第十部分 液體運動的三元分析

第十部分液體運動的三元分析第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日本章重點理解液體微團運動的4種基本形式：平移、旋轉(zhuǎn)——剛體運動——理論力學(xué)伸縮、剪切——變形運動——變形體力學(xué)

掌握液體流動的連續(xù)方程、運動方程及其推導(dǎo)思路掌握勢流的概念，掌握流速勢函數(shù)、流函數(shù)的性質(zhì)第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日本章對后續(xù)內(nèi)容的意義本章所介紹的概念＆方程——滲流、波浪、明渠非恒定流等實用水力學(xué)之基礎(chǔ)連續(xù)方程、運動方程的推導(dǎo)思路＆方法——有助于培養(yǎng)創(chuàng)新能力理論聯(lián)系實際能力——從解決工程問題的角度去尋求方法和理論第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日本章學(xué)習(xí)方法上課聽講，思考課后看書，思考參考文獻＆教材第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日第10章液體運動的三元分析10.1基本概念回顧10.2液體運動的基本形式10.3基本方程——連續(xù)方程，運動方程10.4液體流動的一個特例——勢流第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日流動是液體的運動狀態(tài)之一。液體的流動除了存在運動學(xué)方面的問題外，還有動力學(xué)方面的向題。運動學(xué)：給出位移、速度、加速度等運動要素之間的關(guān)系。動力學(xué)：給出作用在液體上的各種力與運動要素的關(guān)系。

10.1關(guān)于液體流動的基本概念回顧第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日液體的一元、二元、三元運動：運動要素與幾個位置坐標有關(guān)？恒定流與非恒定流：運動要素是否與時間有關(guān)？均勻流與非均勻流（漸變流、急變流）：流線是否相互平行？理想液體與實際液體：是否考慮液體黏性？壓縮與不可壓縮：密度是否為常數(shù)（不隨時間和空間變化）？第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日液體的一元、二元、三元運動，例子：（1）一元流——管道、渠道中水的流動；廣闊地層中地下河槽、集水井的滲流。特點是：斷面平均流速v或流量Q僅和一個空間位置坐標（流程s）有關(guān)。（2）二元流——土石壩壩身及地基的滲流（斷面）；二維規(guī)則波浪運動（剖面）；寬矩形斷面渠道中的流動（點流速u和流程s與豎向位置坐標z有關(guān)）第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日可簡化成一元流動和二元流動的例子一元流：地下河槽中的滲流二元流：長大型港工或水工建筑物基礎(chǔ)下某一斷面的滲流第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日波浪的二維規(guī)則波動——對于微幅波，波的剖面形狀類似余弦（或正弦）曲線二元流：二維規(guī)則波浪運動，波的剖面第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日三元流——是最一般的流動。流速u是三個坐標s,y,z的函數(shù)實際問題中，三元流能簡化成二元流、一元流的則盡量簡化。以滿足要求和工程精度為準。第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日通過基礎(chǔ)水力學(xué)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了一些基本理論：最重要的就是理解描述液體運動的兩種方法；控制體的概念——對應(yīng)Euler方法質(zhì)點系的概念——對應(yīng)Lagrange方法描述和求解運動要素的連續(xù)方程、運動方程，分別依據(jù)質(zhì)量守恒、動量守恒定律推導(dǎo)而出。目的：最終要得到流場中的流速、壓強、密度分布；通過過流斷面的流量等。為確定水流流態(tài)，確定過流能力，設(shè)計建筑物的尺寸和給出所受荷載，以及利用水能＆消能服務(wù)。第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日第10章液體運動的三元分析10.1基本概念回顧10.2液體運動的基本形式10.3基本方程——連續(xù)方程，運動方程10.4液體流動的一個特例——勢流第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日10.2液體微團運動的基本形式Lagrange方法，追蹤液體微團的運動液體微團：是由液體質(zhì)點組成的（有限尺寸），具有平移、旋轉(zhuǎn)剛體運動和伸縮、剪切等變形運動的微小液體團。其邊界隨著液體一起運動，邊界面的形狀和大小可以隨時間變化。如何采用力學(xué)手段進行描述？變形體力學(xué)+剛體力學(xué)第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日10.2.1液體微團運動的剛體運動平移運動：例如，液體微團的“隨大流”，滔滔江水，勢不可擋旋轉(zhuǎn)運動：液體微團的旋轉(zhuǎn)角速度——液體微團上相互垂直的兩條直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值。以直線的逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為正旋轉(zhuǎn)角速度ωz表示液體微團的旋轉(zhuǎn)軸與z軸平行第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日10.2.2液體微團運動的變形運動伸縮運動：線變形運動。單位時間、單位長度線段的伸縮變形速度稱為線變形速度。第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日液體微團運動的變形運動（續(xù)）剪切變形運動：角變形運動。平面上相互垂直的線段間的夾角在流動中會擴張或收縮。這個擴張或收縮速度的一半定義為液體微團的剪切變形速度。第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日例子液體微團的平移運動液體微團的旋轉(zhuǎn)運動-有渦流（繞自身軸的旋轉(zhuǎn)）第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日例子液體微團的伸縮運動液體微團的剪切變形運動，無旋轉(zhuǎn)運動第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日第10章液體運動的三元分析10.1基本概念回顧10.2液體運動的基本形式10.3基本方程——連續(xù)方程，運動方程

