高中數(shù)學(xué)第一章基本初等函數(shù)(II)11任意角概念與弧度制素材新人教B版4

1.1隨意角的見解與弧度制知識(shí)梳理隨意角角的定義①靜態(tài)定義：擁有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的極點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊.②動(dòng)向定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)地點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所形成的圖形叫做角，所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫做角的極點(diǎn)，開始地點(diǎn)的射線叫做角的始邊，停止地點(diǎn)的射線叫做角的終邊.(2)在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有順時(shí)針和逆時(shí)針兩個(gè)相反的方向.習(xí)慣上規(guī)定：按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；依照順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，也把它看作一個(gè)角，稱為零角；旋轉(zhuǎn)生成的角又常稱為轉(zhuǎn)角.這樣就形成了隨意大小的角即隨意角.(3)角的記法：用一個(gè)希臘字母表示；用三個(gè)大寫的英文字母表示(字母前面要寫“∠”).(4)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、零角、負(fù)角；按終邊所在地點(diǎn)分為象限角和象限界角.終邊同樣的角規(guī)定：將角的始邊與x軸的正半軸重合，角的極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這樣就把角放在直角坐標(biāo)系中.這樣給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng)，可是，關(guān)于直角坐標(biāo)系內(nèi)隨意一條射線，以它為終邊的角有無數(shù)個(gè).全部與角α終邊同樣的角，連同角α在內(nèi)，可組成一個(gè)會(huì)合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一與角α終邊同樣的角，都能夠表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和的形式.象限角和象限界角(1)象限角：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，老是將角的極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合，若是角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角.象限界角：若是角的終邊在坐標(biāo)軸上，就以為這個(gè)角不屬于任何象限，我們把它稱為象限界角.表示第一象限角的會(huì)合：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；第二象限角的會(huì)合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}；第三象限角的會(huì)合：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z};第四象限角的會(huì)合：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；終邊落在x軸的正半軸上的角的會(huì)合：{α|α=k·360°,k∈Z}；終邊落在x軸的負(fù)半軸上的角的會(huì)合：{α|α=k·360°+180°,k∈Z}；終邊落在x軸上的角的會(huì)合：{α|α=k·180°,k∈Z}；終邊落在y軸的正半軸上的角的會(huì)合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z}；終邊落在y軸的負(fù)半軸上的角的會(huì)合：{α|α=k·360°+270°,k∈Z}；終邊落在y軸上的角的會(huì)合：{α|α=k·180°+90°,k∈Z}；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的會(huì)合：{α|α=k·90°,k∈Z}.象限角與象限界角的表示形式其實(shí)不唯一，還有其他的表示形式.比方：終邊落在y軸的負(fù)半軸上的角的會(huì)合也能夠表示為{x|x=k·360°-90°,k∈Z}.弧度制(1)定義：以弧度為單位胸懷角大小的制度叫弧度制.1(2)胸懷方法：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角的大小叫做1弧度的角.記法：弧度單位用符號(hào)“rad”表示或用弧度兩個(gè)字表示.在用弧度制表示角的大小時(shí)，平常單位省略不寫.5.弧度制與角度制的換算(1)換算公式：α(rad)=(180)°，n°=n(rad).180特別角的弧度數(shù)角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0523564312234612角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度754357112ππ4323466弧度制下的公式如圖1-1-1所示，l、r、α分別是弧長(zhǎng)、半徑、弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù).圖1-1-1弧度數(shù)公式：|α|=l；r弧長(zhǎng)公式：l=|α|r；扇形面積公式：S=1lr=1|α|r2.22知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.