美賽培訓(xùn)怎樣建模

美賽培訓(xùn)怎樣建模第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日參考書

1.姜啟源等，數(shù)學(xué)建模（第三版），高等教育出版社，2003.

4.吳建國(guó)等，數(shù)學(xué)建模案例精編，中國(guó)水利水電出版社，2005.

2.葉起孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)材料（－、二、三），湖南教育出版社，1993，1997，1998.

3.白其崢，數(shù)學(xué)建模案例分析，海洋出版社，2000.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)：

5.蔡鎖章，數(shù)學(xué)建模：原理與方法，海洋出版社，2000第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日目錄1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2建立完整的數(shù)學(xué)模型建模表1.3建模實(shí)例模型一（簡(jiǎn)單模型）模型二（迎面雨模型）模型三（背后雨模型）模型四（改進(jìn)的背后雨模型）第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型建模的方法有很多，不可能一一掌握。要掌握的關(guān)鍵部分是：1、建模的一般方法和要求，了解建模的全過(guò)程；2、掌握幾個(gè)不同類型的具體案例；3、大致瀏覽了解一下各種方法所能解決的問(wèn)題，各種建模案例，以便需要時(shí)盡快查閱和參考；4、掌握一些常用的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)和感覺實(shí)際問(wèn)題是如何用上這些數(shù)學(xué)方法的。第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型

在現(xiàn)實(shí)生活中,人們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題,需要揭示某些數(shù)量的關(guān)系（如函數(shù)、方程等）、模式（如框圖等）或空間形式（圖形等）,以期望使問(wèn)題得到圓滿解決.例

價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題.

兩個(gè)加油站位于同一條公路旁,為在公路上行駛的汽車提供同樣的汽油,彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈.一天甲加油站推出``降價(jià)銷售"吸引顧客,結(jié)果造成乙加油站的顧客被拉走,影響了乙站的贏利.利潤(rùn)是受售價(jià)和銷售量的影響和控制的,乙加油站為了挽回?fù)p失采取對(duì)策,決定也降低售價(jià)以爭(zhēng)取顧客,問(wèn)他們?nèi)绾螞Q定汽油的價(jià)格,既可同甲站競(jìng)爭(zhēng),又可獲取盡可能高的利潤(rùn).第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日要解決這樣的實(shí)際問(wèn)題,首要的工作是建立與問(wèn)題相符的數(shù)學(xué)模型,即要把實(shí)際問(wèn)題變成正確的數(shù)學(xué)表述,然后在模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論求解,分析和研究。我們將站在乙加油站的立場(chǎng)上為其制定價(jià)格對(duì)策。1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型需要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述甲站汽油價(jià)格下調(diào)后乙加油站銷售量的變化情況。為描述價(jià)格和汽油銷售量之間的關(guān)系,引入如下一些指標(biāo):第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日P---汽油的正常銷售價(jià)格(元/升);L---降價(jià)前乙加油站的銷售量(升/日);w---汽油的成本價(jià)格(元/升);x---乙加油站的銷售價(jià)格(元/升);y---甲加油站的銷售價(jià)格(元/升).1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型還需要分析影響乙加油站銷售量的因素.它受以下幾個(gè)因素的影響:(1)甲加油站汽油降價(jià)的幅度;(2)乙加油站降價(jià)的幅度;(3)兩站之間汽油銷售價(jià)格之差.

此外還假定汽油的正常銷售價(jià)格保持不變,并且假定以上各因素對(duì)乙加油站汽油銷售量的影響是線性的。第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型于是,乙加油站的汽油銷售量可由下式給出L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)其中a,b,c

是以上三個(gè)因素對(duì)乙加油站汽油銷售量影響的比例常數(shù),且均大于零。因此乙加油站的利潤(rùn)函數(shù)為R(x,y)=(x-w)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]如果y

給定,可以求得R(x,y)

關(guān)于x的極大值點(diǎn)為（關(guān)于x

的駐點(diǎn)）：x*=[L+y(a+c)-P(a-b)+w(b+c)]/[2(b+c)]即，當(dāng)甲加油站把汽油價(jià)格降到y(tǒng)

