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2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.某正弦型函數(shù)的圖像如圖,則該函數(shù)的解析式可以為().A. B.C. D.2.圓與圓的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.相離3.設(shè)的內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,且,,面積的最大值為()A.6 B.8 C.7 D.94.祖暅原理也就是“等積原理”,它是由我國(guó)南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜?lái)的.祖暅原理的內(nèi)容是:“冪勢(shì)既同,則積不容異”,“勢(shì)”即是高,“冪”是面積.意思是,如果夾在兩平行平面間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,如果兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知,兩個(gè)平行平面間有三個(gè)幾何體,分別是三棱錐、四棱錐、圓錐(高度都是h),其中:三棱錐的體積為V,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,圓錐的底面半徑為r,現(xiàn)用平行于這兩個(gè)平面的平面去截三個(gè)幾何體,如果得到的三個(gè)截面面積總相等,那么,下面關(guān)系式正確的是()A.,, B.,,C.,, D.,,5.已知,若,則等于()A. B.1 C.2 D.6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則()A. B. C.1 D.27.若長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2,3,6,則此長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于()A. B. C. D.8.已知點(diǎn),直線方程為,且直線與線段相交,求直線的斜率k的取值范圍為()A.或 B.或C. D.9.若關(guān)于的不等式的解集為,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況,擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.某市三所學(xué)校有高三文科學(xué)生分別為500人,400人,300人,在三月進(jìn)行全市聯(lián)考后,準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從三所高三文科學(xué)生中抽取容量為24的樣本,進(jìn)行成績(jī)分析,則應(yīng)從校高三文科學(xué)生中抽取_____________人.12.若在上是減函數(shù),則的取值范圍為_(kāi)_____.13.由正整數(shù)組成的數(shù)列,分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列,,記,若存在正整數(shù)()滿足,,則__________.14.在等比數(shù)列中,若,則__________.15.等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為q,,則首項(xiàng)的取值范圍是____________.16.已知都是銳角,,則=_____三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.若是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的公比.(2)若,求的通項(xiàng)公式.18.已知向量的夾角為60°,且.(1)求與的值;(2)求與的夾角.19.如圖所示,在三棱柱中,側(cè)棱底面,,D為的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求與所成角的余弦值.20.若數(shù)列滿足:存在正整數(shù),對(duì)任意的,使得成立,則稱為階穩(wěn)增數(shù)列.(1)若由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,且對(duì)任意,數(shù)列中恰有個(gè),求的值;(2)設(shè)等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項(xiàng)大于,試求該數(shù)列公比的取值范圍;(3)在(1)的條件下,令數(shù)列(其中,常數(shù)為正實(shí)數(shù)),設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若已知數(shù)列極限存在,試求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出該極限值.21.現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者通曉日語(yǔ),通曉俄語(yǔ),通曉韓語(yǔ).從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.(1)求被選中的概率;(2)求和不全被選中的概率.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】試題分析:由圖象可得最大值為2,則A=2,周期,∴∴,又,是五點(diǎn)法中的第一個(gè)點(diǎn),∴,∴把A,B排除,對(duì)于C:,故選C考點(diǎn):本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)點(diǎn)評(píng):解決本題的關(guān)鍵是確定的值2、B【解析】
由兩圓的圓心距及半徑的關(guān)系求解即可得解.【詳解】解:由圓,圓,即,所以圓的圓心坐標(biāo)為,圓的圓心坐標(biāo)為,兩圓半徑,則圓心距,即兩圓外切,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由已知利用基本不等式求得的最大值,根據(jù)三角形的面積公式,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,利用基本不等式可得,即,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故三角形的面積的最大值為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用,以及三角形的面積公式的應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由祖暅原理可知:三個(gè)幾何體的體積相等,根據(jù)椎體體積公式即可求解.【詳解】由祖暅原理可知:三個(gè)幾何體的體積相等,則,解得,由,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了椎體的體積公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
首先根據(jù)?(cos﹣3)cos+sin(sin﹣3)=﹣1,并化簡(jiǎn)得出,再化為Asin()形式即可得結(jié)果.【詳解】由得:(cos﹣3)cos+sin(sin﹣3)=﹣1,化簡(jiǎn)得,即sin()=,則sin()=故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列出方程組,能求出首項(xiàng).【詳解】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,解得,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為,,,由已知面積求得,,的值,得到長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng),進(jìn)一步得到外接球的半徑,則答案可求.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為,,,則,解得,,.長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為.則長(zhǎng)方體的外接球的半徑為,此長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體外接球表面積的求法,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為長(zhǎng)方體外接球的直徑.8、A【解析】