課前復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的角的定義、特點(diǎn)、范圍.2.學(xué)習(xí)過程中必然要努力打破單調(diào)按角度制思慮問題的習(xí)慣，力爭(zhēng)經(jīng)過弧度制來認(rèn)識(shí)隨意角.要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，能夠多做角度與弧度的互化練習(xí)，熟記常用特別角的弧度數(shù).疑難打破1.當(dāng)角α與角β的終邊同樣時(shí)，α與β相等嗎？為什么與角α終邊同樣的角的會(huì)合可以寫成S={β|β=α+k·360°,k∈Z}?剖析:角的定義有兩種：靜態(tài)定義和動(dòng)向定義.難點(diǎn)是受思想定勢(shì)的影響，經(jīng)常會(huì)先想到用角的靜態(tài)定義來考慮這個(gè)問題，那樣就會(huì)陷著迷惑.打破這個(gè)難點(diǎn)的路子是用角的動(dòng)向定義來剖析.若α、β的終邊同樣，則它們的關(guān)系為將角α終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針)k(k∈Z)周即得β，因此α、β的數(shù)量關(guān)系為：β=k·360°+α(k∈Z)，即α、β的大小相差360°的整數(shù)k倍.因此α與β不用然相等.比方：β與30°角的終邊同樣，可是β不用然等于30°.將30°角的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1周即得角β=1·360°+30°=390°；按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2周即得角β=2·360°+30°=750°；按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3周即得角β=3·360°+30°=1110°；按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4周即得角β=4·360°+30°=1470°；,；因此390°，750°，1110°，1470°，,都與30°角的終邊同樣.將30°角的終邊按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1周即得角β=(-1)·360°+30°=-330°；按順時(shí)針旋2轉(zhuǎn)2周即得角β=(-2)·360°+30°=-690°；按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3周即得角β=(-3)·360°+30°=-1050°；按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4周即得角β=(-4)·360°+30°=-1410°；,；因此-330°，-690°，-1050°，-1410°,都與30°角的終邊同樣.由以上可看出β與30°角的終邊同樣，可是β不用然等于30°，它們的數(shù)量關(guān)系是=k·360°+30°(k∈Z).因此全部與角α終邊同樣的角，連同角α在內(nèi)，可組成一個(gè)會(huì)合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任一與角α終邊同樣的角，都能夠表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.理解會(huì)合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下幾點(diǎn)：(1)上式中角α為隨意角，它說明終邊同樣的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍；(2)k∈Z這一條件必不能少；(3)k·360°與α之間是“+”.如k·360°-30°應(yīng)看作k·360°+(-30°)，即與-30°角終邊同樣的角；終邊同樣的角不用然相等，可是相等的角，終邊必然同樣；終邊同樣的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.在求終邊同樣的角的問題中重點(diǎn)是找到一個(gè)與其終邊同樣的某一角(一般找0°—360°的角)，爾后用會(huì)合和符號(hào)語言表示出來.第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、銳角這四種角有什么差別？剖析:受初中所學(xué)角的影響，看到這四種角，經(jīng)常就說它們同樣.其原因是誠(chéng)然已經(jīng)將角擴(kuò)大到了隨意角，可是解決問題時(shí)，考慮的角仍是可是停留在銳角、直角、鈍角即初中所學(xué)角的范圍內(nèi)，沒有按隨意角來對(duì)待.其打破方法是掌握住其各自的取值范圍.這四種角的范圍用會(huì)合表示，分別是：銳角{α|0°＜α＜90°},0°—90°的角{α|0°≤α≤90°}，小于90°的角{α|α＜90°}，第一象限角是{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}.因此銳角必然是第一象限角，而第一象限角不都是銳角，小于90°的角包括銳角、零角、負(fù)角.若是用弧度制表示角，角的表示形式變?yōu)閷?shí)數(shù)，其大小關(guān)系會(huì)更為顯然.3.為什么β=k·360°+3(k∈Z)這種寫法是錯(cuò)誤的？2剖析:好多同學(xué)這樣寫，可是其實(shí)不以為是錯(cuò)誤的，并且屢錯(cuò)屢犯，很難更正.打破口是正確認(rèn)識(shí)角度制和弧度制.弧度制和角度制同樣，都是胸懷角大小的方法，可是單位不同樣.在同一道題目中，用了弧度制后，就不能夠再用角度制；同樣，用了角度制后，也不能夠再用弧度制，即角度制和弧度制不能夠混用.就像長(zhǎng)度單位米和千米同樣，不能夠?qū)懗?米+1千米這樣的式子，這樣會(huì)簡(jiǎn)單引起紛亂.就憂如人的衣著妝扮渾身要上下協(xié)調(diào)同樣，寫成β=k·360°+3(k∈Z)，就像一2個(gè)人上身衣著羽絨服，腳上衣著涼鞋同樣，這種妝扮顯