借助特殊點(diǎn)的幾何性質(zhì)辨析運(yùn)動生成的函數(shù)圖象

借助特殊點(diǎn)的幾何性質(zhì)辨析運(yùn)動生成的函數(shù)圖象因運(yùn)動生成的函數(shù)圖象問題，具有很強(qiáng)的迷惑性，考查采集“數(shù)”與“形”的形式.因其運(yùn)動的連續(xù)性，通常以分段函數(shù)圖象的形式呈現(xiàn).這樣，解題的著眼點(diǎn)就應(yīng)落在分段函數(shù)圖象的“折點(diǎn)”一即特殊點(diǎn)的幾何意義的理解上.函數(shù)圖象形象直觀，能清晰地反映現(xiàn)實(shí)生活中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系.辨析因運(yùn)動變化而生成的變量間的函數(shù)圖象問題，若能對動點(diǎn)運(yùn)動到圖形的特殊點(diǎn)(或“折點(diǎn)”或“拐點(diǎn)”)狀態(tài)圖形給予關(guān)注，并借助形成特殊點(diǎn)狀態(tài)圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行探索，能輕松獲解.本文所述的“特殊點(diǎn)”，即“折點(diǎn)”或“拐點(diǎn)”，形式意義包含兩種:一是幾何圖形特征意義上的“折點(diǎn)”;二是幾何圖形象征意義上的“拐點(diǎn)”(指能使運(yùn)動變化生成重疊面積時的點(diǎn)和應(yīng)用性問題的研究對象連續(xù)運(yùn)動過程中的“銜接點(diǎn)”).借助圖形的這些特殊點(diǎn)與幾何性質(zhì)辨析因運(yùn)動而生成的函數(shù)圖象非常有效.一、借助幾何圖形特征意義上的“折點(diǎn)”辨析這類問題依托幾何圖形設(shè)置動點(diǎn)或動直線或動圖形，因運(yùn)動而生成兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.求解時，通常先從復(fù)雜的運(yùn)動圖形中分離出基本圖形，即動中求靜的思想.在運(yùn)動元素運(yùn)動至圖形的“折點(diǎn)”—特殊點(diǎn)處，畫出運(yùn)動過程中瞬間靜止的圖形，借助其構(gòu)成的即時狀態(tài)圖形的幾何性質(zhì)，通過計(jì)算推理，建立變量之間的關(guān)系式，從中轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，再依據(jù)函數(shù)性質(zhì)比照函數(shù)圖象特征進(jìn)行合適的選擇.1.借助幾何圖形特征意義上的“折點(diǎn)”定性分析這類問題缺少明確的數(shù)據(jù)信息，?？山柚鷦狱c(diǎn)運(yùn)動到特殊點(diǎn)位置時構(gòu)成的即時狀態(tài)基本圖形的性質(zhì)并結(jié)合圖象挖掘隱含信息，利用函數(shù)最值及增減性合情推理定性分析.例1(湖州中考)如圖1，已知、是反比例函數(shù)(>0,>0)圖象上的兩點(diǎn)，//軸，交軸于點(diǎn).動點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，沿→→→(圖中“→”所示路線)勻速運(yùn)動，終點(diǎn)為.過作軸,軸，垂足分別為、.設(shè)四邊形的面積為點(diǎn)運(yùn)動時間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為().解析動點(diǎn)的運(yùn)動路徑分為4個折點(diǎn)(點(diǎn)、、、)共3段(線段、曲線和線段).①當(dāng)點(diǎn)在初始狀態(tài)點(diǎn)時，四邊形未形成，此時，圖象現(xiàn)為經(jīng)過原點(diǎn);②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，此時隨的增大而增大;③當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，依據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，，此時不變，那么圖象表現(xiàn)為平行于軸,選項(xiàng)B、D淘汰;④當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，隨的增大而逐漸減小，直至到達(dá)點(diǎn)，四邊形隱沒消失，此時，圖象表現(xiàn)為回到軸，C錯誤.故選A.例2(永州中考)如圖2，在矩形中，垂直于對角線的直線，從點(diǎn)開始沿著線段勻速平移到.設(shè)直線被矩形所截線段的長度為，運(yùn)動時間為，則關(guān)于的函數(shù)的大致圖象是()(答:A).2.借助幾何圖形特征意義上的“折點(diǎn)”定量分析定量分析就是用數(shù)據(jù)說話，它能使問題變得簡潔明了.這類題目常會提供較多的數(shù)據(jù)信息，求解時要借助圖形運(yùn)動到特殊點(diǎn)(折點(diǎn))狀態(tài)時形成的基本圖形的幾何性質(zhì)，分析各數(shù)據(jù)之間隱含的數(shù)量關(guān)系，并由此建立函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)性質(zhì)比照圖象選擇.