初等多值函數(shù)解讀

§3初等多值函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握基本的初等多值函數(shù)的定義、性質(zhì)；二、教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：基本內(nèi)容：基本的初等多值函數(shù)的定義、性質(zhì)；重點：基本的初等多值函數(shù)的定義、性質(zhì)；難點：支點的概念三、教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：21-26（習(xí)題課檢查）§3初等多值函數(shù)1.根式函數(shù)定義2.9設(shè)，規(guī)定根式函數(shù)為冪函數(shù)的反函數(shù)。(1)根式函數(shù)為多值函數(shù)，它不是解析函數(shù)．對于每一個確定的，都有個不同的與之對應(yīng)，即有因為根式函數(shù)是多值函數(shù)，所以，它不是解析函數(shù)．(2)根式函數(shù)在從原點起沿正實軸剪開的復(fù)平面上可分出個單值函數(shù)．設(shè)函數(shù)為多值函數(shù)，若當(dāng)變點從起始點出發(fā)繞一條包圍點的簡單閉曲線連續(xù)變動一周再回到起始點時，函數(shù)從一個支變到另一個支，則稱點為函數(shù)的支點．(3)根式函數(shù)的每個單值支在從原點起始沿正實軸剪開的復(fù)平面上為解析函數(shù)．根式函數(shù)

它是一個多值函數(shù)，出現(xiàn)多值性的原因是由于確定后，其幅角并不唯一確定（可以相差的整數(shù)倍）。為分出單值解析分支，在平面上從原點到引一條射線，將平面割破，割破了的平面構(gòu)成一個以此割線為邊界的區(qū)域。在內(nèi)隨意指定一點，并指定的一個幅角值，則在內(nèi)任意的點，皆可根據(jù)的幅角依連續(xù)變化而唯一確定的幅角。

假定從原點其割破負(fù)實軸，是內(nèi)過的一條簡單閉曲線，即不穿過負(fù)實軸，它的內(nèi)部不包含原點，則當(dāng)變點從其繞一周時，的象點各畫出一條閉曲線而各回到它原來的位置。

因此，在區(qū)域內(nèi)可得到的個不同的單值連續(xù)分支函數(shù)

，，

利用極坐標(biāo)形式的柯西－黎曼條件，可以證明，這個分支函數(shù)在區(qū)域內(nèi)是解析的，且有

，，

在上面分出的單值解析分支過程中，有一個重要的基本概念：支點。比如原點。在此點的充分小鄰域內(nèi)，作一個包圍此點的圓周，當(dāng)變點從上一點出發(fā)，繞連續(xù)變動一周而回到其出發(fā)點時，從其一支變到另一支。具有這樣性質(zhì)點稱它為的支點，同理也是的一個支點。

用來割破平面，借以分出的單值解析分支的割線，稱之為支割線。取負(fù)實軸為支割線而得出的個不同的分支，其中有一支在正實軸上取正實值的，稱為的主值支。即

下面以為例，來闡明有關(guān)多值函數(shù)的基本概念.

(i).是多值函數(shù)

由得，令，則有

由此可得w的模與z的模一一對應(yīng)，而對應(yīng)著每個；有三個不同的值(主值幅角)

故

所以：是多值函數(shù)

(ii).單值分支

對于同一z值的三個w值的模相同，而幅角成公差為的一個等差級數(shù).如果在w平面上作一個以原點為頂點，張角為的角形區(qū)域，而規(guī)定w在區(qū)域I上取值，那么函數(shù)就建立了z平面上區(qū)域的點與w平面上區(qū)域I的點之間的一一對應(yīng)關(guān)系.

例如在z平面上區(qū)域上任取一點，函數(shù)在區(qū)域I上有唯一的點與之對應(yīng).對來說，在w平面上區(qū)域I，能使不同的w值對應(yīng)于z平面不同的z值，這樣的區(qū)域稱為的單葉性區(qū)域.

同理，對于z平面上區(qū)域上任取一點，在區(qū)域和區(qū)域上，函數(shù)分別確定了唯一的點和與之對應(yīng)，區(qū)域II,III都是的單葉性區(qū)域.若區(qū)域I,II,III分別加上相鄰的端邊，構(gòu)成,,，當(dāng)用三個角形把w平面布滿后，一個多值函數(shù)劃分成了三個單值分支:

分別為一個單值分支的值域，而此時有：.

