第十四章-第3講-不等式選講

考試要求1.不等式的基本性質(zhì)(B級(jí)要求)；2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(B級(jí)要求)；3.不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法)(B級(jí)要求)；4.算術(shù)—幾何平均不等式與柯西不等式(A級(jí)要求)；5.利用不等式求最大(小)值(B級(jí)要求)；6.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(B級(jí)要求).第3講不等式選講知

識(shí)

梳

理(－a，a)1.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a____________??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?________________；②|ax＋b|≥

___________________________；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì) (1)如果a，b是實(shí)數(shù)，則_________≤|a±b|≤_________，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，等號(hào)成立. (2)如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤_____________，當(dāng)且僅當(dāng)________________時(shí)，等號(hào)成立.3.不等式證明的方法 (1)比較法： ①作差比較法：

知道a>b?a－b>0，a<b?a－b<0，因此要證明a>b只要證明_________即可，這種方法稱為作差比較法.|a|－|b||a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0a－b>0②作商比較法：(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過(guò)推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法.即“__________”的方法.(3)分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法.即“__________”的方法.由因?qū)Ч麍?zhí)果索因(4)反證法和放縮法：①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法.②在證明不等式時(shí)，有時(shí)要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡(jiǎn)并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法.(5)數(shù)學(xué)歸納法：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：①證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.4.幾個(gè)常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥_________(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立). ②柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時(shí)成立.(ac＋bd)21.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.

解

①當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式可化為1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②當(dāng)1<x<5時(shí)，原不等式可化為x－1－(5－x)<2， ∴x<4，∴1<x<4， ③當(dāng)x≥5時(shí)，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，該不等式不成立.

綜上，原不等式的解集為(－∞，4).診

斷

自

測(cè)2.若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2，4].4.(2018·江蘇卷)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.

解由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.

因?yàn)閤＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，所以x2＋y2＋z2的最小值為4.解∵x>0，y>0，故λ的最小值為－4.考點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法及利用絕對(duì)值不等式求最值【例1－1】

(2018·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范圍.可得f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等價(jià)于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立.故f(x)≤1等價(jià)于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞).規(guī)律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法，利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a＜b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集；(2)幾何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體；(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解.【例1－2】(1)對(duì)任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值； (2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.

解

(1)∵x，y∈R， ∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1， |y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3. ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3. (2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，

即|x－2y＋1|的最大值為5.規(guī)律方法求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種(1)利用絕對(duì)值的幾何意義.(2)利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法.【訓(xùn)練1】

(2018·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)畫(huà)出y＝f(x)的圖象； (2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.y＝f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值為5.考點(diǎn)二絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)證明由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1<a<1，－1<b<1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.規(guī)律方法

(1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)來(lái)解決.(2)數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的常用方法.【訓(xùn)練2】

已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}.(2)當(dāng)x∈R時(shí)，所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3等價(jià)于|1－a|＋a≥3.①當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無(wú)解.當(dāng)a>1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞).考點(diǎn)三證明不等式角度1比較法證明不等式規(guī)律方法作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào).角度2綜合法證明不等式【例3－2】(1)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.證明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3.規(guī)律方法1.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.2.在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和均值不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件.角度3分析法證明不等式【例3－3】

設(shè)a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.由于a，b，c＞0，因此只需證明(a＋b＋c)2≥3.即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴原不等式成立.因此要證原不等式成立，∴原不等式成立.規(guī)律方法當(dāng)所證明的不等式不