(威海中考)如圖3，在正方形中，=3cm，動點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒lcm的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿折線一一以每秒3cm的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)時運(yùn)動同時停止.設(shè)的面積為(cm2)，運(yùn)動時間為(秒)，則下列圖象中能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是().解析依題意，動點(diǎn)、同時到達(dá)點(diǎn)，因此關(guān)注點(diǎn)運(yùn)動路徑中的折點(diǎn)、和特殊點(diǎn)、，圖象應(yīng)呈現(xiàn)3段.恰好完全移出大正方形時的點(diǎn)共3段.①初始狀態(tài)點(diǎn)處時，，表明圖象過原點(diǎn);②當(dāng)小正方形部分融入大正方形時.由已知得，正方形的面積等于對角線乘積的一半，，表現(xiàn)在圖象上則是拋物線的一部分且開口向上，選B.三、借助動態(tài)應(yīng)用性問題關(guān)鍵字詞句(對應(yīng)圖象的拐點(diǎn)—特殊點(diǎn))辨析這類問題以定性的文字陳述信息，關(guān)鍵字詞句描述研究對象運(yùn)動變化的過程.這些字詞句的銜接處恰是函數(shù)圖象中“段”與“段”之間的折點(diǎn)(拐點(diǎn))—即特殊點(diǎn)的標(biāo)志，從中反映出函數(shù)圖象的走勢.1.借助動態(tài)應(yīng)用性問題關(guān)鍵字詞句定性辨析例7(潛江中考)小英早上從家里騎車上學(xué)，途中想起社會實(shí)踐調(diào)查資料忘帶了，立刻原路返回，返家途中遇到給她送資料的媽媽，接過資料后，小英加速向?qū)W校趕去.能反映她離家距離與騎車時間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是().分析根據(jù)小英的行駛情況，題目中的:騎車行走—返回途中一加速行走.這些詞之間既承接又波動，理解這些關(guān)鍵詞同函數(shù)圖象及圖象“拐點(diǎn)”表達(dá)意義的關(guān)系，是選擇出合適圖象的依據(jù).距離先增加，再減少(不為0)，再增加，逐一排除.故選D.評析首先應(yīng)理解函數(shù)圖象的橫軸和縱軸表示的幾何意義，再根據(jù)實(shí)際情況來判斷函數(shù)圖象.需注意速度大說明在相等的時間內(nèi)，走的路程要多，橫軸表示時間，縱軸表示路程.表現(xiàn)在函數(shù)圖象上就是速度大的函數(shù)圖象的走勢相對要陡.2.借助動態(tài)應(yīng)用性問題關(guān)鍵字詞句定量辨析例8(瀘州中考)小明的父親飯后出去散步，從家中出發(fā)走20分鐘到一個離家900米的報(bào)亭看報(bào)10分鐘后，用15分鐘返回家，下列圖中表示小明的父親離家的距離(米)與離家的時間(分)之間的函數(shù)關(guān)系的是().分析關(guān)鍵詞:散步、看報(bào)、回家.以此為題眼從小明父親散步的時間段看，分為0一20分鐘散步，20一30分鐘看報(bào)，30—45分鐘返回家，按時間段把函數(shù)圖象分為三段2個拐點(diǎn).故選D.評析正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的實(shí)際數(shù)量的意義，抓住關(guān)鍵詞理解運(yùn)動的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決.四、借助圖形定點(diǎn)(特殊點(diǎn))的幾何意義辨析這類問題，形式上沒有運(yùn)動元素，但呈現(xiàn)比較隱蔽，需借助圖形特殊點(diǎn)——定點(diǎn)(用運(yùn)動相對性觀點(diǎn)理解，實(shí)際是運(yùn)動過程中相對靜止的瞬間，兩個聯(lián)系的量相隨變化就產(chǎn)生了函數(shù))的幾何性質(zhì)作定性定量分析.(蘭州中考)如圖7，已知:正方形邊長為1,、、、分別為各邊上的點(diǎn)，且，設(shè)小正方形的面積為為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是().解析①、、、分別為各邊上的點(diǎn)，且、、、分別只能在各邊上運(yùn)動，此時，表現(xiàn)在圖象上不會有拐點(diǎn)，∴排除選項(xiàng)D.②由題意可證≌≌≌.題設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得，即，整理得函數(shù)圖象是一個開口向上，對稱軸是且.故選B.五、借助函數(shù)圖象的“拐點(diǎn)”辨析運(yùn)動幾何圖形(運(yùn)動路線)這類問題的求解，需借助函數(shù)圖象拐點(diǎn)的幾何意義比照題目中描述運(yùn)動狀態(tài)的關(guān)鍵詞作定性分析.(黔南州中考)王芳同學(xué)為參加學(xué)校組織的科技知識競賽，她周末到新華書店購買資料.如圖8，是王芳離家的距離與時間的函數(shù)圖象.若黑點(diǎn)表示王芳家的位置，則王芳走的路線可能是()解析①函數(shù)圖象表明有2個拐點(diǎn)，而路線圖A有3個折點(diǎn)，不符合，排除A;②函數(shù)圖象表明王芳從家去書店、買書時間、回到家3段，而路線圖C第3個箭頭表明