元時(shí),乙站把它的汽油價(jià)格定為x*

時(shí),可以使乙站獲得最高利潤(rùn)。第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日在數(shù)值模擬中,令

L=2000,P=4,w=3,y=3.7,3.8,3.9

由于經(jīng)濟(jì)學(xué)的現(xiàn)象是難以通過(guò)試驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的,我們無(wú)法要求任何一個(gè)加油站頻頻調(diào)整它的銷售價(jià)格來(lái)系統(tǒng)計(jì)算不同價(jià)格下的銷售量，因此參數(shù)a,b,c

難以給出估計(jì)值,只能是虛擬數(shù)值

a=b=1000,c=4000.1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型表1.2

列出了甲加油站降價(jià)0.1元,0.2元,0.3

元時(shí)乙站的最優(yōu)銷售價(jià)格。第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型表1.2

乙加油站的最優(yōu)售價(jià)及其利潤(rùn)yxR(x,y)

3.93.652112.53.83.601800.03.73.501512.5看過(guò)這個(gè)例子，我們給出數(shù)學(xué)模型和建模的基本概念（提法會(huì)不同，這里提供一種說(shuō)法而已，主要意義是一樣的）：數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是以解決某個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為目的,做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型作為一種模型，必須對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的現(xiàn)象作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，首先要忽略現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中與數(shù)量無(wú)關(guān)的因素，其次還要忽略一些次要的數(shù)量因素。正是由于這種原因，可以說(shuō)數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)關(guān)系式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)描述的一種假定情況。雖然說(shuō)是描述實(shí)際問(wèn)題，但與真實(shí)的實(shí)際問(wèn)題還是有一定差距的。1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模就是要建立特定實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，解出該模型的結(jié)果，并用此解釋實(shí)際問(wèn)題，或預(yù)測(cè)該實(shí)際問(wèn)題的未來(lái)狀況，或提供處理該實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)決策或控制。第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日最后還要指出,數(shù)學(xué)建模的方法與其他抽象方法是不同的。它除對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的事物、過(guò)程和現(xiàn)象進(jìn)行抽象,還必須要用某種文字、符號(hào)、圖形、數(shù)學(xué)公式描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系,然后對(duì)它們進(jìn)行研究、分析、試驗(yàn),并導(dǎo)出結(jié)論.這種結(jié)論是針對(duì)特定問(wèn)題的，其普遍性不如其他的抽象方法。1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)建模方法與實(shí)驗(yàn)方法也不同：它不要求對(duì)事物過(guò)程或現(xiàn)象本身進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn),只通過(guò)模擬這些事物過(guò)程和現(xiàn)象的模型進(jìn)行驗(yàn)證。其驗(yàn)證過(guò)程簡(jiǎn)易，成本極低。正因?yàn)槿绱?這種數(shù)學(xué)建模方法在解決實(shí)際問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用.1.2建立完整的數(shù)學(xué)模型

我們已經(jīng)看到數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段.那么,什么是一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型呢?一般說(shuō)來(lái),好的數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備以下特點(diǎn):1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型、1.2建立完整的數(shù)學(xué)模型第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程(1)

對(duì)所給問(wèn)題有較全面的考慮。1)列舉各種因素;2)選取主要因素計(jì)入模型;3)考慮其他因素的影響,對(duì)模型進(jìn)行修正.(2)在已有模型上進(jìn)行創(chuàng)造性的改造。(3)善于抓住問(wèn)題本質(zhì),簡(jiǎn)化變量之間關(guān)系。（與（1）相對(duì)）。

