等腰三角形第二課時

13.3.1等腰三角形(第二課時)例1.如圖13-3-18，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D，DE∥BC，交AB于點E.

求證:△BED是等腰三角形．典型例題精析

證明：∵BD是角平分線，∴∠1=∠2．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴△EBD是等腰三角形．1．如圖13-3-19，在△ABC中，AB=AC，∠A= 36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有()A．5個B．4個C．3個D．2個變式練習A2．如圖13-3-20，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3cm，則CD=

．3cm3．如圖13-3-21，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥ AB，PE∥AC，則△PDE的周長是

cm.54．如圖13-3-22，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．

(1)用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)；

解：(1)如圖所示；(2)△ADF是等腰直角三角形.理由如下：∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD．∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠FAC．∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= ∠EAC+∠BAC=×180°=90°,∴△ADF是直角三角形.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB．∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB,∴∠EAF=∠B,∴AF∥BC,∴∠AFD=∠FDC．∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=∠FDC=∠AFD,∴AD=AF,即△ADF是等腰直角三角形.(2)設DN與AM交于點F，判斷△ADF的形狀．(只寫結果)例2.如圖13-3-23,在△ABC中,AB=AC,E在BA的延長線上,ED⊥BC,交BC的延長線于點D，交AC的延長線于點F.

求證：AE=AF.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠1(等邊對等角).∵∠1=∠2，∴∠B=∠2.∵ED⊥BD，∴∠2+∠F=90°，∠B+∠E=90°，∴∠E=∠F，∴AE=AF(等角對等邊).5．如圖13-3-24，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．變式練習解：△AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD與△BCE中，∵∠B=∠B，∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE，即∠FAC=∠FCA．∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形．6．如圖13-3-25，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∠BAC的平分線AF交CD于點E，交BC于點F，CM⊥AF于點M.求證：EM=FM．證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°．又∵∠BAC的平分線AF交CD于點E，∴∠DAE=∠CAE，∴∠AED=∠CFE．又∵∠AED=∠CEF，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF．又∵CM⊥AF，∴EM=FM．1．下列能判定△ABC為等腰三角形的是()A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=70°C．AB=AC=3，BC=6 D．AB=3，BC=8，周長為16基礎過關精練B2．如圖13-3-26，已知線段a、h,作等腰△ABC，使AB=AC，且BC=a，BC邊上的高AD=h．張紅的作法是：

(1)作線段BC=a；

(2)作線段BC的垂直平分線MN，

MN與BC相交于點D；

(3)在直線MN上截取線段h；

(4)連接AB、AC，△ABC為所求的等腰三角形． 上述作法的四個步驟中，有錯誤的一步你認為是()A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)C3．如圖13-3-27，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 108°，若AD、AE三等分∠BAC，則圖中等腰三角形有()A．3個 B．4個C．5個 D．6個D4．在△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點，DE∥BC，AE=2cm，則AD=

.2cm5．如圖13-3-28，AD是△ABC的BC邊上的高，下列條件：①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③BD=CD；④AB=BD．從中選一個作為條件，能推出△ABC是等腰三角形的是

(填序號)．②③6．如圖13-3-29,在△ABC中,∠B與∠C的平分線交于點O,過點O作DE∥BC,分別交AB、AC于點D、E．若AB=5,AC=4,則△ADE的周長是

．97．如圖13-3-30，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．證明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE.∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形.8．如圖13-3-31，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點D為BC上任一點，DF⊥AB于點F，DE⊥AC于點E，M為BC的中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結論．解：△MEF是等腰直角三角形．理由如下：連接AM．∵M是BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠MAC=∠MAB=∠BAC=∠B=∠C=45°，∴AM=CM=BM．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠EAF=∠AFD=∠AED=90°，∴∠FDE=90°=∠EAF，DE∥AB，∴∠AFE=∠DEF．又∵EF=EF，∴△AEF≌△DFE(AAS)，∴AE=DF．∵DF⊥BF，∠B=45°,∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM,∴△AEM≌△BFM(SAS),∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．9．如圖13-3-32，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°,AB=AC,D為BC上一點，AB=BD,DE⊥BC,交AC于點E，則圖中的等腰三角形的個數有

()A．3個 B．4個 C．5個 D．6個能力提升演練B10．如圖13-3-33，D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=8，BC=5，則BD的長為

．1．511．如圖13-3-34，AD為△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20．求AB的長．解：在CD上取點E，使DE=DB，連接AE．∵BD=5，∴DE=BD=5，BE=10．∵BC=20，∴CE=10．∵AD⊥BC，即AD垂直平分BE，∴AB=AE，∴∠B=∠BEA．∵∠BEA=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE=10，∴AB=AE=CE=10．12.閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

已知：如圖13-3-35，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE.

求證：AB=CD.

現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進行證明. (1)如圖13-3-36①，延長DE到點F使得EF=DE; (2)如圖13-3-36②，作CG⊥DE于點G，BF⊥DE于點F交DE的延長