(iii).支點在z平面上選定一點，相應(yīng)(取第一支)，再讓點在z平面上沿一閉合曲線，按逆時針方向連續(xù)變化，如果這條曲線不包含原點(如圖曲線)，則當(dāng)動點回到原來位置時，連續(xù)變化的幅角也回到原來的值，相應(yīng)的w也回到原來的，但如果這條閉曲線內(nèi)部包含原點,(如圖曲線c)，那么當(dāng)動點沿逆時針方向繞一整圈回到原來位置時，z的幅角就要增加，成為，與此相應(yīng)的w值就從變到.從以上分析可得，對于函數(shù)來說，z=0點具有這樣的性質(zhì)，當(dāng)z繞它轉(zhuǎn)一整圈回到原處時，多值函數(shù)由一個分支變到另一個分支，這個點就稱為多值函數(shù)的支點.一般來說，對于一個多值函數(shù)，存在這樣的點，當(dāng)自變量z繞它運動一周而回到原處，多值函數(shù)并不回到原值，而由一個分支變到另一個分支，這樣的點，叫支點.

再看無窮遠(yuǎn)點，對于，令z繞無窮遠(yuǎn)點運行一周，繞無窮遠(yuǎn)點運行是指：由于復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點對應(yīng)著復(fù)數(shù)球的北極，如果在復(fù)數(shù)球面上作一個小圓環(huán)繞北極，這個圓就對應(yīng)著復(fù)數(shù)平面上一個很大的圓，因此，繞無窮遠(yuǎn)點支行一周是指在復(fù)數(shù)平面上沿很大的圓運行一周.顯然z沿很大的圓繞

一周，由一個分支變成另一個分支，所以無窮遠(yuǎn)點也是函數(shù)的支點.這個函數(shù)再沒有其它支點了.

從以上分析可得，當(dāng)z沿支點轉(zhuǎn)一周時，由變成，即由前一個分支變成后一個分支，再轉(zhuǎn)一周，

變成，所以，復(fù)變多值函數(shù)不能分解成三個獨立的單值函數(shù)，不像多值的實變函數(shù)，如可分解為獨立的和(iv).支割線

為了把多值函數(shù)分解為獨立的單值函數(shù)，我們必須作支割線.在z平面上從支點z=0到支點任意引一條射線，稱為支割線，將z平面割開，并規(guī)定當(dāng)z連續(xù)變化時，不得跨越支割線，即規(guī)定，這就使得在割開的z平面上的任意閉曲線不含支點在內(nèi)，這樣相應(yīng)的函數(shù)值也只能在w平面上的一個單值分支上取值，而不會由一支變到另一支，這樣就將多值函數(shù)的三個單值分支完全分開了，即就將多值函數(shù)變成了獨立的單值函數(shù).

注意：把一個多值函數(shù)劃分為單值分支是與支割線密切相關(guān)的，對不同的支割線，多值函數(shù)各單值分支的定義域和值域也就不同.例如：

i）.當(dāng)沿正實軸割開的z平面時,的三個單值分支為，定義域：.值域為：

,

,

,

ii）.當(dāng)沿負(fù)實軸割開的z平面時，三個單值分支為，定義域：值域為：

,

,

,

其它情況可類似得到.例設(shè)確定在沿正實軸割破的z平面上，并且，求

分析：本題求解的關(guān)鍵在于確定究竟取三個單值分支中的哪一支.確定的方法是：首行根據(jù)支割線的形式確定定義域與值域，然后由已知條件確定取哪一支.

解：由于是沿正實軸割破的z平面上，所以定義域為：(相應(yīng)的三個單值分支的值域就確定了)

由于，因此故應(yīng)取第三支

又，故.

.

(v).支割線可分為兩岸

每個單值分支在支割線兩岸取不同的值，在支割線上不連續(xù).如在沿負(fù)實軸割開在z平面上單值分支，從負(fù)實軸上方趨于負(fù)實軸上，

時,取.從負(fù)實軸下方趨于負(fù)實軸上時，取.

(vi).三個單值分支在割破的z平面上都是解析的，且：

對于一般的根式可進行類似的討論，此時支點為和，

。例設(shè)確定在從原點起沿負(fù)實軸割破了的平面上且，試求之值。

解設(shè)，則

由代入得

解得：，從而

。2.對數(shù)函數(shù)定義2.10規(guī)定對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。即若

則復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)的對數(shù)，記為。

為求的表達式，令，，則有

因而故

或

這說明對數(shù)函數(shù)是無窮多值的多值函數(shù)。在平面上從原點起割破負(fù)實軸的區(qū)域內(nèi)，可以得到的無窮多個不同的單值解析分支：

其主值支為。每支相同的導(dǎo)數(shù)

對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)，從而，它不是解析函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì):設(shè)，例設(shè)則

例計算．解（：整數(shù)）例計算。解：（為整數(shù)）例試求方程的解。解因為，所以，由對數(shù)函數(shù)主支的定義有即所給方程的解為。

若限定取,，則z的對數(shù)只有一個，稱它為的主值支，記為

單值分支、支點、支割線

在w平面上，用平行于實軸的直線，劃出一個寬為的帶形，如，而規(guī)定w在帶形I中取值，則給出z平面與w平面上帶形I的一一對應(yīng)關(guān)系.帶形I是的單葉性區(qū)域加一條端邊.用的互不相交的帶形把w平面布滿后，每個帶形就是對數(shù)函數(shù)的一個相應(yīng)分支的值域.