(4)注重結(jié)果分析,考慮其在實(shí)際中的合理性。

(5)具有較好的穩(wěn)定性。第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程在了解數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)之后,下面我們給出建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟（七步法）:(1)明確問(wèn)題(2)進(jìn)行合理的假設(shè)(3)建立模型。注意兩點(diǎn)：其一，先簡(jiǎn)單，后完善；其二，要善于借鑒已有問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.(4)模型求解(5)模型的檢驗(yàn)與修正(6)用模型的結(jié)果回答問(wèn)題(7)寫報(bào)告、修改、打印、校樣工作第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程建立數(shù)學(xué)模型的步驟（七步法）可以用下面的框圖表示:明確實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、假設(shè)建立模型模型應(yīng)用驗(yàn)證模型模型求解寫作報(bào)告也有人用下面的(五步法)歸納建模的步驟：明確實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、假設(shè)，選擇建模方法回答問(wèn)題求解模型建立模型第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程另外還有一個(gè)關(guān)于“七步法”的內(nèi)容提示的表格可以供參考：第一步明確問(wèn)題要點(diǎn)：選題：根據(jù)1、難易度,2、自己情況(如建模知識(shí)、計(jì)算機(jī)能力、理解程度、背景).目的：確定研究問(wèn)題方法提示：簡(jiǎn)易模擬、分析法、經(jīng)驗(yàn)法等第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程第二步進(jìn)行合理的假設(shè)要點(diǎn)：識(shí)別問(wèn)題：已知是什么:數(shù)據(jù)、關(guān)系、事實(shí)、各種因素包括題中沒有但相關(guān);查詢問(wèn)題涉及知識(shí)、來(lái)源、信息，它們可靠嗎?它的各部分涉及的數(shù)學(xué):內(nèi)容、算法/方法;問(wèn)題存在什么樣的解答?要求什么?解答形式:數(shù)據(jù)、圖形、關(guān)系、方法、決策等;能否用一例子去類比、模擬?目的：完成問(wèn)題的提出;問(wèn)題的分析;基礎(chǔ)假設(shè);弄清問(wèn)題的特征、可能已有的模型;掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法.方法提示：先簡(jiǎn)單,后逐步深入,化整為零,由初等到高等;第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程第三步建立模型要點(diǎn)：擬定建模計(jì)劃：尋找最簡(jiǎn)單的模型/基于已有模型的推廣討論/圖解;確定符號(hào)與單位,比較模型與實(shí)際問(wèn)題,識(shí)別并列出相關(guān)因素,收集數(shù)據(jù);分析并給出所需的假設(shè),草擬關(guān)系與方程;選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行模型設(shè)計(jì).目的：建立數(shù)學(xué)模型：按某種``規(guī)律"建立起變量、參數(shù)間明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題.方法提示：特殊方法(應(yīng)有重點(diǎn)),常規(guī)方法.第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程第四步求解模型要點(diǎn)：求解模型：試用已學(xué)過(guò)的初等/高等數(shù)學(xué)方法;試用了解的應(yīng)用數(shù)學(xué)/離散數(shù)學(xué)/統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法;試用計(jì)算數(shù)學(xué)作數(shù)值計(jì)算/近似計(jì)算;試用軟件包/編程計(jì)算.目的：給出解法和結(jié)果：數(shù)據(jù)、表格、圖形、函數(shù)、公式.方法提示：用各種數(shù)學(xué)方法和算法,各種數(shù)學(xué)軟件包(Math,MathCAD,Mathcai,SPSS,MatLab,Lindo等).第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程第五步模型的檢驗(yàn)與修正要點(diǎn)：翻譯數(shù)學(xué)解：檢查結(jié)果和計(jì)算的可靠性?合理性?在給定假設(shè)下,是你所希望的``最好"解嗎?它全部的實(shí)際意義是什么?目的：描述數(shù)學(xué)解的實(shí)際意義。方法提示：直譯/具體數(shù)據(jù)代入/分情況分條件。第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程第六步對(duì)模型的評(píng)價(jià)要點(diǎn)：檢驗(yàn)、改進(jìn)、推廣：1.檢驗(yàn):(1)穩(wěn)定性和靈敏度分析;(2)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析;(3)新舊模型的對(duì)比;(4)實(shí)際可行性檢驗(yàn).2.改進(jìn):(1)能最大限度的降低數(shù)學(xué)復(fù)雜性;(2)能更符合實(shí)際?(3)考慮次要因素對(duì)結(jié)果的影響?(4)考慮部分重要的偶然因素的影響?第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程3.推廣:(1)普適性;(2)對(duì)數(shù)據(jù)的依賴性減弱;4.評(píng)價(jià):(1)準(zhǔn)確性;(2)實(shí)用性;(3)方法的創(chuàng)造性;(4)與優(yōu)秀論文標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)照.目的:(1)

