第六系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第六系統(tǒng)的穩(wěn)定性演示文稿當前1頁，總共64頁。（優(yōu)選）第六系統(tǒng)的穩(wěn)定性當前2頁，總共64頁。

不穩(wěn)定的現(xiàn)象穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺6.1穩(wěn)定性當前3頁，總共64頁。

1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整座橋斷裂。

跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風，這座大橋就會晃動。當前4頁，總共64頁。6.1穩(wěn)定性1.穩(wěn)定性的概念定義：系統(tǒng)受到外界干擾作用時，其被控制量yc(t)將偏離平衡位置，當這個干擾作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長的時間內(nèi)能夠恢復到其原來平衡位置或者趨于一個給定的新的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之若系統(tǒng)對干擾的瞬態(tài)響應隨時間的推移而不斷擴大或產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當前5頁，總共64頁。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才能正常工作，在設計一個系統(tǒng)時，首先要保證其穩(wěn)定性；在分析一個系統(tǒng)時，也首先要判定是否穩(wěn)定。

線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是系統(tǒng)本身一個特性，與輸入量或干擾無關。當前6頁，總共64頁。2.判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本準則線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：（6－1）由拉氏變換的數(shù)學方法求解式(6-1):其中x(t)為輸入，y(t)為輸出，ai(i=0~n)，bj(j=0~m)為常數(shù)。當前7頁，總共64頁。再經(jīng)拉氏反變換可得原函數(shù)：令：為式(6-1)的齊次通解，是與初始條件A0(s)，B0(s)有關而與輸入或干擾x(t)無關的補函數(shù)。令：為式(6-1)的非齊次特解，是與初始條件A0(s)，B0(s)無關而與輸入或干擾x(t)有關的特解。當前8頁，總共64頁。既然系統(tǒng)的穩(wěn)定與否要看系統(tǒng)在除去干擾后的運行情況，因此系統(tǒng)的補函數(shù)yc(t)就完全反應了系統(tǒng)是否穩(wěn)定。如果當時，，則系統(tǒng)為穩(wěn)定；若當時，，或是時間t的周期函數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。為此需求解yc(t)。一般稱A(s)=0為系統(tǒng)的“特征方程”，它的解si稱為特征根。若si為復數(shù)，則由于實際物理系統(tǒng)A(s)的系數(shù)均為實數(shù)，因此si總是以共扼復數(shù)形式成對出現(xiàn)，即：當前9頁，總共64頁。亦即則系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時，只有當其實部ai<0時，方能使得在時若si為實數(shù)，則只有當實數(shù)之值小于0，即ai<0時，方能使得在時反之，若si的實部ai>0時，則當時，將使得即當前10頁，總共64頁。綜上所述，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題可歸結(jié)為對系統(tǒng)特征方程的根的判別，即：一個系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是其特征方程的所有根都必須為負實數(shù)或具有負實部的復數(shù)。亦即穩(wěn)定系統(tǒng)的全部特征根si均在復平面的左半平面。若實部，則。將包含，即這樣的時間函數(shù)，系統(tǒng)將產(chǎn)生持續(xù)振蕩，其振蕩頻率等于bi，系統(tǒng)也不穩(wěn)定。當前11頁，總共64頁。應當指出，上述不穩(wěn)定區(qū)雖然包括虛軸，但對于虛軸上的坐標原點應具體分析。當有一個特征根在坐標原點時，常數(shù)，系統(tǒng)達到新的平衡狀態(tài)，仍屬穩(wěn)定。當有兩個及兩個以上特征根在坐標原點時，，其瞬態(tài)響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當前12頁，總共64頁。對于如圖所示閉環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：令該函數(shù)的分母等于零就得到系統(tǒng)的特征方程：故可以根據(jù)上述方程特征根的位置來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由可知，系統(tǒng)特征方程A(s)=0的特征根與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)F(s)的極點是相同的，因此由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)取其分母A(s)=0，即可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當前13頁，總共64頁。6.2勞斯－胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，本質(zhì)上就是確定特征方程根在復平面上的位置，勞斯－胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)是通過分析特征方程的根與系數(shù)的代數(shù)關系，由特征方程中的系數(shù)來判別特征根是否在s平面左平面，以及不穩(wěn)定根的個數(shù)。1.勞斯穩(wěn)定性判據(jù)(1)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件線性定常系統(tǒng)的特征方程為：式中，系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)為實數(shù)，并且。當前14頁，總共64頁。將上式右邊展開得到特征根與系數(shù)的關系如下：假設其特征根為si(i=1,2,…,n)，則若特征根的實部全為負數(shù)時，則由上式可以看出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為：特征多項式所有系數(shù)符號相同。若系數(shù)中有不同的符號或其中某個系數(shù)為零（a0=0除外），則必有帶正實部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（這只是個必要條件而非充分條件）當前15頁，總共64頁。2.1Routh行列式列寫Routh行列式,是利用Routh判據(jù)進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要工作,其步驟如下:列寫系統(tǒng)特征方程由系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)排成Routh行列表的前兩行其中,第一行為sn、sn-2、sn-4的各項系數(shù)依次排成；第二行為sn-1、sn-3、sn-5的各項系數(shù)依次排成。(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件當前16頁，總共64頁。計算Routh行列式的每一行都要用到該行前面兩行的數(shù)據(jù)。計算行列式的其余各行當前17頁，總共64頁。例如6階特征方程

