上海北站中學2021-2022學年高三數(shù)學理月考試卷含解析

上海北站中學2021-2022學年高三數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若正項數(shù)列{an}滿足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+…+a2010=2014，則a2011+a2012+…+a2020的值為（）A．2014?1010 B．2014?1011 C．2015?1010 D．2015?1011參考答案：A【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】lgan+1=1+lgan，可得=10，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，可得a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）．【解答】解：∵lgan+1=1+lgan，∴=1，∴=10，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∵a2001+a2002+…+a2010=2014，∴a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）=2014×1010．故選：A．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知平面向量，，且，則=(

)A.–3

B.–1

C.1

D.3參考答案：C3.設(shè)點(x,y)滿足約束條件,且,則這樣的點共有(

）個A．12

B．11

C.10

D．9參考答案：A畫出表示的可行域，由圖可知，滿足，得，共有，，共個，故選A.

4.設(shè)函數(shù)、的零點分別為，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S4+a25=5，則一定有(

) A．a(chǎn)6是常數(shù) B．S7是常數(shù) C．a(chǎn)13是常數(shù) D．S13是常數(shù)參考答案：D考點：等差數(shù)列的前n項和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：將S4+a25=5有首項與公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差數(shù)列的前n項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)得到答案．解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵等差數(shù)列{an}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故選：D．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于一道基礎(chǔ)題．6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題為真的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，且，則D．若，且，則參考答案：A試題分析：由線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理可得答案A是正確的,其余答案都是錯誤的.故應(yīng)選A.考點：空間的線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的運用.7.已知，，，夾角為，則以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線的長度為

(

)

A.

B.5

C.9

D.27參考答案：答案：A8.如圖，設(shè)是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點構(gòu)成的區(qū)域．向中隨機投一點，則該點落入中的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.若雙曲線y2=4(m>0)的焦距為8，則它的離心率為

A．

B．2

C．

D．參考答案：C略10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中N，P的坐標分別為，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間不可能為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】余弦函數(shù)的圖象．【分析】解法一：根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的解析式，得出f（x）的遞減區(qū)間，再判定4個選項中是否為f（x）的單調(diào)減區(qū)間．解法二：求出函數(shù)f（x）的周期T=π，判定選項D區(qū)間長度是3T，f（x）不是單調(diào)減函數(shù)，由此得出結(jié)論．【解答】解：（法一）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的周期為T，則T=﹣=，解得T=π，∴ω=2；又x=，∴2×+φ=π+kπ，k∈Z；解得φ=﹣+kπ，k∈Z；，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=Acos（2x﹣）；令2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，當k=0時，x∈[，]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，A滿足題意；當k=﹣1時，x∈[﹣，﹣]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，B滿足題意；當k=2時，x∈[，]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，又[，]?[，]，∴C滿足題意；當k=1時，x∈[，]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，又[，]?[，]，∴D不滿足題意．（法二）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的周期為T，則T=﹣=，解得T=π；又選項D中，區(qū)間長度為﹣=3π，∴f（x）在區(qū)間[，]上不是單調(diào)減函數(shù)．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從集合中隨機選取一個數(shù)記為k，從集合中人隨機選取一個數(shù)記為b,則直線不經(jīng)過第四象限的概率為------------.參考答案：略12.已知復數(shù)滿足，則參考答案：13.（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在極坐標系內(nèi)，已知曲線C1的方程

為，以極點為原點，極軸方向為正

半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線C2的參數(shù)

方程為(為參數(shù))．設(shè)點P為曲線C2上的動點，過點P作曲線C1的兩條切線，則這兩條切線所成角余弦的最小值是_______．參考答案：【知識點】參數(shù)方程

N3解析：曲線的一般方程為：即，圓心為半徑為1，曲線的一般方程為：點到直線的距離是：則這兩條切線所成角余弦的最小值是【思路點撥】根據(jù)參數(shù)方程可求出一般方程，再根據(jù)直線與圓的關(guān)系可求出結(jié)果.14.已知函數(shù)，則

；參考答案：15.一平面截一球得到直徑為cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是

.參考答案：16.如圖2,是函數(shù)(其中的部分圖像,則其解析式為 參考答案：17.對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知對定義域內(nèi)的任意恒成立，求實數(shù)的范圍.參考答案：-----2分（Ⅰ）當時，的變化情況如下表：1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是………………6分（Ⅱ）由于，顯然時，，此時對定義域內(nèi)的任意不是恒成立的，

----------------------------------9分當時，易得函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，實數(shù)的取值范圍是.-----------14分19.（本小題滿分12分）如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當三棱錐的體積最大時，設(shè)點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大?。?/p>

第19題圖參考答案：（Ⅰ）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．由，知，△為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），，，且，所以平面．又，所以．于是

，當且僅當，即時，等號成立，故當，即時,三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．當時，；當時，．所以當時，取得最大值．故當時,三棱錐的體積最大．

（Ⅱ）解法1：以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系．由（Ⅰ）知，當三棱錐的體積最大時，，．于是可得，，，，，，且．設(shè)，則.因為等價于，即，故，.所以當（即是的靠近點的一個四等分點）時，．

設(shè)平面的一個法向量為，由

及，得

可取．設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得，即．故與平面所成角的大小為

解法2：由（Ⅰ）知，當三棱錐的體積最大時，，．如圖b，取的中點，連結(jié)，，，則∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如圖c，延長至P點使得，連，，則四邊形為正方形，所以.取的中點，連結(jié)，又為的中點，則∥，所以.因為平面，又面，所以.又，所以面.又面，所以.因為當且僅當，而點F是唯一的，所以點是唯一的.即當（即是的靠近點的一個四等分點），．

連接，，由計算得，所以△與△是兩個共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點，連接，，則平面．在平面中，過點作于，則平面．故是與平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即與平面所成角的大小為

20.（本小題滿分13分）某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔一小時抽一包產(chǎn)品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)莖葉圖（如右）.（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算甲、乙兩個車間產(chǎn)品重量的均值與方差，并說明哪個車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定；（Ⅱ）若從乙車間6件樣品中隨機抽取兩件，求所抽取兩件樣品重量之差不超過2克的概率．參考答案：（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩個車間產(chǎn)品重量的均值分別為

、，方差分別為

、，

則，

……1分

，

……2分

，

……4分

，

……6分由于，所以甲車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定；……7分（Ⅱ）從乙車間６件樣品中隨機抽取兩件，結(jié)果共有15個：

．………………9分設(shè)所抽取兩件樣品重量之差不超過２克的事件為A，則事件A共有4個結(jié)果：．

………………11分所以．

………………13分21.已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的軸的正半軸重合．直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為