第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.1控制系統(tǒng)微分方程的建立單變量線性定常系統(tǒng)輸出在左，輸入在右，降階排列。列寫步驟：1）確定輸出與輸入量。2）列寫原始方程組，方程個數(shù)比中間變量多1。3）消去中間變量。4）標(biāo)準(zhǔn)化整理。第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日簡單的電氣系統(tǒng)與機(jī)械系統(tǒng)舉例。1.電氣系統(tǒng)常用關(guān)系式例2-1-1列寫微分方程式。解設(shè)回路電流為中間變量。第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-1-2列寫微分方程式。解運(yùn)算放大器的正、反相輸入端電位相同，輸入電流為零。第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.機(jī)械系統(tǒng)遵循力學(xué)定律。例2-1-3列寫系統(tǒng)的運(yùn)動方程式。解第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-1-4列寫系統(tǒng)的運(yùn)動方程式。解例2-1-5列寫系統(tǒng)的運(yùn)動方程。解第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日拉普拉斯（Laplace）變換變換初步復(fù)變函數(shù) 以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)。積分變換傅里葉變換（傅氏變換）：時域?qū)嶎l域拉普拉斯變換（拉氏變換）：時域復(fù)頻域Z變換：離散序列小波變換等第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換定義對于一階電路、二階電路，根據(jù)基爾霍夫定律和元件的VCR列出微分方程，根據(jù)換路后動態(tài)元件的初值求解微分方程。對于含有多個動態(tài)元件的復(fù)雜電路，用經(jīng)典的微分方程法來求解比較困難（各階導(dǎo)數(shù)在t=0+時刻的值難以確定）。拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來求解。時域微分方程頻域代數(shù)方程拉氏變換拉氏逆變換求解時域解優(yōu)點(diǎn)：不需要確定積分常數(shù)，適用于高階復(fù)雜的動態(tài)電路。第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換定義：一個定義在[0，∞）區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉氏變換定義為：式中：s=+j(復(fù)數(shù))

f(t)稱為原函數(shù)，是t的函數(shù)。

F(s)稱為象函數(shù)，是s的函數(shù)。積分下限從0-

開始，可以計及t=0時f(t)所包含的沖激。第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日拉氏反變換：如果F(s)已知，由F(s)到f(t)的變換稱為拉氏反變換，它定義為：第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線性微分積分時移頻移第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換的基本性質(zhì)（2）尺度變換終值定理卷積定理初值定理第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日常用信號的拉氏變換（1）第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日常用信號的拉氏變換（2）第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對F(S)進(jìn)行部分分式展開象函數(shù)的一般形式：第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.2傳遞函數(shù)

2.2.1傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)把輸出和輸入的關(guān)系表示得簡單明了。第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)的定義：初始條件為零時，輸出信號的拉氏變換式與輸入信號的拉氏變換式之比。例2-2-1求例2-1-1的傳遞函數(shù)。解第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-2-2求例2-1-2的傳遞函數(shù)。解例2-2-3求例2-1-3的傳遞函數(shù)。解第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.2.2關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明1.傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，與輸入信號的具體形式和大小無關(guān)。談到傳遞函數(shù)，必須指明輸入量和輸出量。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入、單輸出的情況。2.傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。3.對于實(shí)際的元件和系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。傳遞函數(shù)的有理分式形式：第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表達(dá)式：傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式4.對于實(shí)際的物理元件和系統(tǒng)而言，分子多項(xiàng)式的階次總是小于分母多項(xiàng)式的階次。這是客觀物理世界的基本屬性。5.傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的復(fù)域描述，以復(fù)變量s為自變量。微分方程是系統(tǒng)的時域描述，以時間為自變量。6.令系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母等于零所得方程稱為特征方程，特征方程的根稱為特征根。特征根就是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.2.3基本環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)從動態(tài)方程、傳遞函數(shù)和運(yùn)動特性的角度看，不宜再分的最小環(huán)節(jié)稱為基本環(huán)節(jié)。1.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）2.慣性環(huán)節(jié)3.積分環(huán)節(jié)第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.振蕩環(huán)節(jié)5.純微分環(huán)節(jié)6.一階微分環(huán)節(jié)第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.二階微分環(huán)節(jié)8.延遲環(huán)節(jié)第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.2.4電氣網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算阻抗與傳遞函數(shù)遵循電路定律。例2-2-4