其勞斯行列式為

Back當前18頁，總共64頁。如果符號為正系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。對Routh行列表中的“第一列”各數(shù)的符號進行判斷：

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，其特征方程的全部系數(shù)符號相同，并且其勞斯數(shù)列的第一列（an，an－1，c1，d1等）所有各項全部為正，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。當前19頁，總共64頁。[例]勞斯判據(jù)判定穩(wěn)定性當前20頁，總共64頁。當前21頁，總共64頁。（3）Routh判據(jù)的特殊情況Back特殊情況1：第一列出現(xiàn)0第一列出現(xiàn)0各項系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)代之。當前22頁，總共64頁。特殊情況2：某一行元素均為0解決方法：用全0行的上一行元素構成輔助方程,用對該方程求導后的方程系數(shù)替代全0行.各項系數(shù)均為正數(shù)求導得:例如：出現(xiàn)全0行還可由這些輔助方程求出相應的極點當前23頁，總共64頁。

說明:勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復根Back對稱于虛軸當前24頁，總共64頁。2.胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)胡爾維茨法也屬于代數(shù)判據(jù)，它是把特征方程和系數(shù)用相應的行列式表示，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：（1）特征方程的所有系數(shù)an,an-1,…,a0均為正；（2）由特征方程系數(shù)組成的各階胡爾維茨行列式均為正，即胡爾維茨行列式按照下面方法生成：在主對角線上寫出特征方程式的第二項的系數(shù)an-1直到最后一項的系數(shù)a0，在主對角線以下的各行中，按列填充下標號碼逐次增加的各系數(shù)；而在對角線以上各行中，按列填充下標號碼逐次減小的各系數(shù)。如果在某位置上按次序應填入的系數(shù)下標大于n或小于0，則在該位置補0。當前25頁，總共64頁。當主行列式及其主對角線上各子行列式均大于零時，特征方程式就沒有根在s平面的右半平面，即系統(tǒng)穩(wěn)定。當前26頁，總共64頁。例6.7系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：寫出胡爾維茨主行列式可得各子行列式為因為這些子式均大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定當前27頁，總共64頁。6.3奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是一種幾何判斷，它根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的特點，通過作奈奎斯特圖來研究閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，不僅能判別穩(wěn)定性還可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定程度，并從中找出改善系統(tǒng)性能的途徑。1.基本原理如圖所示閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：當前28頁，總共64頁。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程的根全部在s平面的左半平面，只要有一個根在右半平面或虛軸上，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。奈奎斯特判據(jù)是根據(jù)開環(huán)奈奎斯特圖以及開環(huán)極點位置來判斷閉環(huán)特征方程的根的位置，從而判定穩(wěn)定性。