第四章 頻率分析法

第四章頻率分析法1第一頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.1頻域特性概述一、頻率響應(yīng)與頻域率特性1、頻率響應(yīng)是指線性定常系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。例：一階RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性RCCuiu0i傳遞函數(shù)：設(shè)2第二頁，共六十九頁，2022年，8月28日1)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率與輸入頻率相同；2）幅值與相位均與ω有關(guān)，與系統(tǒng)參數(shù)T也有關(guān)。相位幅值3第三頁，共六十九頁，2022年，8月28日2、頻率特性線性系統(tǒng)在正弦輸入下，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性。用A(ω)表示。穩(wěn)態(tài)輸出信號與輸入信號的相位差稱為相頻特性。用ψ（ω）表示。幅頻特性和相頻特性總稱為系統(tǒng)的頻率特性。記作4第四頁，共六十九頁，2022年，8月28日二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)過程如下：為討論方便，不考慮重極點。5第五頁，共六十九頁，2022年，8月28日當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時6第六頁，共六十九頁，2022年，8月28日幾點說明：1）頻率特性適合線性系統(tǒng)和元件2）幅頻特性和相頻特性是頻率的函數(shù)，隨輸入頻率變化而變化，與輸入幅值和相角無關(guān)。3）微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性間具有內(nèi)在聯(lián)系，可相互轉(zhuǎn)化。（見圖示）——頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系7第七頁，共六十九頁，2022年，8月28日各種模型之間的關(guān)系：頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)8第八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，求系統(tǒng)的頻率特性和頻率響應(yīng)，輸入為。4）頻率特性可用實驗方法求取。9第九頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.2頻率特性的圖示方法一、頻率特性極坐標(biāo)圖（又稱Nyquist圖）當(dāng)頻率從∞變到+∞時，向量G(j)的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。相角的符號規(guī)定：從正實軸開始，順時針為負(fù)，逆時針為正。據(jù)G(j)的定義，用實頻特性和虛頻特性表示矢量式表示式10第十頁，共六十九頁，2022年，8月28日當(dāng)頻率從∞→0及從0→+∞時，G(j)正負(fù)頻率的曲線是關(guān)于實軸對稱的。11第十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日1、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：奈氏圖特點：實軸上的一個點（k,j0)。12第十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日（2）積分環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：奈氏圖特點：為負(fù)虛軸，具有恒定的相位滯后。13第十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日（3）微分環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：奈氏圖特點：為正虛軸，具有恒定的相位超前。14第十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日（4）慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：15第十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日奈氏圖特點：半徑為1/2，圓心為（1/2,j0)的半圓，幅值隨ω增大而減小，具有低通濾波特性。存在相位滯后，最大相位滯后90°.K=116第十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日（5）一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：奈氏圖特點：一條平行虛軸的線。17第十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日（6）振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：18第十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日設(shè)ω=ωr時，A(ω)達(dá)到最大值諧振峰值Mr(極大值)諧振頻率19第十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日(7)延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：奈氏圖特點：在單位圓上作無限循環(huán)。20第二十頁，共六十九頁，2022年，8月28日2、Nyquist圖的草圖繪制（1）由G(jω)求其實部、虛部、A(ω),ψ(ω)表達(dá)式。（2）計算若干特征點起點（ω=0）、終點（ω=∞）與實軸交點、與虛軸交點（3）給出曲線走向，當(dāng)ω↑時，曲線是順時針還是逆時針。（4）畫出草圖。21第二十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日例1：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試?yán)L制其Nyquist圖。解：22第二十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試?yán)L制其Nyquist圖。解：23第二十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例3：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試?yán)L制其Nyquist圖。解：24第二十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日Nyquist草圖繪制小結(jié)1、保持準(zhǔn)確曲線的重要特征：如起點、終點、與實軸、虛軸的交點2、在重要點附近有足夠的準(zhǔn)確性。25第二十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日1、起點2、終點26第二十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日3、與實軸、虛軸的交點4、中頻部分曲線的形狀和頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)包含有微分環(huán)節(jié)時，幅相曲線會出現(xiàn)凹凸，幅值和相位不再是單調(diào)變化27第二十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日試畫下列傳遞函數(shù)的奈氏草圖（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）28第二十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日29第二十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日局部放大圖如下30第三十頁，共六十九頁，2022年，8月28日31第三十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日二、頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖（又稱Bode圖）由對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖組成；橫坐標(biāo)按ω的對數(shù)lgω線性分度，標(biāo)以ω（rad/s),橫軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程，用符號“dec”表示。32第三十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日對數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)，單位為分貝，記為dB，按線性分度。對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)，單位為度，線性分度。33第三十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日采用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點（1）可以展寬頻帶（2）對數(shù)特性將乘除變成加減運(yùn)算，簡化計算與作圖過程（3）典型環(huán)節(jié)可用分段直線（或漸近線）近似表示（4）可用實驗方法確定系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式。34第三十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日1、典型環(huán)節(jié)的Bode圖（1）比例環(huán)節(jié)K=1035第三十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日（2）積分環(huán)節(jié)的Bode圖ω=1時，L(ω)=0斜率思考：畫出G(s)=k/s的Bode圖。36第三十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日（3）微分環(huán)節(jié)37第三十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日（4）慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性最大誤差3dB38第三十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日（5）一階微分環(huán)節(jié)39第三十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日（6）振蕩環(huán)節(jié)化成時間常數(shù)形式40第四十頁，共六十九頁，2022年，8月28日①②③振蕩環(huán)節(jié)Bode圖漸進(jìn)線41第四十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日（7）二階微分環(huán)節(jié)42第四十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日（8）延遲環(huán)節(jié)43第四十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日ω-180ωL(ω）11/T20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec20dB/dec40dB/dec-20dB/dec二階微分一階微分慣性振蕩微分積分ψ(ω)1809045-45-90微分積分二階微分一階微分慣性振蕩典型環(huán)節(jié)Bode圖小結(jié)44第四十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日2、Bode圖的繪制R(s)C(s)-將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型時間常數(shù)的實系數(shù)形式：45第四十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日對數(shù)幅頻特性可按以下步驟一次完成：（1）確定K值，v值及各個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，將轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注到頻率軸上；（2）繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線

