北京市第四中學(xué)順義分校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列結(jié)論正確的是（）．A．若ac<bc，則a<b B．若a2<C．若a>b，c<0，則ac<bc D．若a<b2．在△ABC中，，,．的值為()A． B． C． D．3．體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．某林區(qū)改變植樹計劃，第一年植樹增長率200%，以后每年的植樹增長率都是前一年植樹增長率的12，若成活率為100%，經(jīng)過4A．14 B．454 C．66．在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶7．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形8．己知的周長為，內(nèi)切圓的半徑為，，則的值為（）A． B． C． D．9．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則()A． B． C．5 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則的解析式是______.12．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．13．設(shè)向量，若，，則.14．已知的一個內(nèi)角為，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_______________.15．已知向量，，且，則的值為________.16．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則其公比為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，其圖象與軸相鄰的兩個交點(diǎn)的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時，在上的單調(diào)區(qū)間.18．遇龍塔建于明代萬歷年間，簡體磚石結(jié)構(gòu)，屹立于永州市城北瀟水東岸，為湖南省重點(diǎn)文物保護(hù)單位之一．游客乘船進(jìn)行觀光，到達(dá)瀟水河河面的處時測得塔頂在北偏東45°的方向上，然后向正北方向行駛后到達(dá)處，測得此塔頂在南偏東的方向上，仰角為，且，若塔底與河面在同一水平面上，求此塔的高度．19．已知是遞增的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．已知向量，其中．函數(shù)的圖象過點(diǎn)，點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為1．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）計算的值；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的零點(diǎn)個數(shù)．21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列位的前項(xiàng)和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】分析：根據(jù)不等式性質(zhì)逐一分析即可.詳解：A.若ac<bc，則a<b,因?yàn)椴恢纁的符號，故錯誤；B.若a2<可令a=-1，b=-2，則結(jié)論錯誤；D.若a<b，則點(diǎn)睛：考查不等式的基本性質(zhì)，做此類題型最好的方法就是舉例子注意排除即可.屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由正弦定理列方程求解?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜傻茫?，所以，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解析】試題分析：因?yàn)檎襟w的體積為8，所以棱長為2，所以正方體的體對角線長為，所以正方體的外接球的半徑為，所以該球的表面積為，故選A.【考點(diǎn)】正方體的性質(zhì)，球的表面積【名師點(diǎn)睛】與棱長為的正方體相關(guān)的球有三個：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別為、和.4、B【解析】即對任意都成立，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，歸納得：故選點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件運(yùn)用分組求和法不難計算出數(shù)列的前項(xiàng)和為，為求的取值范圍則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，求得最后的結(jié)果5、B【解析】

由題意知增長率形成以首項(xiàng)為2，公比為12的等比數(shù)列，從而第n年的增長率為12n-2，則第n【詳解】由題意知增長率形成以首項(xiàng)為2，公比為12的等比數(shù)列，從而第n年的增長率為1則第n年的林區(qū)的樹木數(shù)量為an∴a1=3a0，a因此，經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木量是原來的樹木量的454【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后逐項(xiàng)進(jìn)行計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、D【解析】解：因?yàn)樵谝粋€錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為1∶3，那么分為的兩個錐體的體積比為1：，因此錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為．1∶7、D【解析】

先根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)榻菫槿切蝺?nèi)角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查判定三角形的形狀問題，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.8、C【解析】

根據(jù)的周長為，內(nèi)切圓的半徑為，求得，再利用正弦定理，得到，然后代入余弦定理，化簡得到求解.【詳解】因?yàn)榈闹荛L為，內(nèi)切圓的半徑為，所以，又因?yàn)?，所?由余弦定理得：，，所以，所以，即，因?yàn)锳為內(nèi)角，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9、D【解析】

先求出AB的長，再求點(diǎn)P到直線AB的最小距離和最大距離，即得△ABP面積的最小值和最大值，即得解.【詳解】由題得,由題得圓心到直線AB的距離為，所以點(diǎn)P到直線AB的最小距離為2-1=1，最大距離為2+1=3，所以△ABP的面積的最小值為，最大值為.所以△ABP的面積的取值范圍為[1,3].故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離的計算，考查面積的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】

先通分，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求和即可?！驹斀狻浚蔬xA.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由圖象得出，得出該函數(shù)圖象的最小正周期，可得出，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合該函數(shù)在附近的單調(diào)性求得的表達(dá)式，即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，則，由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在附近單調(diào)遞增，所以，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，一般要結(jié)合圖象依次求出、、的值，在利用對稱中心求時，要結(jié)合函數(shù)在對稱中心附近的單調(diào)性來求解，考查計算能力，屬于中等題.12、【解析】

