空間幾何體的表面積和體積考點(diǎn)講解及經(jīng)典例題解析

--幾何體的表面積和體積習(xí)題講解一.課標(biāo)要求:了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)。近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題,也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題,也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)解問題,會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解?？疾樾问?(1)用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；(2)考題可能為:與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體1．多面體的面積和體積公式體體積(V)全底截面積側(cè)底底各側(cè)面積之和13底錐直棱柱側(cè)面積(S)側(cè)直截面周長(zhǎng)×l側(cè)底全面積(S)2棱錐棱柱------各各側(cè)面面積之和2h(S+S+3上底下底上底下底側(cè)上底下底棱臺(tái)正棱臺(tái)棱臺(tái)2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式(r+r)(r+r)l+(r2+r2)121h(r2+rr+r2)11222r(1+r)r2hrlr(1+r)13球4r24r33S側(cè)S全V表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑,r、r分別表示圓臺(tái)12例1．一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm,求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得:〈由(2)2得：x2+y2＋z2+2xy＋2yz＋2xz=36(3)由(3)-(1)得x2+y2＋z2=16----點(diǎn)評(píng):涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主,而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素(對(duì)角線、內(nèi)切)與面積、體例2.如圖1所示,在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3,ABADAABAAD＝3。D(2)求這個(gè)平行六面體的體積。解析:(1)如圖2，連結(jié)A1O，則A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M,A1N。由三垂線定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD?！摺螦1AM=∠A1AN,13 (2)∵AM=AAcos＝3×=1322----AM3∴AO==2。499又在Rt△AOA1中,A1O2＝AA12–AO2=9－2=2，3232∴A1O=2，平行六面體的體積為V=542=302。題型2：柱體的表面積、體積綜合問題例3．一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2,3,6，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是()A．23??B.32??C．6?D.6l=a2+b2+c2=6;答案D。點(diǎn)評(píng):解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長(zhǎng)。例4．如圖，三棱柱ABC—ABC中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EBC將三111111212_。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V+V=Sh。121∴S=S，△AEF4V＝h(S+S＋1345V=Sh-V=Sh,211217S)=Sh--BD立比值得到結(jié)論即可。中數(shù)據(jù),(B(D)12π建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)PPDAOBCE(2(2008江西卷10)連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于27、43,M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)NA.A3B.B3C.823(Ⅱ)求四棱錐PABCD的體積．點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。例6．(2008北京,19)．(本小題滿分12分)PPMDCAB(Ⅰ)證明:在△ABD中，所以AD2+BD2=AB2.APDOMCB(Ⅱ)解：過P作PO」AD交AD于O,------3因此PO=4=23.24885所以四邊形ABCD是梯形,在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為=,455585255854所以四邊形ABCD421故V=2423=163．PABCD3點(diǎn)評(píng):本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問題例7．ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面,且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離?解:如圖,取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。--AODAODFBE12--設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝,EF,CO＝。而GC⊥平面ABCD,且GC=2。由,得·點(diǎn)評(píng):該問題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn),△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵,利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)球心O,且與BC,DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分,設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S，S，則必有()12CD.2解：連OA、OB、OC、OD，A-BEFDO-AA-BEFDO-ABDO-ABEO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC+VO-AEC+VO-EFC又VA－BEFD＝VA－EFC,而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑,故SABD＋SABE+SBEFD＝SADC+SAEC----＋SEFC又面AEF公共,故選C點(diǎn)評(píng):該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問題.如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形,∠BAD＝∠22(Ⅱ)C、D、E、F四點(diǎn)是否共面？為什么?(Ⅲ)設(shè)AB＝BE,證明：平面ADE⊥平面CDE．FFGEADCHB----1所以GHAD,21又BCAD,故GHBC.2所以四邊形BCHG是平行四邊形.(Ⅱ)C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由如下:1GF，所以EF∥BG．由BEAF,GGF，所以EF∥BG．2((Ⅲ)連結(jié)EG，由AB=BE,BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形.故BG⊥EA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直,故AD⊥平面FABE,因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影,根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED．ADE⊥平面CDE.解法二:(Ⅰ)設(shè)AB=a,BC＝b,BE=c,則由題設(shè)得--即即又--于是GH=BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形．(Ⅱ)C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由如下:ADbCHAECHAD=0.CH⊥AE,CH⊥AD,故由CH仁平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.點(diǎn)評(píng):該題背景較新穎,把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體(擬柱體)中,能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力,而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與--例11．例11．1--OP的面截球得三個(gè)圓,則這三個(gè)圓的面積之比為：(D)(A),5,(B)3,6,8(C)5,7,9(D)5,8,91231(3)92(3)93(3)1(3)92(3)93(3)123【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察球中截面圓半徑,球半徑之間的關(guān)系;若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形,另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為600的菱形,則該棱柱的體積等于(B)(A)22(B)22(C)32(D)4211111111111cos三BAOcos30033111322故選B----并例12.如圖9—9，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個(gè)半徑，則=，則=rrrr4R2323因此有πr3＝πR2r。故=。答案為。3r33點(diǎn)評(píng):本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。、表面積及綜合問題一一圖2323則OA=2=，323----∴R2=()2+R34439系。例14.如圖所示,球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。rO在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB,PC兩兩互相垂直,且PA＝PB=PC＝a,∴AB=BC＝CA=2a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。2a6由正弦定理，得=2r,∴r又根據(jù)球的截面的性質(zhì),有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，3∴P、O、O′共線,球的半徑R=r2+d2。又PO′=PA2r2=a2a2=33a,∴OO′=R－3363a=d=R2r2,(R-a)2=R2–(a)2,解得R=a，3332----球∴S=4πR2=3πa2。球點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P—ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體,由對(duì)稱性可知,正方體內(nèi)3接于球,則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。2問題(2)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O是與正四面體的三個(gè)面和球O都1相切的一個(gè)小球,求球O的體積。1解:(1)設(shè)球半徑為R,正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,表(2)如圖,設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r,E為CD中點(diǎn),球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H--3--3∵△AOF∽△AEG∵△AO1H∽△AOF36=,得R=a=a236r6=，得r=aR24點(diǎn)評(píng):正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10:球的經(jīng)緯度、球面距離問題例19．(1)我國(guó)首都靠近北緯40緯線,求北緯40緯線的長(zhǎng)度等于多少km？(地球半----設(shè)C是北緯40的緯線長(zhǎng),(2)解：設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的截面為⊙O,32∵AO=12=43,232兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為幾R(shí)(R為地球半徑)，求A,B兩點(diǎn)間的4----2解:設(shè)北緯45圈的半徑為r，則r=R，設(shè)O,為北緯45圈的圓心,三AO'B=a，4222424幾2幾3幾3點(diǎn)評(píng):要求兩點(diǎn)的球面距離,必須先求出兩點(diǎn)的直線距離,再求出這兩點(diǎn)的球心角,進(jìn)而求(20(2008廣東文18)(本小題滿分14分)如圖5所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形,其中BD(1)求線段PD的長(zhǎng)；C又又)422)422人ADDPBAAD2=;===人(sin=;===人R2(2)(2)--2)(1212222)(121222=RR|24 (--43三棱錐P-ABC的體積為V43P-ABC3ABC