對數(shù)函數(shù)只有兩個支點，從0點到點作支割線，即可得到在這割破的z平面上的無窮多單值分支.

無窮多個單值函數(shù)都是解析函數(shù)，且：

運算法則

但不成立.

3.一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)定義2.11（為復(fù)常數(shù)）稱為的一般冪函數(shù)。定義2.12（為復(fù)常數(shù)）稱為一般指數(shù)函數(shù)．例求和的值。解：，4.具有多個有限支點的多值函數(shù)對具有多個有限支點的多值函數(shù)，我們不便采取限制輻角范圍的方法，而是求出該函數(shù)的一切支點，然后適當(dāng)連接支點以割破平面。于是在平面上以此割線為邊界的區(qū)域內(nèi)就能分出該函數(shù)的單值解析分支。

（1）討論函數(shù)

（2.24）

的支點，其中是次多項式，

是的一切相異零點，分別是他們的重數(shù)，滿足

例考查下列二函數(shù)有哪些支點

(a)

(b)

解（a）作一條內(nèi)部含0但不含1的簡單閉曲線,當(dāng)沿正方向繞行一周時,的輻角得到增量,的輻角沒有改變,即

從而

故的終值較初值增加了一個因子，發(fā)生了變化，可見0是的支點。同理1也是其支點。

任何異于0，1的有限點都不可能是支點。因若設(shè)是含但不含0，1的簡單閉曲線，則

故的終值較初值增加了一個因子，未發(fā)生變化。

最后不是的支點。因若設(shè)含0，1的簡單閉曲線，則

故的終值較初值增加了一個因子，未發(fā)生變化。

（b）可能的支點是0，1，。設(shè)分別是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的簡單閉曲線，則

結(jié)果的終值較初值均發(fā)生了變化。故0，1，都是支點，此外別無支點。

對函數(shù)作類似的討論，可得如下結(jié)論：

（a）可能的支點是。

（b）當(dāng)且僅當(dāng)不能整除時，是的支點；

（c）當(dāng)且僅當(dāng)不能整除時，是的支點；

（2）由已給單值解析分支的初值，計算終值。

因

其中為從到的有向曲線（不穿過支割線），與的取值無關(guān)，可以相差的整倍數(shù)。

例試說明在將平面適當(dāng)割開后能分出三個解析分支。并求出在點取負(fù)值的那個分支在的值

解易知的支點是。因此，將平面沿正實軸從0到1割開，再沿負(fù)實軸割開。在這樣割開后的平面上，能分出三個解析分支。

現(xiàn)取一條從到的有向曲線（不穿過支割線），則

于是

又由題設(shè)，可取。故得

。

（3）關(guān)于對數(shù)函數(shù)的已給單值解析分支，我們可以借助下面的公式來計算它的終值：

即

其中是一條連接起點和終點且不穿過支割線的簡單曲線；是滿足條件那一支在起點之值的虛部，是一個確定的值。

例試說明在割去“從-1到的直線段”，“從到1的直線段”與射線“且”的平面內(nèi)能分出單值解析分支。并求時等于零的那一支在的值。

解的支點為。這是因

當(dāng)變點單繞一周時，

故的值增加了，的值未改變，從而，的值增加了，從一支變成另一支。故是支點，同理也都是支點，此外無其它支點。故在割去“從-1到的直線段”，“從到1的直線段”與射線“且”的平面內(nèi)能分出單值解析分支。

現(xiàn)設(shè)是一條連接起點和終點且不穿過支割線的簡單曲線。則

故

這就是所要求之值。

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)由于三角函數(shù)可用指數(shù)函數(shù)表示，可預(yù)見反三角函數(shù)可用指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)——對數(shù)函數(shù)表示，先來看反正切函數(shù)：

用記號

表示方程

的解的總體。稱之為反正切函數(shù)。由上面方程可解得反正切的表達式。因上面方程可改寫為

故有

由此得反正切函數(shù)的表達式

。

對于反正弦函數(shù)，我們來解方程

方程可改寫為

故有

由此得反正弦函數(shù)的表達式

。

同理可得反余弦函數(shù)的表達式

反三角函數(shù)都是無窮多值函數(shù)，分出單值解析分支的方法與前面的討論類似。

例求反正弦。

解