模型的正確性;(2)尋求更好的模型;(3)若不滿足題意,轉(zhuǎn)第2步;(4)模型的優(yōu)缺點(diǎn).方法提示：直觀檢驗(yàn)法,預(yù)測(cè)方法、隨機(jī)數(shù)學(xué)、層次分析法、統(tǒng)計(jì)綜合評(píng)價(jià)等.第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2一個(gè)完整的建模過(guò)程第七步寫報(bào)告、修改、打印、校樣工作要點(diǎn)：寫報(bào)告、打印論文。（對(duì)競(jìng)賽要非常重視這一步的重要性）目的：完成論文及校樣,。方法提示：注意格式的規(guī)范性，文章的條理性，重點(diǎn)突出使得一目了然；排版軟件（如WORD、Latex）的正確使用等。我們要求一律用Office2003及其自帶的公式編輯器。第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日摘要是評(píng)閱人讀到的第一段信息。它應(yīng)該寫得很好，并且包括答案或結(jié)果的概要。它應(yīng)該能激起評(píng)閱人想去念你們的文章，看看你們是怎樣得到結(jié)果的。評(píng)閱人對(duì)摘要置以很大的權(quán)重，有時(shí)候獲獎(jiǎng)?wù)撐暮推渌撐牡膮^(qū)別就在于摘要的質(zhì)量。為了寫好摘要，試設(shè)想一下：評(píng)閱人是根據(jù)你們的摘要來(lái)決定要不要去念你們的文章的主體的。

寫好摘要評(píng)閱人的評(píng)注第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日因此，摘要應(yīng)該清楚地陳述你們處理問(wèn)題的方法，并以最顯眼的方式陳述所得到的最重要的結(jié)論。要把“基本結(jié)果和經(jīng)營(yíng)管理方面的建議”放在摘要中。切記要簡(jiǎn)潔，不要把對(duì)所用的方法的討論包括在摘要中，也不要只是把你們所做的事情流水帳地列出。只是重述競(jìng)賽的試題或剪貼文章的引言的陳腐材料通常認(rèn)為是比較差的。寫好摘要評(píng)閱人的評(píng)注第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日評(píng)閱重點(diǎn)：寫作模型方法結(jié)果將模型、方法、結(jié)果這三個(gè)主要部分的分?jǐn)?shù)分配到各個(gè)子問(wèn)題第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例下面我們給出一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用上面所指出的過(guò)程去建立數(shù)學(xué)模型,重點(diǎn)是“如何作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)”,“用數(shù)學(xué)語(yǔ)言確切地表述實(shí)際問(wèn)題”,以及“怎樣用模型的結(jié)果解釋實(shí)際現(xiàn)象”。題目：建立雨中行走的數(shù)學(xué)模型1問(wèn)題的提出與分析

這是一個(gè)開放性的問(wèn)題，它沒有任何數(shù)據(jù)。我們需要按照第一、第二步的提示，采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ侠淼孛枋觯ㄌ岢觯?、分析、識(shí)別這個(gè)問(wèn)題。第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例問(wèn)題的提出：在雨中未帶雨傘行走,顯然盡可能快的走,減少淋雨時(shí)間才能少淋雨。如果考慮降雨方向的變化,在全部距離上快跑不一定是最好策略。我們討論如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。問(wèn)題的分析：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)際背景比較簡(jiǎn)單,但要先分析出參與這一問(wèn)題的主要因素：