解第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-2-5求傳遞函數(shù)解第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-2-6包含一個積分環(huán)節(jié)故稱積分電路。例2-2-7第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-2-8解帶有慣性的微分環(huán)節(jié)。第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.3控制系統(tǒng)的框圖和傳遞函數(shù)

2.3.1框圖的概念和繪制

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖簡稱框圖，它能夠非常清楚地表示出輸入信號在系統(tǒng)各元件之間的傳遞過程，又可以方便地求出復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的框圖包括函數(shù)方框、信號流線、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)等圖形符號。第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日繪制系統(tǒng)框圖，首先列寫系統(tǒng)方程組。可按下述順序進(jìn)行：1）從輸出量開始寫第一個方程，輸出量放在方程左邊，其余放在右邊；2）后續(xù)方程左邊只有一個量，它是前述方程的中間變量；3）列寫方程式時盡量用已出現(xiàn)過的量；4）中間變量至少要在一個方程的左邊出現(xiàn)一次；5）輸入量至少要在一個方程的右邊出現(xiàn)一次。第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2-3-1繪制下面電路圖的框圖解從輸出量開始列寫系統(tǒng)方程式第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.3.2框圖的變換規(guī)則對框圖進(jìn)行變換所要遵循的基本原則是等效原則，即對框圖的任一部分進(jìn)行變換時，變換前后該部分的輸入量、輸出量及其相互之間的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。推導(dǎo)框圖變換原則1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化3個環(huán)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.并聯(lián)環(huán)節(jié)三個環(huán)節(jié)并聯(lián)n個環(huán)節(jié)并聯(lián)，總的傳遞函數(shù)是n個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.反饋回路的簡化上式中的+號用于負(fù)反饋系統(tǒng)，-號用于正反饋系統(tǒng)。為閉環(huán)傳遞函數(shù)，為該環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)。第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.相加點(diǎn)和分支點(diǎn)（1）相加點(diǎn)前移（2）相加點(diǎn)之間的移動（3）分支點(diǎn)后移（4）相鄰分支點(diǎn)之間的移動第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.3.3閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)典型控制系統(tǒng)框圖前向通路的傳遞函數(shù)為1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)2）輸出對參考輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日3）輸出對于擾動輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)4）系統(tǒng)總輸出第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日5）偏差信號對參考輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)6）偏差信號對擾動輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)7）系統(tǒng)總偏差第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.3.4框圖的化簡將框圖變換成串聯(lián)、并聯(lián)環(huán)節(jié)和反饋回路，再用等效環(huán)節(jié)代替?；喛驁D的關(guān)鍵是解除交叉結(jié)構(gòu)，辦法是移動分支點(diǎn)和相加點(diǎn)。例2-3-2求閉環(huán)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。解第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日誤差傳遞函數(shù)第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.3.5梅森增益公式梅森增益公式的一般形式式中就是系統(tǒng)的輸出信號和輸入信號之間的傳遞函數(shù)，Δ稱為特征式，式中，——所有各回路的回路傳遞函數(shù)之和；——兩兩互不接觸的回路，其回路傳遞函數(shù)乘積之和；——所有的三個互不接觸的回路，其回路傳遞函數(shù)乘積之和；

n——系統(tǒng)前向通路個數(shù)；——從輸入端到輸出端的第k條前向通路上各傳遞函數(shù)之積——在中，將與第k條前向通路相接觸的回路所在項(xiàng)除去后所余下