上海南洋模范中學(本部)2021年高三數(shù)學理月考試題含解析

上海南洋模范中學(本部)2021年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)（其中）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)的圖象是參考答案：A略2.設函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）試說明函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像如何變換而得到？參考答案：（1）

（2）（3）略略3.設集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和稱為X的“容量”，（規(guī)定空集容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S的奇（偶）子集，記S的奇子集個數(shù)為m，偶子集個數(shù)為n，則m，n之間的關(guān)系為（）A．m=n B．m＞n C．m＜n D．無法確定參考答案：A【考點】集合的表示法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；集合．【分析】集合S的子集可以分為兩類：A含有1的子集，B中不含有1的子集，這兩類子集個含有22015個，而且對于B類中的任意子集T，必在A類中存在唯一一個子集T∪{1}與之對應，且若T為奇子集，則T∪{1}是偶子集；若T為偶子集，則T∪{1}是奇子集即可得出．【解答】解：集合S的子集可以分為兩類：A含有1的子集，B中不含有1的子集，這兩類子集個含有22015個，而且對于B類中的任意子集T，必在A類中存在唯一一個子集T∪{1}與之對應，且若T為奇子集，則T∪{1}是偶子集；若T為偶子集，則T∪{1}是奇子集．∴B類中有x個奇子集，y個偶子集，則A類中必有x個偶子集，y個奇子集，∴S的奇子集與偶子集的個數(shù)相等．故S的奇子集與偶子集個數(shù)相等，m=n．故選：A．【點評】本題考查了新定義、集合之間的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4.已知向量，b滿足||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影是(

)A、1

B、2

C、3

D、-1參考答案：A5.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為A． B．C． D．參考答案：B略6.已知集合，若，則實數(shù)a滿足的集合為(

)A.{1} B.{－1} C.{－1,1} D.參考答案：D【分析】由可得，解得，將它分別代入集合A，再檢驗是否成立即可得解?！驹斀狻恳驗椋詣t，解得：當時，，此時，這與已知矛盾。當時，，此時，這與已知矛盾。所以這樣的不存在。故選：D【點睛】本題主要考查了交集的概念與運算，還考查了分類思想，屬于基礎題。7.如圖所示的韋恩圖中，、是非空集合，定義*表示陰影部分集合．若，，，則*B=（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C8.已知，那么A．

B．

C．

D．參考答案：C考查三角函數(shù)誘導公式，，選C.9.若非零平面向量，滿足，則（

）． A． B． C． D．參考答案：D∵，∴，∴，∵，均為非零向量，∴．綜上所述，答案為．10.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是A．2

B．

C．

D．3參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α∈R，則函數(shù)f（x）=1﹣sin2（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）的最大值為．參考答案：【考點】HW：三角函數(shù)的最值．【分析】化簡f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的最大值．【解答】解：函數(shù)f（x）=1﹣sin2（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）=1﹣+sin2（x+α）=+sin2（x+α）+cos2（x+α）=+sin=+sin（2x+2α+）；當2x+2α+=+2kπ，k∈Z，即x=﹣α++kπ，k∈Z時；f（x）取得最大值為．故答案為：．12.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的

條件．參考答案：充要【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)的周期性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】由題意，可由函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)的周期性即可得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，由此證明充分性，再由f（x）為[3，4]上的減函數(shù)結(jié)合周期性即可得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)即可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，由此證明必要性，即可得出正確選項【解答】解：由題意，f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）為[0，1]上的增函數(shù)所以f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)又f（x）是定義在R上的函數(shù)，且以2為周期[3，4]與[﹣1，0]相差兩個周期，故兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，故充分性成立，若f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，由周期性可得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，故必要性成立綜上，“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的充要條件．故答案為：充要．【點評】本題考查充分性與必要性的判斷，解題的關(guān)鍵是理解充分性與必要性證明的方向，即由那個條件到那個條件的證明是充分性，那個方向是必要性，初學者易搞不清證明的方向?qū)е卤硎錾铣霈F(xiàn)邏輯錯誤，13.函數(shù)f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期為

．參考答案：π【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用半角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)的最小正周期．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函數(shù)的最小正周期為=π，故答案為：π．【點評】本題主要考查半角公式的應用，余弦函數(shù)的周期性，屬于基礎題．14.某校高一、高二、高三三個年級的學生數(shù)分別為1000、1200和1500，現(xiàn)采用按年級分層抽樣法了解學生的視力狀況，已知在高三年級抽查了75人，則這次調(diào)查三個年級共抽查了

人．參考答案：18515.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD⊥平面CEFB,CE=1,∠AED=30°，則異面直線BC與AE所成角的大小_________