1.降雨的大小;2.風(fēng)的方向,也即降雨方向;3.路程的遠(yuǎn)近及你跑的速度.這個(gè)問(wèn)題的解答要求的是決策與數(shù)據(jù)。第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例為了建立本問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，要通過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，簡(jiǎn)化問(wèn)題，從最簡(jiǎn)單的情形入手，然后逐步深入討論。假設(shè)與符號(hào)(1)降雨的速度(即雨滴下落速度)和降水強(qiáng)度保持不變;(2)人在雨中沿一直線從某地跑至目的地;(3)以定常速度跑完全程;(4)風(fēng)速、風(fēng)向始終保持不變;(5)把人體看成是一個(gè)長(zhǎng)方體物體。第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例D(米)——雨中行走的距離,t(秒)——雨中行走的時(shí)間,v(米/秒)——雨中行走的速度;h(米)——行人的身高,w(米)——行人的寬度,d(米)——行人的厚度;C(升)——身上被淋的雨水總量,I(厘米/時(shí))——降雨的大小即降水強(qiáng)度(單位時(shí)間平面上的降下雨水的厚度,由雨滴密度和降雨速度決定).第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例3建模與求解（通過(guò)第三、四、五步的提示建立數(shù)學(xué)模型、求解、翻譯數(shù)學(xué)解）(1)模型一：簡(jiǎn)單模型首先討論最簡(jiǎn)單情形,即不考慮降雨角度的影響,也就是說(shuō)行走過(guò)程中身體的前后左右和上方都將淋到雨水.注意：在建立模型時(shí)，特別要重視取值單位的一致性，還要區(qū)分不變的量（常量），與可以用來(lái)調(diào)節(jié)、分析的量（變量）。第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例在以上的假設(shè)中，身體尺寸是不變的,從而身體被雨淋的面積

S=2(wh+dh)+wd(m2)是不變的；行走的距離D（米）和降水強(qiáng)度I（厘米/時(shí)）也是不變的,它們可認(rèn)為是問(wèn)題的參數(shù)。而雨中行走的速度v（米/秒）及雨中行走的時(shí)間t=D/v

（秒）是問(wèn)題中的變量?？紤]了各參量取值單位的一致性后,可以得到在整個(gè)雨中行走期間整個(gè)身體被淋的雨水總量是

C=t·(I/3600)·S·0.01

（m3）

=(D/v)

·(I/3600)·S·10(升)（厘米＝0.01m,0.01（m3）＝10（升））第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例模型中的參數(shù)可通過(guò)觀測(cè)和日常調(diào)查資料得到.當(dāng)降水強(qiáng)度I

給定時(shí),從上述表達(dá)式可以看出,被淋在身上的雨水總量與雨中行走速度成反比現(xiàn)在問(wèn)題中假設(shè):D=1000米,h=1.50米,W=0.50米,d=0.20米,I=2（厘米/小時(shí)）.如果一個(gè)人在雨中以可能最快的速度v=6（米/秒）向前跑,則他在雨中行走時(shí)間為

t=167（秒）,身上被淋的雨水總量是

C=167·(2/3600)·

S·10=2.041(升)其中S=2.2(m2)是身體被雨淋的面積.

第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例結(jié)果分析：行人在雨中僅跑了2

分47

秒,身上卻淋了2

升的雨水（約4

酒瓶水），這是不可思議的。表明這個(gè)模型用來(lái)描述雨中行走被雨淋濕的狀況不太符合實(shí)際情。如果淋雨面積只有身體的上方，即

S=0.5·0.2=0.1（m2），則淋雨總量為

C=167·(2/3600)·S·10=0.093(升)只有不到2

兩（一小酒杯）的水，又太少了.第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例按建模程序,需回到對(duì)問(wèn)題所作的假設(shè),考慮這些假設(shè)是否合理。我們發(fā)現(xiàn)沒重視降雨角度的影響和速度與降雨強(qiáng)度的關(guān)系，把問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)單化了.下面考慮降雨角度并分解降雨強(qiáng)度為“雨滴密度與速度的乘積”}：設(shè)θ——降雨的角度（雨滴下落的反方向與行人前進(jìn)方向之間的夾角）；r(米/秒)——雨滴下落的（徑向）速度;p——雨滴的密度（降雨強(qiáng)度系數(shù)）,它表示在某一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)由雨滴所占據(jù)的空間的比例數(shù)；于是有I=pr,顯然p<1，p

較大時(shí)，意味著大雨傾盆.第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例(2)模型二：迎面雨模型（圖1.1）因?yàn)橛晁怯娑鴣?lái)落下的,由經(jīng)驗(yàn)知道,這時(shí)被淋的部位僅是行人的頂部和前方,因此淋在身上的雨水分為兩部分計(jì)算.hwdθ在時(shí)間t=D/v

