相似三角形本章總結(jié)

相似三角形本章總結(jié)1、知識(shí)結(jié)構(gòu)：2、解題方法點(diǎn)撥：1、已知，求∶∶。點(diǎn)撥：這類比例式的求解題，往往有兩種解法，①由已知，可令，從而，，，∴∶∶＝∶∶＝∶∶＝∶∶＝∶∶。②將化成，∴∶∶＝∶∶＝∶∶＝∶∶。例、已知，求∶∶。解答：∵，∴，∴，∴∶∶＝15∶10∶6。2、等積式或比例式的證明。點(diǎn)撥：等積式的證明往往利用等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)換為比例式，而比例式的證明則常常利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明，要證明某個(gè)比例式，只要證明了比例式中的線段所在的兩個(gè)三角形相似，即可達(dá)到證明目的。例1、如圖，直線EF交AB、AC于點(diǎn)F、E，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AC⊥BC，已知：AB?CD=DE?AC。求證：AE?CE＝DE?EF。分析：把結(jié)論的等積式化為比例式：，縱看，構(gòu)成△AED與△FEC，圖中沒(méi)有現(xiàn)成的三角形，若連結(jié)AD與CF構(gòu)造這兩個(gè)三角形，這一想法可以放到第二步再考慮；再橫看，構(gòu)成△AEF與△DEC，證相似的條件較明顯，故選擇證△AEF∽△DEC。解答：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠DCE=90°又AB?CD＝DE?AC∴△ABC∽△DEC∴∠A＝∠D，又∠1＝∠2∴△AEF∽△DEC∴，即AE?CE＝DE?EF。例2、如圖，直角三角形ABC（∠A＝90°）中，∠B的平分線與AC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A、D分別向BC引垂線，垂足分別為H、K。求證：BK＝BH?BC分析：由結(jié)論發(fā)現(xiàn)所證等積式中的三條線段在同一直線上，直接證是不可能的，需找相等的線段替換。而條件中的角平分線是一很好的條件，可利用角的軸對(duì)稱性實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移，從而構(gòu)造三角形相似。解答：∵BD平分∠ABC，易證：BK＝AB，又AH⊥BC

，∴∠AHB＝∠BAC＝90°，又∠ABH為公共角，∴△ABH∽△CBA，∴即BA＝BH?BC，∴BK＝BH?BC。例３、如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D，E為邊AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D、E作直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。求證：AC?DF＝AF?AB。分析：把等積式改寫為比例式：，縱看可得△ACB與△FAD，△ACB為直角三角形，△FAD為鈍角三角形，不可能相似。必須找一中間比過(guò)渡，條件中有直角三角形斜邊上的高，很自然想到母子相似，故引出中間比，從而希望，引出證△BFD與△DFA相似。解答：∵∠A＝90°，AD⊥BC，∴Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，∴，又E為AC中點(diǎn)，AD⊥BC，∴∠2＝∠1＝∠3＝∠4，又∠F為公共角，∴△BFD∽△DFA∴