10.4液體流動的一個特例——勢流第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用控制體的概念，已推導(dǎo)出液體三元流動的連續(xù)方程（式（））：隨時間和空間的變化教材10.3節(jié)再次應(yīng)用控制體的概念，重新推導(dǎo)了液體三元流動的連續(xù)方程（式（））：基本思路是：單位時間內(nèi)，控制體內(nèi)的質(zhì)量隨時間的變化與流出與流入控制體的液體質(zhì)量之和等于零。因為液體是連續(xù)的，充滿整個流動空間。10.3.1基本方程——連續(xù)方程第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日實際上，推導(dǎo)大可不必這么繁瑣！只需應(yīng)用高斯公式，即可由式（）直接推導(dǎo)出式（）：

cos,cosβ,cosγ為曲面S法向正方向的方向余弦

第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日對于不可壓縮液體，密度為常數(shù)（不隨時空而變），從而上式就是對于實際液體和理想液體都適用的連續(xù)方程！

第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日連續(xù)方程只反映了液體運動的運動學(xué)條件，即液體質(zhì)點速度之間的關(guān)系，沒有說明液體運動的動力學(xué)條件，即液體所受外力與速度之間的關(guān)系。這個關(guān)系要通過描述運動方程來反映（是動量守恒的體現(xiàn)）。對于實際液體（此處只指牛頓液體），液體質(zhì)點間除法向存在假想的平均動水壓強p以外，還存在著由于液體粘性所引起的附加正應(yīng)力σ′和附加剪應(yīng)力τ。

10.3.2基本方程——運動方程第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日附加正應(yīng)力總正應(yīng)力附加切應(yīng)力第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日針對微元控制體，應(yīng)用動量守恒定律，可得不可壓縮、實際液體的運動微分方程（過程見教材）：式中v為運動黏度，與動力黏度的關(guān)系v=μ/ρ，見表。

第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日對于理想液體，則令v

=0，可得不可壓縮、理想液體的運動微分方程，稱為Euler運動微分方程：理想液體式中未知數(shù)為壓強p，液體質(zhì)點的運動速度ux,uy,uz

。上式共3個方程，加上1個連續(xù)方程，共4個。4個未知數(shù)，4個方程，加上給定的初始、邊界條件，理論上可求解。

第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日需要指出的是：（1）連續(xù)方程在滲流、波浪、明渠非恒定流等具體工程應(yīng)用中的形式基本不變。它反映了流場中的流動連續(xù)，質(zhì)量守恒。（2）運動方程在滲流、波浪、明渠非恒定流等具體工程應(yīng)用中具有不同的變化和利用形式。學(xué)習(xí)時應(yīng)注意前后對照。第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日例如，若在Euler運動微分方程中引入旋轉(zhuǎn)角速度，可導(dǎo)出葛羅米柯運動微分方程：式中

第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日第10章液體運動的三元分析10.1基本概念回顧10.2液體運動的基本形式10.3基本方程——連續(xù)方程，運動方程

