2023年湖北省天門、仙桃、潛江高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)()的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A．1 B． C． D．2．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天3．若函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度變換得到，則的解析式是（）A． B．C． D．4．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．5．若滿足條件的三角形ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列，，，，，，的一個通項公式為（）A． B．C． D．7．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點（）A．向右平移3個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移3個單位長度 D．向左平移個單位長度8．在中，角，，所對的邊分別為，，，則下列命題中正確命題的個數(shù)為()①若,則；②若，則為鈍角三角形；③若，則．A．1 B．2 C．3 D．09．在正四棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．10．如果存在實數(shù)，使成立，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．公比為的無窮等比數(shù)列滿足：，，則實數(shù)的取值范圍為________.12．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則面積的最大值為______.13．已知，均為銳角，，，則______.14．將邊長為1的正方形中，把沿對角線AC折起到，使平面⊥平面ABC，則三棱錐的體積為________.15．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是16．已知數(shù)列是正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且滿足.若，是數(shù)列的前項和，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.18．（Ⅰ）已知向量，求與的夾角的余弦值；（Ⅱ）已知角終邊上一點，求的值．19．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）令cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．20．已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項和為，求證：.21．已知邊長為2的等邊，是邊的中點，以為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)得對應(yīng)，與所在直線交于.（1）任意旋轉(zhuǎn)角，判斷是否是定值.若是，求此定值；若不是，說明理由.（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由三角函數(shù)的圖象求得，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圖象可知，，即，所以，即，又因為，則，解得，又由，所以，所以，又因為，所以圖中的最高點坐標(biāo)為.結(jié)合圖象和已知條件可知，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項和公式及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計2.3日蒲、莞長度相等，故選：A．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式在實際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、A【解析】

先化簡函數(shù)，然后再根據(jù)圖象平移得．【詳解】由已知，∴．故選A．【點睛】本題考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)的圖象平移變換，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

通過成等比數(shù)列，可以列出一個等式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可以把該等式變成關(guān)于的方程，解這個方程即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，所以有，又因為是公差為2的等差數(shù)列，所以有，故本題選B.【點睛】本題考查了等比中項的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、C【解析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，結(jié)合C的取值范圍，可知；根據(jù)存在兩個三角形的條件，即可求得a的取值范圍?！驹斀狻扛鶕?jù)正弦定理可知，代入可求得因為，所以若滿足有兩個三角形ABC則所以所以選C【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的簡單應(yīng)用，判斷三角形的個數(shù)情況，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

首先注意到數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，其次數(shù)列各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，從而易求出其通項公式．【詳解】∵數(shù)列{an}各項值為，，，，，，∴各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，∴|an|＝2n﹣1又∵數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故選：C．【點睛】本題給出數(shù)列的前幾項，猜想數(shù)列的通項，挖掘其規(guī)律是關(guān)鍵．解題時應(yīng)注意數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，否則會錯．7、B【解析】

先化簡得，根據(jù)函數(shù)圖像的變換即得解.【詳解】因為，所以函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】

根據(jù)正弦定理和大角對大邊判斷①正確；利用余弦定理得到為鈍角②正確；化簡利用余弦定理得到③正確.【詳解】①若,則；根據(jù)，則即，即，正確②若，則為鈍角三角形；，為鈍角，正確③若，則即，正確故選C【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生對于正弦定理和余弦定理的靈活運(yùn)用.9、A【解析】

作出兩異面直線所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，．故選A．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形求之．10、A【解析】

根據(jù)，可得，再根據(jù)基本不等式取等的條件可得答案.【詳解】因為，所以，即，即，又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的值域，考查了基本不等式取等的條件，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出的表達(dá)式，再利用求值域的方法求出其范圍?！驹斀狻坑深}意有，即，因為，所以。【點睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用以及基本函數(shù)求值域的方法。12、【解析】

根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根據(jù)面積公式求解.【詳解】根據(jù)正弦定理可轉(zhuǎn)化為，化簡得由余弦定理得因為所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取所以則面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.13、【解析】

先求出，，再由，并結(jié)合兩角和與差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意，可知，則，又，則，或者，因為為銳角，所以不成立，即成立，所以.故.故答案為：.【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，再結(jié)合三棱錐的體積的求法求解即可.【詳解】解：取中點,連接，因為四邊形為邊長為1的正方形，則,即,又平面⊥平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：面，且,則,故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的體積的求法，重點考查了面面垂直的性質(zhì)定理，屬中檔題.15、1【解析】試題分析：因為將全體職工隨機(jī)按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為1．考點：系統(tǒng)抽樣．點評：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號．16、【解析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進(jìn)一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項求的前99項和?！驹斀狻慨?dāng)時，符合，當(dāng)時，符合，【點睛】一般公式的使用是將變?yōu)?，而本題是將變?yōu)?，給后面的整理帶來方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計算．【詳解】證明：（1）取中點為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點，則【點睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點與底．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分別求得及與，再由數(shù)量積求夾角計算結(jié)果；（Ⅱ）利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）為角α終邊上一點，∴，．則sin2α．【點睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角，考查任意角的三角函數(shù)的定義，訓(xùn)練了利用誘導(dǎo)公式化簡求值，是基礎(chǔ)題．19、(1)an＝2n+1；bn＝3n；(2)Sn＝n?3n+1．【解析】

（1）利用基本元的思想，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、等比中項的性質(zhì)列方程，解方程求得的值，從而求得數(shù)列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）公差d不為零的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}，a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比數(shù)列，可得3q＝3+3d，a1a13＝a42，即（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝2，q＝3，可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；bn＝3n；（2）cn＝an?bn＝（2n+1）?3n，前n項和Sn＝3?3+5?32+7?33+…+（2n+1）?3n，3Sn＝3?32+5?33+7?34+…+（2n+1）?3n+1，兩式相減可得﹣2Sn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）?3n+1＝9+2?（2n+1）?3n+1，化簡可得Sn＝n?3n+1．【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列通項公式，考查錯位相減求和法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)和的關(guān)系式，利用，整理化簡得到，從而證明是等差數(shù)列；（2）利用由（1）寫出的通項，利用裂項相消法求出，從而證明【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3；（2）當(dāng)時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以，所以，所以【點睛】本題考