∴，∴AC?DF＝AF?AB。3、高度的測(cè)量。點(diǎn)撥：根據(jù)相似形的知識(shí)，利用一些有限的工具，就可以測(cè)量出我們身邊的常見(jiàn)物體，例如大樹(shù)、高樓、旗桿等的高度。（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)后，就想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高，但這棵樹(shù)離樓房太近，影子不全落在地上，有一部分影子落在墻上，如圖，在某時(shí)刻測(cè)留在墻上的影長(zhǎng)為1.2m，測(cè)得地面影長(zhǎng)2.7m，巧的是他拿的竹竿的長(zhǎng)也是1.2m，竹竿的影長(zhǎng)1.08m，你知道小明是怎樣求樹(shù)高AB的嗎？你知道結(jié)果是多少嗎？分析：在同一時(shí)刻，光線可以看作一組平行線，所以每一個(gè)物體和它的影子所組成的三角形都是相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，可以求出所求物體的高度。解答：∵竹竿的長(zhǎng)是1.2m，竹竿的影長(zhǎng)1.08m，所以物體的高度與影長(zhǎng)之比為，又∵大樹(shù)留在墻上的影長(zhǎng)為1.2m，測(cè)得地面影長(zhǎng)2.7m，∴大樹(shù)落在地面上的影子長(zhǎng)應(yīng)為2.7＋1.2＝3.9m，設(shè)大樹(shù)的高度為x，則有，解得m。（2）如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走2米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度等于（）。A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米解答：設(shè)路燈A的高度為x米，則由圖可得：，解得x＝4.5米，選A。本章測(cè)試一、選擇題（每小題3分，共30分）1.在比例尺為1:5000的地圖上,量得甲,乙兩地的距離25cm,則甲,乙的實(shí)際距離是()A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km2.已知,則的值為 ()A. B. C.2 D.3.已知⊿ABC的三邊長(zhǎng)分別為,,2,⊿A′B′C′的兩邊長(zhǎng)分別是1和,如果⊿ABC與⊿A′B′C′相似,那么⊿A′B′C′的第三邊長(zhǎng)應(yīng)該是 ()A. B. C. D.4.在相同時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比。如果高為1.5米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為2.5米，那么影長(zhǎng)為30米的旗桿的高為 ()A20米 B18米 C16米 D15米5.如圖1,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC∽⊿CAD,只要CD等于 ()A. B. C. D.6.一個(gè)鋼筋三角架三邊長(zhǎng)分別為20cm,50cm,60cm,現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架,而只有長(zhǎng)為30cm和50cm的兩根鋼筋,要求以其中的一根為一邊,從另一根截下兩段(允許有余料)作為另兩邊,則不同的截法有 ()A.一種 B.兩種 C.三種 D.四種7、用位似圖形的方法，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，位似中心的位置可以選在()A原圖形的外部 B原圖形的內(nèi)部 C原圖形的邊上D任意位置8、如圖2，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA=2∶3，EF=4，則CD的長(zhǎng)（） A．EQ\F(16,3) B．8 C．10 D．16圖3圖1圖2圖3圖1圖29、如圖3，一束平行的光線從教室窗戶射入教室的平面示意圖，測(cè)得光線與地面所成的角，窗戶的高在教室地面上的影長(zhǎng)MN=米，窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1米（點(diǎn)M、N、C在同一直線上），則窗戶的高AB為()A．米B．米C．2米D．1.5米10、某校計(jì)劃在一塊三角形的空地上修建一個(gè)面積最大的正方形水池，使得水池的一邊在△ABC的邊BC上，△ABC中邊BC=60m，高AD=30m，則水池的邊長(zhǎng)應(yīng)為()A10m B20m C30m D40m二．填空題：（每小題3分，共30分）11、已知,則。12、（2006年錦州市）點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(不與直線AB重合)截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似.滿足這樣條件的直線最多有____條。13、把一矩形紙片對(duì)折,如果對(duì)折后的矩形與原矩形相似,則原矩形紙片的長(zhǎng)與寬之比為。圖414、如圖4,⊿ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)(DEBC)，當(dāng)或圖4或時(shí)，⊿ADE與⊿ABC相似。15、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且，則∠BCA的度數(shù)為_(kāi)___________。16、如圖5，小偉在打網(wǎng)球時(shí)，擊球點(diǎn)距離球網(wǎng)的水平距離是8米，已知網(wǎng)高是0.8米，要使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4米的位置，則球拍擊球的高度h為米。圖617、如圖6，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么△ADE與四邊形DBCE的面積之比是。圖6圖8圖7圖5圖8圖7圖518、大矩形的周長(zhǎng)是與它位似的小矩形的2倍,小矩形的面積是5cm2,大矩形的長(zhǎng)為5cm,則大矩形的寬為cm。19、斜拉橋是利用一組組鋼索，把橋面重力傳遞到聳立在兩側(cè)高塔上的橋梁，它不需要建造橋墩，（如圖7所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉橋上互相平行的鋼索，若最長(zhǎng)的鋼索A1B1＝80m，最短的鋼索A4B4＝20m，那么鋼索A2B2=m，A3B3=m。20、已知△ABC周長(zhǎng)為1，連結(jié)△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，（如圖8所示），以此類推，第2006個(gè)三角形的周長(zhǎng)為。三．解答題(共40分)21.(6分)在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在如圖所示的4×4的方格紙中,畫(huà)出兩個(gè)相似但不全等的格點(diǎn)三角形(要求:所畫(huà)三角形為鈍角三角形,標(biāo)明字母,并說(shuō)明理由)。22.、（6分）如圖,測(cè)量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長(zhǎng)為10cm，AC被分為60等份.如果小玻璃管口DE正好對(duì)著量具上20等份處，且DE∥AB，那么小玻璃管口徑DE是多大?23、（9分）如圖,等邊⊿ABC，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,且BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)F，(1)試說(shuō)明⊿ABD≌⊿BCE.(2)⊿AEF與⊿ABE相似嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.(3)BD2=AD·DF嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。25、（9分）（2006年蘇州市）如圖，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E,F分別是AB，BC的中點(diǎn)。EF與BD相交于點(diǎn)M。(1)求證：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM。26、（10）（2006年浙江省）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn),,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D.(1)求直線AB的解析式；(2)若S梯形OBCD＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。第24章單元綜合測(cè)試答案1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B11、－1/412、4 13、 14、∠B=∠AED，∠C=∠ADE， 15、65°16、2.4米17、1：3 18、4 19、60，40 20、1/2200521、略 22、20/3 解析： 23、解析：(1)根據(jù)SAS判定,（2）相似，由(1)易得∠ABE=∠EAF,(3)根據(jù)△ABD∽△BFD，25、（1）解析：四邊形BCDE是平行四邊形（2）3，解析：。26、（1）直線AB解析式為：y=x+。（2）方法一：設(shè)點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+，∴＝＝，由題意：＝，解得（舍去），∴Ｃ（２，），方法二：∵,＝，∴，由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD，∴＝CD×AD＝＝?？傻肅D＝，∴AD=１，OD＝２，∴C（２，）。（３）當(dāng)∠OBP＝Rt∠時(shí)，如圖1①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，∴（3，）。②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1，∴（1，）。當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí)③過(guò)點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P(如圖2)，此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M。方法一：在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝，∵在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°