10.4液體流動的一個特例——勢流第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日10.4液體流動的一個特例：勢流無渦流——若液體流動時每個液體微團不存在繞自身軸的旋轉(zhuǎn)運動，則稱此流動為無渦流，也稱為無旋流，勢流。有渦流——若液體流動時每個微團都存在著自身軸的旋轉(zhuǎn)運動，則稱此流動為有渦流。

下面只講無渦流，即勢流。第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日勢流上之右式的成立，是為某一函數(shù)的全微分的充分必要條件，其中t為參變量。

旋轉(zhuǎn)角速度ωx表示液體微團的旋轉(zhuǎn)軸與x軸平行。第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日由于無渦流中存在著流速勢函數(shù)

φ(x,y,z,t)，因此也稱無渦流為勢流。第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日（1）對于不可壓縮液體的勢流，連續(xù)方程——小結(jié)勢流需要滿足的連續(xù)方程＆運動方程：第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日（2）對于理想液體的無渦流動，假設(shè)質(zhì)量力有勢，液體不可壓縮，則由葛羅米柯運動微分方程可導(dǎo)出如下運動方程——第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日進一步，若質(zhì)量力只有重力（X=Y=0，Z=-g），則由上之微分方程進行積分，可導(dǎo)出如下的拉格朗日能量方程（運動方程的積分形式）：此式表明，在理想、不可壓縮、重力作用下液體的勢流中，在任一指定時刻t，流場中任何位置處的均相等，且等于常數(shù)C(t)。該常數(shù)由邊界條件定出。此方程在波浪理論中有應(yīng)用。第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日對平面勢流存在

運動要素僅和兩個坐標有關(guān)的流動稱為平面流動。無渦的平面流動稱為平面勢流。勢流理論在滲流、波浪等工程問題中有很大的用處。10.4.1.連續(xù)方程、運動方程勢流的特殊情況——恒定平面勢流第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日對不可壓縮液體，恒定平面勢流的——運動方程：連續(xù)方程：第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日10.4.2流速勢及等勢線把值相等的點連接起來的曲線就稱為等勢線。函數(shù)的全微分為所以有等勢線的方程為第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日流速勢函數(shù)的性質(zhì)：流速勢函數(shù)在某一方向m上的偏導(dǎo)數(shù)，就等于流速u在該方向上的投影。等勢面或等勢線與流線正交，等勢面就是過水斷面。流速勢函數(shù)沿流線s方向增大。流速勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，滿足Laplace方程。第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日的方程就是Laplace方程，故流速勢是一個調(diào)和(Harmonic)函數(shù)。Laplace方程的解法在水力學(xué)及流體力學(xué)中最常用的有流網(wǎng)法、勢流疊加法、數(shù)值解法等。形如第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日在XY平面的平面流，其流線方程式為若上式左邊是某一函數(shù)的全微分，則上式就可積分。10.4.3流函數(shù)及其性質(zhì)：求解平面流就是要求解水流的流動場和流動圖形，流線反映了平面流的流動圖形?；?qū)懽鞔撕瘮?shù)叫做平面流的流函數(shù)。第四十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日比較上兩式可知，流函數(shù)存在的充分必要條件在某一確定時刻，函數(shù)的全微分可寫作

流函數(shù)存在的充分必要條件就是不可壓縮液體的連續(xù)方程，所以不可壓縮液體作平面的連續(xù)運動時就有流函數(shù)存在。第四十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日流函數(shù)的性質(zhì)：同一流線上各點的流函數(shù)為常數(shù)，或流函數(shù)相等的點連成的曲線就是流線。兩流線間所通過的單寬流量等于該兩流線的流函數(shù)值之差。第四十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日當平面流為勢流時，則所以有所以平面勢流的流函數(shù)與流速勢一樣是一個調(diào)和函數(shù)。平面勢流的流函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)第四十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日10.4.4流函數(shù)與流速勢的關(guān)系平面勢流中任何一點都有一個流函數(shù)和流速勢函數(shù)。等流函數(shù)線與等流速勢線相正交，即流線與等勢線相正交。與該點上等勢線的斜率流線上任意