下面介紹其步驟：（1）閉環(huán)特征方程與特征函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為而其特征函數(shù)為當前29頁，總共64頁。故開環(huán)傳遞函數(shù)為而閉環(huán)特征方程可表示為（6－16）（6－18）（6－17）（6－19）其中G(s)，H(s)都是復數(shù)s的函數(shù)，可分別表示為如下多項式之比：特征函數(shù)可表達為：當前30頁，總共64頁。式（6－17）中分母、分子的階次分別為n和m，因為G(s)和H(s)均為物理可實現(xiàn)的環(huán)節(jié)，所以，故特征函數(shù)A(s)分子分母的階次均為n，比較（6－17）、（6－18）和（6－19），可得如下結(jié)論：閉環(huán)特征方程的根與特征函數(shù)的零點完全相同；特征函數(shù)的極點與開環(huán)傳遞函數(shù)的極點完全相同；特征函數(shù)的零點數(shù)與其極點數(shù)相同（等于n）。因為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)及其極點已知，根據(jù)式（6－18），可以通過對開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)和特征函數(shù)的頻率特性分析，確定特征函數(shù)的零點（即閉環(huán)特征方程根）的分布，從而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這就是奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本原理。當前31頁，總共64頁。（2）幅角原理奈奎斯特判據(jù)的數(shù)學基礎是復變函數(shù)理論中的幅角原理，由前面特征函數(shù)零、極點與開環(huán)極點的關系，利用幅角原理，可以得到特征函數(shù)零點分布與開環(huán)極點分布及開環(huán)幅角變化的關系。將(6-18)分解因式得：（6－20）（6－18）（6－21）（6－22）當前32頁，總共64頁。將(6-21)和(6-22)代入(6-20)得(6-23)當前33頁，總共64頁。(6-24)當前34頁，總共64頁。(6-25)當前35頁，總共64頁。下面以右圖為例說明如何確定N：由式6－25可知，在[A(s)]平面上，過原點任作一條直線OC，觀察A(s)形成的矢端曲線GA以不同方向通過OC直線次數(shù)的差值來定N，順時針通過為負，逆時針通過為正。(a)N=－2;(b)N=0;(c)N=－3;(d)N=0;(6-25)當前36頁，總共64頁。（3）奈奎斯特判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是判別閉環(huán)特征方程在s平面右半平面根的個數(shù)，即特征函數(shù)A(s)在右半平面的零點數(shù)。(6-26)當前37頁，總共64頁。（4）開環(huán)傳遞函數(shù)與奈奎斯特判據(jù)(6-27)我們可以通過坐標平移，由1+G(s)H(s)平面即[A(s)]平面變換到GH平面（G(s)H(s)的簡寫），即由1+G(s)H(s)=0變換為：如圖所示，在1+G(s)H(s)平面上繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，相當于在GH平面上繞（－1,j0）點逆時針旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。這樣我們就可以用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當前38頁，總共64頁。（4）開環(huán)傳遞函數(shù)與奈奎斯特判據(jù)當在s平面上的點沿虛軸及包圍右半平面之無窮大半圓Gs曲線順時針旋轉(zhuǎn)一周時，在GH平面上所畫的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的軌跡叫做奈奎斯特曲線。當前39頁，總共64頁。（4）開環(huán)傳遞函數(shù)與奈奎斯特判據(jù)綜上所述，用奈奎斯特法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，一個系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是：