由得，將轉(zhuǎn)化為，整理，利用基本不等式即可求解。【詳解】因?yàn)?，所?所以當(dāng)且僅當(dāng)，即：時，等號成立。所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造法及轉(zhuǎn)化思想，考查基本不等式的應(yīng)用及計算能力，屬于基礎(chǔ)題。13、【解析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列等式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，可得，又因?yàn)?，所以，故答案?【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.14、【解析】

試題分析：設(shè)三角形的三邊長為a-4,b=a,c=a+4,(a<b<c),根據(jù)題意可知三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，可知a+c=2b,C=120,，則由余弦定理，c=a+b-2abcosC，,三邊長為6,10,14，,b=a+c-2accosB,即（a+c）=a+c-2accosB,cosB=，sinB=可知S==.考點(diǎn)：本試題主要考查了等差數(shù)列與解三角形的面積的求解的綜合運(yùn)用．點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是利用余弦定理來求解，以及邊角關(guān)系的運(yùn)用，正弦面積公式來求解．巧設(shè)變量a-4,a,a+4會簡化運(yùn)算．15、【解析】

利用共線向量的坐標(biāo)表示求出的值，可計算出向量的坐標(biāo)，然后利用向量的模長公式可求出的值.【詳解】，，且，，解得，，則，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)，同時也考查了向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：、、成等差數(shù)列考點(diǎn)：1．等差數(shù)列性質(zhì)；2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【解析】

（1）利用兩角差的正弦公式，降冪公式以及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)其圖象與軸相鄰的兩個交點(diǎn)的距離為，得出周期，利用周期公式得出，即可得出該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)平移變換得出，再由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的最小值，進(jìn)而得出，利用整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：（1）由已知函數(shù)的周期，，∴.（2）將的圖象向左平移個長度單位得到的圖象∴，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴，即∴，∴，∵，∴當(dāng)，取最小值，此時最小值為此時，.令，則當(dāng)或，即當(dāng)或時，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.∴在上的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定解析式以及正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.18、【解析】

根據(jù)正弦定理求得，然后在直角三角形中求得，即可得到答案．【詳解】由題意，在中，，故又，故由正弦定理得：，解得，因?yàn)椋?，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理和直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）【解析】

（1）{an}是遞增的等比數(shù)列，公比設(shè)為q，由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得所求；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，求得bn=2n+1，再由數(shù)列的錯位相減法求和，化簡可得所求和．【詳解】（1）∵是遞增的等比數(shù)列，∴，，又，∴，是的兩根，∴，，∴，.（2）∵，∴由已知得，∴∴，化簡可得.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，等差等比數(shù)列的通項(xiàng)通常是列方程組解首項(xiàng)及公差（比），數(shù)列求和常見的方法有：裂項(xiàng)相消和錯位相減法，考查計算能力，屬于中等題.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）2028；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（x），由題意求得ω，再由函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)B（2，2）列式求得．則函數(shù)解析式可求，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．得到f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．進(jìn)一步可得結(jié)論；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點(diǎn)個數(shù)，即為函數(shù)y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點(diǎn)個數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合得答案．【詳解】（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），∴f（x）cos2（ωx+）＝2﹣cos2（ωx+）），∴f（x）max＝2，則點(diǎn)B（2，2）為函數(shù)f（x）的圖象的一個最高點(diǎn)．∵點(diǎn)B與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為2，∴，得ω．∵函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)B（2，2），∴，即sin2φ＝2．∵0＜，∴．∴f（x）＝2﹣cos2（）＝2+sin，由，得，．的單調(diào)遞減區(qū)間是，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．∴f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．而2027＝2×502+2，∴f（2）+f（2）+…+f（2027）＝2×502+2＝2028；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點(diǎn)個數(shù)，即為函數(shù)y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點(diǎn)個數(shù)．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象如圖：①當(dāng)m＞2或m＜﹣2時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)無公共點(diǎn)；②當(dāng)﹣2≤m＜0或m＝2時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)有一個共點(diǎn)；③當(dāng)0≤m＜2時，兩函數(shù)的圖象在[0，3]內(nèi)有兩個共點(diǎn)．綜上，當(dāng)m＞2或m＜﹣2時，函數(shù)g（x）在[0，3]上無零點(diǎn)；②當(dāng)﹣2≤m＜0或m＝2時，函數(shù)g（x）在[0，3]內(nèi)有2個零點(diǎn)；③當(dāng)0≤m＜2時，函數(shù)g（x）在[0，3]內(nèi)有2個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．21、（1）（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)題干可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到數(shù)列是