先求出線段的方程,得出,在直線的方程中得到,將代入的表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】易求得線段的方程為,得,由直線的方程得,當(dāng)時(shí),,此時(shí),;當(dāng)時(shí),,此時(shí),.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是或,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查斜率取值范圍的計(jì)算,可以利用數(shù)形結(jié)合思想,觀察傾斜角的變化得出斜率的取值范圍,也可以利用參變量分離,得出斜率的表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)得出斜率的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、C【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式,根據(jù)一元二次不等式恒成立時(shí),判別式和開(kāi)口方向的要求列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由得,即恒成立,由于時(shí),在上不恒成立,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查一元二次不等式恒成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析:符合分層抽樣法的定義,故選C.考點(diǎn):分層抽樣.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、8【解析】
利用分層抽樣中比例關(guān)系列方程可求.【詳解】由已知三所學(xué)校總?cè)藬?shù)為500+400+300=1200,設(shè)從校高三文科學(xué)生中抽取x人,由分層抽樣的要求及抽取樣本容量為24,所以,,故答案為8.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,考查計(jì)算求解能力,屬于基本題.12、【解析】
化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,,時(shí),是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集,即可求解.【詳解】,時(shí),,且在上是減函數(shù),,,因?yàn)榻獾?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化,余弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.13、262【解析】
根據(jù)條件列出不等式進(jìn)行分析,確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,等差數(shù)列公差為,因?yàn)?,,所以;又因?yàn)?,分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列,所以且;又時(shí)顯然不成立,所以,則,即;因?yàn)椋?,所以;因?yàn)?,所以;由可知:,則,;又,所以,則有根據(jù)可解得符合條件的解有:或;當(dāng)時(shí),,解得不符,當(dāng)時(shí),解得,符合條件;則.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項(xiàng)的存在性問(wèn)題,難度較難.根據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小,通過(guò)不等式確定參變的取值范圍,然后再去確定符合的解,一定要注意帶回到原題中驗(yàn)證,看是否滿足.14、80【解析】
由即可求出【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,所以,所以即故答案為:80【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),較簡(jiǎn)單15、【解析】
由題得,利用即可得解【詳解】由題意知,,可得,又因?yàn)?,所以可求?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.16、【解析】
由已知求出,再由兩角差的正弦公式計(jì)算.【詳解】∵都是銳角,∴,又,∴,,∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式.考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系.解題關(guān)鍵是角的變換,即.這在三角函數(shù)恒等變換中很重要,即解題時(shí)要觀察“已知角”和“未知角”的關(guān)系,根據(jù)這個(gè)關(guān)系選用相應(yīng)的公式計(jì)算.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)公比為4;(2)【解析】
(1)設(shè),然后根據(jù)相關(guān)條件去計(jì)算公比;(2)由(1)的結(jié)論計(jì)算的表達(dá)式,然后再計(jì)算的通項(xiàng)公式.【詳解】(1)設(shè).∴,∴,.∴,即的公比為4(2)∵,∴,即,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),符合,∴【點(diǎn)睛】(1)已知等差數(shù)列的三項(xiàng)成等比數(shù)列,可利用首項(xiàng)和公差將等式列出,找到首項(xiàng)和公差的關(guān)系;(2)利用計(jì)算通項(xiàng)公式時(shí),要注意驗(yàn)證的情況.18、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù),即可得解;(2)根據(jù)公式計(jì)算求解.【詳解】(1)由題向量的夾角為60°,所以,,;(2),所以【點(diǎn)睛】此題考查平面向量數(shù)量積,根據(jù)定義計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,求向量的模長(zhǎng)和根據(jù)數(shù)量積與模長(zhǎng)關(guān)系求向量夾角.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)連接,設(shè)與相交于點(diǎn)O,連接OD.證明OD為的中位線,得,即可證明;(2)由(1)可知,為與所成的角或其補(bǔ)角,在中,利用余弦定理求解即可【詳解】(1)證明:如圖,連接,設(shè)與相交于點(diǎn)O,連接OD.∵四邊形是平行四邊形.∴點(diǎn)O為的中點(diǎn).∵D為AC的中點(diǎn),∴OD為的中位線,平面,平面,平面.(2)由(1)可知,為與所成的角或其補(bǔ)角在中,D為AC的中點(diǎn),則同理可得,在中,與BD所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定,異面直線所成的角,考查空間想象能力與計(jì)算能力是基礎(chǔ)題20、(1);(2);(3).【解析】
(1)設(shè),由題意得出,求出正整數(shù)的值即可;(2)根據(jù)定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列,分和兩種情況討論,列出關(guān)于的不等式,解出即可;(3)求出,然后分、和三種情況討論,求出,結(jié)合數(shù)列的極限存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,則,對(duì)任意,數(shù)列中恰有個(gè),則數(shù)列中的項(xiàng)依次為:、、、、、、、、、、、、、、、、,設(shè)數(shù)列中值為的最大項(xiàng)數(shù)為,則,由題意可得,即,,解得,因此,;(2)由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,即對(duì)任意的,,且.所以,等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.①當(dāng)時(shí),則等比數(shù)列中每項(xiàng)都為正數(shù),由可得,整理得,解得;②當(dāng)時(shí),(i)若為正奇數(shù),可設(shè),則,由,得,即,整理得,解得;(ii)若為正偶數(shù)時(shí),可設(shè),則,由,得,即,整理得,解得.所以,當(dāng)時(shí),等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是;(3),由(1)知,則.①當(dāng)時(shí),,,則,此時(shí),數(shù)列的極限不存在;②當(dāng)時(shí),,,上式下式得,所以,,則.(i)若時(shí),則,此時(shí)數(shù)列的極限不存在;(ii)當(dāng)時(shí),,此時(shí),數(shù)列的極限存在.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義“階穩(wěn)增數(shù)列”的應(yīng)用,涉及等比數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題、數(shù)列極限的存在性問(wèn)題,同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法
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