低頻段的斜率-20dB/dec46第四十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日（3）以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻段開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率。當(dāng)遇到慣性環(huán)節(jié)時，斜率變化量為-20dB/dec當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)時，斜率變化量為+20dB/dec當(dāng)遇到振蕩環(huán)節(jié)時，斜率變化量為-40dB/dec當(dāng)遇到二階微分環(huán)節(jié)時，斜率變化量為+40dB/dec（4）分段直線的最后一段，斜率為-20（n-m)dB/dec（5）在轉(zhuǎn)折頻率附近進(jìn)行修正，可以得到較準(zhǔn)確的曲線。47第四十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日對數(shù)相頻特性曲線的繪制（1）利用典型環(huán)節(jié)的各相頻特性相加（2）直接利用相頻特性表達(dá)式計算48第四十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例：作傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)的Bode圖。解（1）將G(s)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（2）K=3ν=0慣性環(huán)節(jié)：T1=2.5，ωT1=0.4

T2=0.025，ωT2=40一階微分：T3=0.5，ωT3=249第四十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日無積分環(huán)節(jié)20lgK=20lg3=9.5dB慣性環(huán)節(jié)一階微分慣性環(huán)節(jié)50第五十頁，共六十九頁，2022年，8月28日例已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為作對數(shù)開環(huán)頻率特性。低頻段特性為斜率為20dB/dec，過(1.58，0dB)的斜線轉(zhuǎn)折頻率：0.1，1，0.02，2解：51第五十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日圖中的各段斜率分別簡略標(biāo)注為0----0dB/dec,1----20dB/dec,2----40dB/dec,52第五十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.3閉環(huán)頻域性能指標(biāo)大多數(shù)自控系統(tǒng)，具有圖示的低通濾波特性。1、零頻幅值M0=M(0)

M(0)的數(shù)值與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。2、諧振峰值MrMr與超調(diào)量有關(guān)。反映了系統(tǒng)的相對平穩(wěn)性。M(ω)53第五十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日3、諧振頻率ωr4、截止頻率ωb和帶寬（0～ωb）反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢與抗干擾能力。ωb↑→抗干擾能力↓，快速性↑54第五十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域指標(biāo)的計算—Xi(s)Xo(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：時，產(chǎn)生諧振

所有指標(biāo)均為ξ和ωn的函數(shù)。55第五十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日給出閉環(huán)頻域指標(biāo)和中的任何兩個，可以通過解出計算時間域指標(biāo)；同樣，給出時間域指標(biāo)中的任何兩個，可以確定閉環(huán)頻域指標(biāo)。時域指標(biāo)與二階系統(tǒng)參數(shù)有下面的關(guān)系：56第五十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日Bode圖的“三頻段”1、低頻段在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段，它決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。根據(jù)低頻段確定0型、I型、II型系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)。L(ω)-20db/decω120lgK-20db/dec-40db/decωL(ω)120lgk-40db/dec-60db/dec20lgkL(ω)ω157第五十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日2、中頻段開環(huán)對數(shù)幅頻曲線在截止頻率ωc(0dB附近）的區(qū)段，其斜率和寬度，反映了閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性及輸出響應(yīng)的瞬態(tài)性能。（1）中頻段斜率為-20dB/dec,且占據(jù)一定寬度，則系統(tǒng)穩(wěn)定，平穩(wěn)性好。（2）當(dāng)L(ω)在ωc處斜率為-40dB/dec，系統(tǒng)可能穩(wěn)定也可能不穩(wěn)定，若穩(wěn)定，其相位裕量也較小。（3）當(dāng)L（ω）在ωc斜率為-60dB/dec，系統(tǒng)不穩(wěn)定。58第五十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日3、高頻段中頻段后（ω＞10ωc）的區(qū)域。反映了時域響應(yīng)的起始階段特性。高頻段一般分貝值較低，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)影響不大。高頻段特性反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。要求高頻段幅值迅速衰減，以減少噪聲干擾。59第五十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.4最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)一、定義在右半S平面上沒有極點或零點的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)。反之，稱為非最小相位系統(tǒng)和非最小相位傳遞函數(shù)。60第六十頁，共六十九頁，2022年，8月28日二、最小相位系統(tǒng)的特性1）若系統(tǒng)穩(wěn)定，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，對于任意給定的頻率，最小相位系統(tǒng)的相位滯后最小。例已知兩個系統(tǒng)61第六十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日62第六十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日二、最小相位系統(tǒng)的特性2）最小相位系統(tǒng)相頻特性與對數(shù)幅頻特性之間存在確定的關(guān)系，因此，在利用對數(shù)頻率特性對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合時，常常只需畫出和利用對數(shù)幅頻特性曲線。繪制非最小相位系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性是必須分別繪出對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。3）最小相位系統(tǒng)當(dāng)ω→∞時，對數(shù)頻率特性的高頻漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec，相角為-90(n-m)°,可用于判斷最小相位系統(tǒng)。63第六十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日利用對數(shù)幅頻特性曲線確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：64第六十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日練習(xí)寫出下面最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec1210L(w)w