剛體定軸轉(zhuǎn)動

剛體定軸轉(zhuǎn)動1第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三§5.1剛體的運動§5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律§5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算

§5.4轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例§5.5定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律§5.7旋進本章目錄2第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三CAB

F由于彈性，力在連續(xù)體內(nèi)傳播需要一定時間：§5.1剛體的運動一.剛體（rigidbody）的概念t

t

+t才感受到力固體中彈性波的速度（k—勁度）若v，則k，此時物體有無限的剛性，它受作用力不會變形，因而可以瞬時傳遞力。我們把這種不能變形的物體稱為剛體。3第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三顯然，剛體是個理想化的模型，而且考慮到剛體的特點，規(guī)律的表示還可較一剛體是特殊的質(zhì)點系，其上各質(zhì)點間的相對位置保持不變。質(zhì)點系的規(guī)律都可用于剛體，般的質(zhì)點系有所簡化。通常v固體

103m/s，所以只要我們討論的運動過程的速度比此慢得多，就可把固體視為剛體。實際的意義。但是它有4第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三的直線在運動各個時刻的位置都彼此平行。二.剛體的運動形式1.平動（translation）：剛體做平動時，可用質(zhì)心或其上任何一平動是剛體的基本運動形式之一。

2.轉(zhuǎn)動（rotation）：轉(zhuǎn)動也是剛體的基本運動形式之一，它又可分為定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動。連接剛體內(nèi)任意兩點點的運動來代表整體的運動。5第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三▲定軸轉(zhuǎn)動：且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上?！c轉(zhuǎn)動：整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動。

3.平面運動：剛體上各點的運動都平行于某一4.一般運動：剛體不受任何限制的的任意運動。它可分解為以下兩種剛體的基本運動：▲隨基點O（可任選）的平動▲繞通過基點O的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動運動中各質(zhì)元均做圓周運動，運動中剛體上只有一點固定不動，固定平面的運動。6第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三··OO·OO·轉(zhuǎn)動與基點的選取無關(guān)。兩種分解，基點選取不同，例如：平動可以不同，動力學(xué)中，常選質(zhì)心為基點。三.剛體轉(zhuǎn)動的描述（運動學(xué)問題）1.定點轉(zhuǎn)動（rotationaboutafixedpoint）（1）角量的描述為反映瞬時軸的方向及剛體轉(zhuǎn)動的快慢轉(zhuǎn)動卻相同，或和轉(zhuǎn)向，引入角速度矢量7第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。（不一定沿著瞬時軸）×基點OP瞬時軸剛體ω的方向沿瞬時軸，為反映的變化情況，引入角加速度矢量。轉(zhuǎn)向8第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三（2）線量和角量的關(guān)系vωrrP×基點O瞬時軸剛體旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度

2.定軸轉(zhuǎn)動（rotationaboutafixedaxis）轉(zhuǎn)軸固定，。和和退化為代數(shù)量9第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

O剛體vP×rr定軸參考方向θz10第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三§5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點系。令—轉(zhuǎn)動慣量（對z軸）（rotationalinertia）vi剛體

O×ω,ri定軸zmiΔriFi11第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三vi剛體

O×ω,αri定軸zFiθimiΔri則即—轉(zhuǎn)動定律其中定軸情況下，可不寫下標z，記作：與牛頓第二定律相比，有：M

相應(yīng)F，J

相應(yīng)m

，相應(yīng)a

。12第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三§5.3轉(zhuǎn)動慣量的計算dmrm轉(zhuǎn)軸

J由質(zhì)量對軸的分布決定。演示質(zhì)量分布改變對轉(zhuǎn)動慣量的影響(KL013)一.常用的幾種轉(zhuǎn)動慣量表示式

RmO細圓環(huán)：13第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三RmC均勻圓盤：CAm均勻細桿：二.計算轉(zhuǎn)動慣量的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性14第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

2.平行軸定理JCdmJC平行×3.對薄平板剛體的正交軸定理

ri

mi

Δx

z

yi

y

xiO即（證明見書P260—P262）如圖15第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三[例]求對薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量，已知圓盤

yx

z

圓盤

R

C

m

解：思考下圖中的Jz如何求？zlDmCaazm16第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三§5.4轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例定軸

O·Rthmv0=0繩（不可伸長）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑動，下落時間t=3s。求：輪對O軸J=？

解：動力學(xué)關(guān)系：對輪：′T=–TmgmaαRGTN·對m：運動學(xué)關(guān)系：(3)(4)(1)(2)繩輪間無相對17第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三(1)~(4)聯(lián)立解得：分析結(jié)果：●量綱對；●

h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入數(shù)據(jù)：正確。合理；此為一種用實驗測轉(zhuǎn)動慣量的方法。18第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三§5.5定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系一.力矩的功力矩的空間積累效應(yīng)：

