shù)一般形式是yf[(x)]，其中u稱為中間變量．

2.求函數(shù)y(3x2)2的導數(shù)的兩種方法與思路：

方法一：y[(3x2)2](9x212x4)18x12；

x

方法二：將函數(shù)y(3x2)2看作是函數(shù)yu2和函數(shù)u3x2復合函數(shù)，并分

1/7

別求對應變量的導數(shù)如下：

y(u2)2u，u(3x2)3

ux

兩個導數(shù)相乘，得

yu2u32(x32)3x18，

ux

從而有y'y'u'

xux

對于一般的復合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求y時，就可以轉(zhuǎn)化為求y′和u′

′xux

的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.

3.復合函數(shù)的導數(shù)：設函數(shù)u=(x)在點x處有導數(shù)u=x)，函數(shù)y=f(u)在點

′x′(

x的對應點u處有導數(shù)y=fu)，則復合函數(shù)y=f((x))在點x處也有導數(shù)，且

′u′(

y'y'u'或f′((x))=f′(u)′(x).

xuxx

證明：（教師參考不需要給學生講）

設x有增量Δx，則對應的u，y分別有增量Δu，Δy，因為u=φ(x)在點x可導，

所以u=(x)在點x處連續(xù).因此當Δx→0時，Δu→0.

yyuyy

當Δu≠0時，由.且limlim.

xuxx0uu0x

yyuyuyu

∴l(xiāng)imlimlimlimlimlim

x0xx0uxx0ux0xu0ux0x

即y'y'u'(當Δu＝0時，也成立)

xux

4.復合函數(shù)的求導法則

復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對

自變量的導數(shù)

5.復合函數(shù)求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代．

三、講解范例：

例1試說明下列函數(shù)是怎樣復合而成的？

⑴y(2x2)3；⑵ysinx2；

⑶ycos(x)；⑷ylnsin(3x1)．

4

2/7

解：⑴函數(shù)y(2x2)3由函數(shù)yu3和u2x2復合而成；

⑵函數(shù)ysinx2由函數(shù)ysinu和ux2復合而成；

⑶函數(shù)ycos(x)由函數(shù)ycosu和ux復合而成；

44

⑷函數(shù)ylnsin(3x1)由函數(shù)ylnu、usinv和v3x1復合而成．

說明：討論復合函數(shù)的構(gòu)成時，“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應是基本初等函數(shù)，

如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等．

例2寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)：

⑴ycosu，u1x2；⑵ylnu，ulnx．

解：⑴ycos(1x2)；⑵yln(lnx)．

例3求y(2x1)5的導數(shù)．

解：設yu5，u2x1，則

y'y'u'(u5)'(2x1)'

xuxx

5u425(2x1)3210(2x1)4．

注意：在利用復合函數(shù)的求導法則求導數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).

有時復合函數(shù)可以由幾個基本初等函數(shù)組成，所以在求復合函數(shù)的導數(shù)時，先要弄

清復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整

體，然后按照復合次序從外向內(nèi)逐層求導.

例4求f(x)=sinx2的導數(shù).

解：令y=f(x)=sinu;u=x2

∴y'y'u'=(sinu)′·(x2)′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2

xuxux

∴f′(x)=2xcosx2

例5求y=sin2(2x+)的導數(shù).

3

分析:設u=sin(2x+)時，求u′，但此時u仍是復合函數(shù)，所以可再設v=2x+.

3x3

3/7

解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+

33

∴y'y'u'=y′(u′·v′)

xuxuvx

∴y′=y′·u′·v′=(u2)′·(sinv)′·(2x+)′

xuvxuv3x

=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2

33

2

=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)

333

2

即y′=2sin(4x+)

x3

例6求y3ax2bxc的導數(shù).

解：令y=3u，u=ax2+bx+c

2

1

∴y'y'u'=(3u)′·(ax2+bx+c)′=u3·(2ax+b)

xuxux3

2

12axb

=(ax2+bx+c)3(2ax+b)=

333(ax2bxc)2

2axb

即y=

′x

33(ax2bxc)2

1x

例7求y=的導數(shù).

5x

1x

解：令y5u,u

x

1x

∴y'y'u'=(5u)′·()′

xuxuxx

44

1(1x)x(1x)x11xx(1x)

u5()5

5x25xx2

4/7

1111

2

1xx55(1x)4x65x5(xx2)4

5()4

5x

1

即y=－

′x

5x5(xx2)4

1

例8求y=sin2x的導數(shù).

11

解：令y=u2，u=sinx，再令u=sinv，v=x

1

∴y'y'u'·v′=(u2)′·(sinv)′·()′

xuxxuvxx

0111112

－

=2u·cosv·=2sinx·cosx·=x2·sinx

x2x2

12

∴y=－sin

′xx2x

例9求函數(shù)y=(2x2－3)1x2的導數(shù).

分析:y可看成兩個函數(shù)的乘積，2x2－3可求導，1x2是復合函數(shù)，可以先

算出1x2對x的導數(shù).

解：令y=uv，u=2x2－3，v=1x2,令v=，ω=1+x2

vv=()(1+x2)′

xxx

1

12xx

=2(2x)

221x21x2

∴y=(uv=uv+uv

′x)′x′x′x

x

=(2x2－·1x2+(2x2－3)·

3)′x

1x2

2x33x6x3x

=4x1x2

1x21x2

5/7

6x3x

即y=

′x

1x2

四、課堂練習：

1．求下列函數(shù)的導數(shù)(先設中間變量，再求導).

(1)y=(5x－3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3(4)y=(2x3+x)2

解：(1)令y=u4，u=5x－3

∴y'y'u'=(u4)′·(5x－3)′=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3

xuxux

(2)令y=u5，u=2+3x

∴y'y'u'=(u5)′·(2+3x)′=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4

xuxux

(3)令y=u3，u=2－x2

∴y'y'u'=(u3)′·(2－x2)′

xuxux

=3u2·(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2

(4)令y=u2，u=2x3+x

∴y'y'u'=(u2)′·(2x3+x)′

xuxux

=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x

2.求下列函數(shù)的導數(shù)(先設中間變量，再求導)(n∈N*)

(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx

解：(1)令y=sinu，u=nx

y'y'u'=(sinu)′·(nx)′=cosu·n=ncosnx

xuxux

(2)令y=cosu，u=nx

y'y'u'=(cosu)′·(nx)′=－sinu·n=－nsin