第四章導數(shù)的應用

第四章導數(shù)的應用第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日一、函數(shù)單調(diào)性的判別法定理定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日例1解第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2討論函數(shù)的單調(diào)性。注：導數(shù)為零的點和不可導的點都有可能成為函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點。第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日注:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．例如,

注：若f

(x)在某區(qū)間內(nèi)的孤立點處為零（或不存在），而在其余各點均為正（或均為負），則f(x)在該區(qū)間內(nèi)仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日例

證明當x>0時，因為僅在孤立點x=2n（n為正整數(shù)）處令

證:

f

(x)=0，故f(x)在[0,+)上單調(diào)增加。從而當x>0時，f(x)>f(0)=0，即xsinx>0，于是x>sinx.第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例證第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日證明：例第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日解:設則第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、函數(shù)極值的定義第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、函數(shù)極值的求法定理2(必要條件)定義注意:例如,第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日例解注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日定理3(第一充分條件)(是極值點情形)第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日求極值的步驟:(不是極值點情形)第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例解列表討論極大值極小值第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日圖形如下第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日定理4(第二充分條件)證同理可證(2).第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日例解圖形如下第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日注意:第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日解:因為

根據(jù)局部保號性定理知,存在0點的某個去心鄰域,在此鄰域內(nèi)有,所以有第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日四、最值的求法第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日最大值、最小值問題的步驟：（2）計算區(qū)間端點處的函數(shù)值；

求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值與最小值：（1）計算函數(shù)駐點與不可導點處的函數(shù)值；（3）對以上兩類函數(shù)值進行比較即得。第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例1解計算第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日比較得第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.如果函數(shù)f(x)區(qū)間X上連續(xù),若f(x)在X上只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日注1：一般地說，若函數(shù)f(x)的最大(小)值是在區(qū)間(a,b)內(nèi)取得，則該最大（小）值必為極大（?。┲担?/p>

注2：在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)，就可斷定可導函數(shù)f(x)在其區(qū)間內(nèi)部確有最大值（或最小值），此時，如果確定f(x)在這個區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點x0（或?qū)?shù)不存在的點），那么，這個點就是函數(shù)的最值點第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日點擊圖片任意處播放\暫停例4敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日解(1)建立敵我相距函數(shù)關系敵我相距函數(shù)得唯一駐點第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日例5某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日點擊圖片任意處播放\暫停例6第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日解如圖,第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日解得第四十頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日小結(jié)