參考答案：16.已知函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是______.參考答案：【分析】先由向右平移個單位得到，寫出函數(shù)解析式；根據(jù)單調(diào)增區(qū)間列出不等式，再對取值，得到上的單調(diào)區(qū)間.【詳解】向右平移個單位后得，令，則，由于，所以取，則，綜上：.【點睛】向左（或右）平移個單位即可得到，而不是得到，這里需要注意的就是時，平移是在這個整體上進行的，并不是簡單的在括號里加、減.17.已知函數(shù)的值域為，若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”．現(xiàn)測得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°．（1）求腰梁BF與DE所成角的大??；（2）若不計糧倉表面的厚度，該糧倉可儲存多少立方米糧食？參考答案：考點：異面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間角．分析：（1）根據(jù)異面直線所成角的概念，過E作EK∥FB，連接DK，則DEK為異面直線DE與FB所成的角，然后通過求解三角形即可得到兩異面直線所成角；（2）要求原多面體的體積，可以把原多面體分割成我們熟悉的柱體及椎體求體積分別過E，F(xiàn)作兩底梁的垂線，連接兩垂足后分割完成，然后直接利用柱體及錐體的體積求解．解答：解：（1）如下圖，過點E作EK∥FB交AB于點K，則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，∵DE=FB=4，EA，EK與AB所成角都是60°，∴AK=4，∴DK=，在三角形DEK中，∵DE2+EK2=42+42=32=DK2，∴∠DEK=90°，∴腰梁BF與DE所成的角為90°；

（2）如上圖，過點E分別作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，連接MN，則AB⊥平面EMN，∴平面ABCD⊥平面EMN，過點E作EO⊥MN于點O，則EO⊥平面ABCD由題意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=，∴O為MN中點，∴EO=，即四棱錐E﹣AMND的高為，同理，再過點F作FP⊥AB于點P，F(xiàn)Q⊥CD于點Q，連接PQ，原多面體被分割為兩個全等的四棱錐和一個直棱柱，且MP=16﹣2﹣2=12．∴多面體的體積V=2VE﹣AMND+VPQF﹣MNE=．答：該糧倉可儲存立方米的糧食．點評：本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力，考查了利用割補法求幾何體的體積，屬中檔題．19.（06年全國卷Ⅱ理）（１２分）設函數(shù)若對所有的都有成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：解析:令

對g(x)求導得令當時,對所有的x>0都有,所以上為單調(diào)增函數(shù)又g(0)=0,所以對

即當所以成立當a>1時,對于

所以g(x)在

所以對于即f(x)<ax,

所以當a>1時不一定成立綜上所述可知a的取值范圍是20.（14分）（2014?）設函數(shù)f（x）=x﹣aex﹣1．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）≤0對x∈R恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）對任意n的個正整數(shù)a1，a2，…an記A=（1）求證：（i=1，2，3…n）（2）求證：A．參考答案：（I）∵函數(shù)f（x）=x﹣aex﹣1．∴函數(shù)f′（x）=1﹣aex﹣1．當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上是增函數(shù)當a＞0時，令f′（x）=0得x=1﹣lna，則f（x）在區(qū)間（﹣∞，1﹣lna）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1﹣lna，+∞）上是減函數(shù)綜上可知：當a≤0時，f（x）在R上是增函數(shù)；當a＞0時，f（x）在區(qū)間（﹣∞，1﹣lna）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1﹣lna，+∞）上是減函數(shù)．（II）由（I）可知：當a≤0時，f（x）≤0不恒成立當a＞0時，f（x）在點x=1﹣lna時取最大值﹣lna，令﹣lna≤0，則a≥1故若f（x）≤0對x∈R恒成立，則a的取值范圍為[1，+∞）（III）（1）由（II）知：當a=1時恒有f（x）=x﹣ex﹣1≤0成立即x≤ex﹣1∴（2）由（1）知：，，…，把以上n個式子相乘得≤=1∴An≥a1?a2?…?an故21.設正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍.參考答案：(1)；(2).分析：第一問首先將代入題中所給的式子，結(jié)合與的關(guān)系，求得，再類比著寫出一個式子，兩式相減求得，結(jié)合數(shù)列的項的符號，得到，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，應用等差數(shù)列的通項公式寫出結(jié)果；第二問利用裂項相消法對數(shù)列求和，結(jié)合式子寫出其范圍.詳解：（1）①時，由，得，②時，由已知，得，∴，兩式作差，得，又因為是正項數(shù)列，所以.∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.∴.（2）∵，∴.又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，當時最小，，∴.點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項公式的求解以及裂項相消法求和，在解題的過程中，需要對題中所給的式子，類比著往前寫或者往后寫一個，兩式相減，結(jié)合題中的條件，得到相鄰