第十一篇 第講 離散型隨機(jī)變量的分布列

第十一篇第講離散型隨機(jī)變量的分布列第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日考點(diǎn)梳理(1)隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)_____來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定_____一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．1．離散型隨機(jī)變量的分布列變量次序第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日(3)分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取得值為x1，x2，…，xi，…xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率為P(X＝xi)＝___，則稱表為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱X的分布列．(4)分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥__，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnpi10第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日如果隨機(jī)變量X的分布列為其中0<p<1，q＝1－p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的_________．在含有M件次品數(shù)的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為：P(X＝k)＝_________(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，則稱分布列2．兩點(diǎn)分布X10Ppq兩點(diǎn)分布3．超幾何分布列第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日為超幾何分布列．

一類表格離散型隨機(jī)變量的分布列實(shí)質(zhì)是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的一種表格．第一行數(shù)據(jù)是隨機(jī)變量的取值；第二行數(shù)據(jù)是第一行數(shù)據(jù)代表事件的概率．利用離散型隨機(jī)變量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．【助學(xué)·微博】第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日兩條性質(zhì)(1)第二行數(shù)據(jù)中的數(shù)都在(0,1)內(nèi)；(2)第二行所有數(shù)的和等于1.三種方法(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量分布列；(3)由互斥事件、獨(dú)立事件的概率求出離散型隨機(jī)變量分布列．第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率解析

A中取到的產(chǎn)品件數(shù)是一個(gè)常量而不是一個(gè)變量；B、D中的概率也是一個(gè)定值；而C中取到的次品數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量．答案

C考點(diǎn)自測(cè)1．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量

的是 (

)．第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去

描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于 (

)．

解析設(shè)X的分布列為X01Pp2p答案

D第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日3．(2013·銀川模擬)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X＝4)的值為 (

)．

答案

A第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日A．25 B．10 C．7 D．6解析

X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案

C4．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為 (

)．第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日5．(人教A版教材習(xí)題改編)一實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,3,4的5只白鼠，若從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為Y，則隨機(jī)變量Y的分布列是________．

解析

Y的所有可能值為1,2,3,4第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日答案第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日【例1】?(2012·廣東改編)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．考向一由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求離散型隨機(jī)變量的分布列第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日(1)求圖中x的值；(2)從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．[審題視點(diǎn)](1)抓住總面積和為1即可算得x的值．(2)ξ的可能取值為0,1,2，算出其概率，即可列出ξ的分布列，從而求出ξ的期望．解

(1)由頻率分布直方圖知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由頻率分布直方圖知成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.018＋0.006)×10×50＝12，成績?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為0.006×10×50＝3.因此ξ可能取0,1,2三個(gè)值．第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量所有的可能取值，以及取這些值時(shí)的意義；②盡量尋求計(jì)算概率時(shí)的普遍規(guī)律；③檢查計(jì)算結(jié)果是否滿足分布列的第二條性質(zhì)．第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日【訓(xùn)練1】(2011·北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組

各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)

甲組乙組分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)(1)求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列；(2)每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學(xué)獲得錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解

(1)分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)的方法種數(shù)是4×4＝16，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的取值分別為17,18,19,20,21，第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日設(shè)這名同學(xué)獲得錢數(shù)為X元，則X＝10Y，則E(X)＝10E(Y)＝190.

第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．[審題視點(diǎn)]本題是一道有關(guān)古典概型的題目，對(duì)變量的取值要做到不重不漏，計(jì)算要準(zhǔn)確．考向二用古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列【例2】?(2012·浙江)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和．第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

求隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是概率的計(jì)算，概率計(jì)算的關(guān)鍵是理清事件之間的關(guān)系，把實(shí)際問題中隨機(jī)變量的各個(gè)值歸結(jié)為事件之間的關(guān)系，求出事件的概率也就求出了這個(gè)隨機(jī)變量的分布列．第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日【訓(xùn)練2】(2012·安徽)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機(jī)調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補(bǔ)一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束，試題庫中現(xiàn)共有n＋m道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型試題的數(shù)量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)設(shè)m＝n，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．考向三由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求隨機(jī)變量的分布列第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日[審題視點(diǎn)](1)依據(jù)題意及相互對(duì)立事件間的概率關(guān)系列出相關(guān)方程，通過解方程得出結(jié)論；(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的相關(guān)概率公式列出相應(yīng)的分布列，進(jìn)而求出期望值．第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

解決隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，首先應(yīng)先根據(jù)隨機(jī)變量的實(shí)際意義，利用試驗(yàn)結(jié)果，找出隨機(jī)變量的取值，再正確求出隨機(jī)變量的各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，同時(shí)要做到計(jì)算準(zhǔn)確無誤．第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日(1)求兩種樹各成活一株的概率；(2)設(shè)ξ表示成活的株數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解

(1)記“香樟成活一株”為事件A，“桂花成活一株”為事件B.則事件“兩種樹各成活一株”即為事件A·B.第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日【命題研究】通過對(duì)近三年高考試題分析可以看出，本部分在高考中主要考查獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算，以及概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，題型以解答題為主．預(yù)測(cè)2014年高考仍會(huì)堅(jiān)持以實(shí)際問題為背景，結(jié)合常見的概率事件，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差的求法，一般屬中等難度題目．規(guī)范解答16——求解離散型隨機(jī)變量分布列的答題技巧第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．【真題探究】?(本小題滿分13分)(2012·天津)現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲．第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日[教你審題](1)本題是一個(gè)古典概型，根據(jù)上述規(guī)則可分別求出每個(gè)人參加甲游戲和乙游戲的概率，然后再利用二項(xiàng)分布的概率公式求解．(2)4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)含“3人參加甲游戲”和“4人全部參加甲游戲”兩個(gè)互斥事件，利用二項(xiàng)分布和互斥事件的概率公式可求解．(3)分析出ξ的所有可能取值，求出各值對(duì)應(yīng)的概率，建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學(xué)期望．第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日[閱卷老師手記]掌握離散型隨機(jī)變量的分布列，需注意(1)分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率．看每一列，實(shí)際上是：上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．(2)要會(huì)根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的分布列的正誤．(3)公式運(yùn)用正確和計(jì)算準(zhǔn)確是不失分的關(guān)鍵．第三十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

概率、隨機(jī)變量及其分布列與實(shí)際問題的結(jié)合題型在新課標(biāo)高考中經(jīng)常出現(xiàn)，其解題的一般步驟為：第一步：理解以實(shí)際問題為背景的概率問題的題意，確定離散型隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：利用排列、組合知識(shí)或互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式求出隨機(jī)變量取每個(gè)可能值的概率；第三步：畫出隨機(jī)變量的分布列；第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論．第三十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日【試一試】(2012·江西