力矩的功：dzx·軸rF19第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三二.定軸轉(zhuǎn)動動能定理令轉(zhuǎn)動動能：剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理：（飛輪儲能）20第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三三.剛體的重力勢能四.應(yīng)用舉例對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能×ChChiEp=0miΔ守恒定律仍成立。21第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三[例]已知：如圖示，。θ··ω軸OCABl,ml/4求：桿下擺到角時，解：（桿+地球）系統(tǒng)，

(1)

(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度軸對桿作用力均勻直桿質(zhì)量為m，長為l，初始水平靜止。軸光滑，22第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)用質(zhì)心運動

(3)

(4)

(5)

(6)BCθO·Al,mθNlNtNmgaCtaCllt·定理求軸力：23第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三由(3)(4)(5)(6)解得：βCθO··ωABl,mNlNtNlt24第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律討論力矩對時間的積累效應(yīng)。質(zhì)點系：對點：對軸：剛體：——剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理25第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律：對剛體系，M外z=0

時，，此時角動量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對轉(zhuǎn)軸的總角動量不變。茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅(KL016)陀螺儀（KL029）轉(zhuǎn)臺車輪(KL017)演示角動量守恒：26第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三克服直升飛機機身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動大氣產(chǎn)生克服機身反轉(zhuǎn)的力矩裝置反向轉(zhuǎn)動的雙旋翼產(chǎn)生反向角動量而相互抵消

TV角動量守恒定律(注3)27第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三滑冰運動員的旋轉(zhuǎn)貓的下落（A）貓的下落（B）28第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三m(黏土塊)

yxhPθOM光滑軸均質(zhì)圓盤（水平）R[例]如圖示，求：碰撞后的瞬刻盤

P轉(zhuǎn)到x軸時盤解：m下落：(1)mPhv對（m+盤），碰撞中重力對O軸力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，=60系統(tǒng)角動量守恒：29第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

(3)對（m+M+地球）系統(tǒng)，mmg·OMR令P、x重合時EP=0，則：

(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：

(4)只有重力作功，E守恒。（m+盤）角動量30第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三旋進：

§5.7旋進（進動，precession）如玩具陀螺的運動：軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個31第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三

p2

p1·×m2>m1

r2m1

r1

L2

L1

L

Oωz點的不平行于。若質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸分布對稱，下面我們就討論這種質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸分布對稱對轉(zhuǎn)軸不對稱，的剛體的旋進問題。剛體自轉(zhuǎn)的角動量不一定都與自轉(zhuǎn)軸平行。例如，圖示的情形：質(zhì)量則：則對軸上O32第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三×MdL·mgθOω∥L從而產(chǎn)生旋進運動。玩具陀螺的旋進：只改變方向而不改變大小，33第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三dΩLO旋進角速度：演示車輪旋進（KL023)TV旋進防止炮彈翻轉(zhuǎn)（注2）34第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三▲回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩：

輪船轉(zhuǎn)彎時，渦輪機軸承要承受附加力。左轉(zhuǎn)dLMMdt=dL附加力附加力軸承附加力可能造成軸承的損壞，附加力矩也可能造成翻船事故。M左轉(zhuǎn)彎的力矩

三輪車拐彎時易翻車（內(nèi)側(cè)車輪上翹）。L35第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三▲地球轉(zhuǎn)軸的旋進，歲差隨著地球自轉(zhuǎn)軸的旋進，北天極方向不斷改變。北極星3000年前小熊座現(xiàn)在小熊座12000年后天琴座（織女）T=25800年C1C2F1F2太陽赤道平面黃道平面地球北天極地軸L地球自轉(zhuǎn)角動量（F1>F2

）M地球自轉(zhuǎn)軸旋進36第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三地軸旋進旋進周期25800年秋分點春分點西分點每年在黃道上西移50.2太陽年（回歸年）：太陽由春分秋分春分恒星年（時間長）：地球繞太陽一周的時間歲差（precession）歲差=恒星年太陽年=20分23秒北半球南半球黃道面赤道面太陽東37第37頁，共39頁，2023年，2月20日，星期三我國古代已發(fā)現(xiàn)了歲差：每50年差1度（約72/年）▲前漢（公元前206—23）劉歆發(fā)現(xiàn)歲差?！鴷x朝（公元265—316）虞喜最先確定了歲差：將歲差引入歷法：391年有144個閏月?！鏇_之（公元429—