z=p－N=0式中：z為閉環(huán)特征方程在s右半平面的特征根數(shù)；

p為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面（不包括原點）的極點數(shù)；

N為自變量s沿包含虛軸及整個右半平面在內(nèi)的極大的封閉曲線順時針轉(zhuǎn)一圈時，開環(huán)奈奎斯特圖繞（－1,j0）點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)；當p＝0，即開環(huán)無極點在s右半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是開環(huán)奈奎斯特圖不包圍（－1,j0）點，即N＝0。當前40頁，總共64頁。（4）開環(huán)傳遞函數(shù)與奈奎斯特判據(jù)如果特征方程式為：其中即為式4－56所示的典型表達形式，K為開環(huán)增益。將中的K分離出來則有：即可通過的奈奎斯特圖繞點轉(zhuǎn)的圈數(shù)和極點數(shù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當前41頁，總共64頁。對于G(s)H(s)在原點或虛軸上有極點的情況，應使s沿著繞過這些極點的極小半圓變化，如圖(a)所示。這個小半圓的半徑為，通常是在s平面的右半側(cè)繞過這些極點，這樣原點和虛軸上的極點就不包括在內(nèi)。以原點處的極點為例，當s沿著虛軸從向上運動到這些小半圓時，由于，故s是從開始沿此小半圓繞到，然后再沿虛軸繼續(xù)運動，如圖(b)所示。這些小半圓的面積趨近于零，因此除了原點和虛軸上的極點外，右半s平面的零點、極點仍將全部被包含在無窮大半徑的封閉曲線之內(nèi)。對應于s平面上這一無窮小半圓，在GH平面上的圖形是一個半徑趨于無窮大的半圓（因為G(s)H(s)的極點在虛軸上，其幅值是變量s的幅值之倒數(shù)），這樣GH的向量軌跡為如圖(c)所示的封閉曲線。（4）開環(huán)傳遞函數(shù)與奈奎斯特判據(jù)當前42頁，總共64頁。2.用奈奎斯特法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性例6.8判別如圖所示0型系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其對應開環(huán)傳遞函數(shù)和奈奎斯特圖分別為：當前43頁，總共64頁。因為p＝0，N＝0，所以z＝0，系統(tǒng)穩(wěn)定。當前44頁，總共64頁。因為p＝0，N＝－2，所以z＝p－N＝2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當前45頁，總共64頁。因為p＝0，N＝0，所以z＝p－N＝0，系統(tǒng)穩(wěn)定。當前46頁，總共64頁。例6.10設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和奈奎斯特圖如下，試判別其穩(wěn)定性當前47頁，總共64頁。例6.11判別II型系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：當前48頁，總共64頁。當前49頁，總共64頁。例6.12已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分析其穩(wěn)定性當前50頁，總共64頁。3實例判別電液伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性當前51頁，總共64頁。電液伺服系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可簡化為：系統(tǒng)的奈奎斯特圖：當前52頁，總共64頁。開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性：與負實軸交點的相位角應為－180°，即：解得：當前53頁，總共64頁?？傻门c負實軸交點的幅值為：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須滿足：即：即速度放大系數(shù)Kv受和的限制，不能太大。當前54頁，總共64頁。6.4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性由奈奎斯特圖與（－1,j0）點的關系，不但可判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否，而且它還表示了系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，我們用相位裕量和幅值裕量來表示系統(tǒng)穩(wěn)定性的程度。當前55頁，總共64頁。1.相位裕量g和幅值裕量Kg在開環(huán)奈奎斯特圖上，從原點到奈奎斯特圖與單位圓的交點連一直線，該直線與負實軸的夾角就是相位裕量g，可表示為：為奈奎斯特圖與單位圓交點頻率上的相位角。稱作剪切頻率或幅值穿越頻率。系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定g越小表示系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越差，一般?。寒斍?6頁，總共64頁。在開環(huán)奈奎斯特圖上，奈奎斯特圖與負實軸交點處幅值的倒數(shù)，稱幅值裕量Kg。而奈奎斯特圖與負實軸交點處的頻率稱作相位穿越頻率（或相位交界頻率），則有：在伯德圖上，幅值裕量取分貝為單位，則，則，系統(tǒng)穩(wěn)定，則，系統(tǒng)不穩(wěn)定Kg一般取8～20dB為宜。當前57頁，總共64頁。當前58頁，總共64頁。關于幅值裕量g和相位裕量Kg的說明：當，，系統(tǒng)穩(wěn)定，是對最小相位系統(tǒng)而言，對非最小相位系統(tǒng)不適用；衡量一個系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時用相位裕量和幅值裕量這兩個指標；適當?shù)剡x擇相位裕