內(nèi)淋在頂部的雨水量為C頂=(D/v)wd(prsinθ).前方表面被雨水淋到的量為C前=(D/v)wh[p(rcosθ+v)].圖1-1第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例這樣在整個(gè)行程被淋雨水的總量是寫成于是，對(duì)于迎面雨（即0<θ<=90o）,C

是v

的減函數(shù),只有當(dāng)速度取可能的最大值時(shí)C

達(dá)到最小。第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例仍然沿用前面采用的參數(shù)值,即在問(wèn)題中已假設(shè):D=1000米,h=1.50米,W=0.50米,d=0.20米,I=2（厘米/小時(shí)）.如果進(jìn)一步假設(shè)落雨速度是r=4(米/秒),由降雨強(qiáng)度I=2(厘米/小時(shí)),可估算出它的強(qiáng)度系數(shù)p=1.39·10-6.把這些參數(shù)值代入上式可以得到：如果一人在雨中以可能最快的速度v=6（米/秒）向前跑,則他在雨中行走時(shí)間為t=167(秒),考慮在兩種情況下身上被淋的雨水總量：第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例(1)θ=90o.在這種情形下雨滴是垂直落下,由上述模型可得即若行人以v=6

米/秒速度猛跑,淋雨水量為1.135(升).問(wèn)題：這里同樣沒有考慮降雨的角度，所得結(jié)果與模型一完全不同，為什么？第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例(2)θ=60o.雨滴迎面向身上落下.這時(shí)此人同樣以v=6

米/秒速度猛跑,淋雨水量為1.47(升).當(dāng)90o<θ<180o.雨滴從后面向身上落下，上面的模型已經(jīng)不適用，建立另外的模型如下：第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例(2)模型三：背后雨模型回到開始的建模過(guò)程.如圖1-2：將速度分成兩種情況.情況1：考慮v<=rsinα,也就是說(shuō)行走速度慢于雨滴的水平速度,這時(shí)雨滴淋在身背后.情況2：當(dāng)v>rsinα?xí)r,即在雨中行走速度快于雨滴的水平速度2米/秒,這時(shí)雨水將淋在胸前.圖1-2第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例情況1：v<=rsinα情況2：v>rsinα圖1-2第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例采用數(shù)據(jù)：r=4,p=1.39×10-6,D=1000,w=0.5,d=0.2,h=1.5

得情況1：v<=rsinα第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日情況2：v>rsinα1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例注意到：情況2中，當(dāng)tanα>0.133,α>7.59o時(shí)淋雨量與前進(jìn)速度成正比下面做數(shù)據(jù)試驗(yàn)：取θ=120o,即α=30o

角，雨從后面落在人的背上.第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例情況1：v<=rsinα也就是說(shuō)行走速度慢于雨滴的水平速度,v=2

時(shí)淋在全身的雨水總量應(yīng)為情況2：當(dāng)v>rsinα，例如人以v=6（米/秒）的速度奔跑，淋在全身的雨水總量應(yīng)為第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例我們發(fā)現(xiàn)，模型三仍存在明顯的問(wèn)題：（i）情況1中，當(dāng)人以v=rsinα速度向前行進(jìn)時(shí)，C后=0.即只有上面淋雨，人的前面不淋雨合理嗎？（ii）情況2中，當(dāng)tanα<0.8/6時(shí)，淋雨量與速度成反比，所以讓速度剛好等于落雨速度的水平分量，即v=rsinα，于是C前=0，即只有上面淋雨，合理嗎？從這些問(wèn)題得到啟示，模型三需要改進(jìn)！問(wèn)題在于我們沒有從正體上考慮下雨的速度，而只是微局部地考慮雨點(diǎn)的速度。第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3數(shù)學(xué)建模實(shí)例模型四：改進(jìn)型模型只考慮h·tanα<r·sinα

的情況。圖1-3，圖1-4可幫助計(jì)算人的前面淋雨的量。v1rv2圖1-3