第一部分集合的含義及其表示

當(dāng)前1頁，總共51頁。1.1理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第1章知識(shí)點(diǎn)一考點(diǎn)一考點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)四考點(diǎn)三考點(diǎn)四當(dāng)前2頁，總共51頁。當(dāng)前3頁，總共51頁。1．1

集合的含義及其表示當(dāng)前4頁，總共51頁。當(dāng)前5頁，總共51頁。觀察下面的語句：(1)所有小于10的自然數(shù)；(2)高一(2)班的所有帥哥；(3)2011年～2012賽季所有參加CBA聯(lián)賽的球隊(duì)；(4)方程x2－1＝0的所有實(shí)數(shù)根；(5)我們班的高個(gè)子同學(xué)．當(dāng)前6頁，總共51頁。問題1：以上各語句中所要研究的對(duì)象分別是什么？提示：分別為自然數(shù)，帥哥，球隊(duì)，實(shí)數(shù)根和高個(gè)子同學(xué)．問題2：哪幾個(gè)語句中的對(duì)象不能確定？為什么？提示：(2)、(5)中對(duì)象不能確定．因?yàn)閹浉绾透邆€(gè)子沒有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn)．問題3：你能指出第(1)、(4)中的確切的對(duì)象嗎？提示：(1)中：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(4)中：1，－1.當(dāng)前7頁，總共51頁。集合的定義：一般地，一定范圍內(nèi)某些

、

對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合，集合中的

稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元.確定的不同的每一個(gè)對(duì)象當(dāng)前8頁，總共51頁。已知英文字母分元音字母和輔音字母．問題1：記元音字母組成的集合為A，輔音字母構(gòu)成的集合為B，那么字母O與字母G與A、B關(guān)系怎樣？提示：字母O是集合A的元素，不是集合B的元素．字母G是集合B的元素，不是集合A的元素．問題2：能否存在某個(gè)字母，它既是A的元素，又是集合B的元素？提示：沒有．當(dāng)前9頁，總共51頁。1．常用數(shù)集及其記法常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR當(dāng)前10頁，總共51頁。2．元素與集合的關(guān)系關(guān)系定義記法讀法屬于a是集合A的元素不屬于a不是集合A的元素a∈Aa屬于Aa?A或aAa不屬于A當(dāng)前11頁，總共51頁。觀察下列集合：(1)中國的直轄市；(2)2的所有正因數(shù)；(3)不等式x－2≥3的解集；(4)所有偶數(shù)的集合；(5)方程x2－3x＋2＝0的解集．當(dāng)前12頁，總共51頁。問題1：上述五個(gè)集合中的元素能分別一一列舉出來嗎？提示：(1)、(2)、(5)中元素可以一一列舉出來，(3)、(4)中元素不能一一列舉，因?yàn)樗鼈冎械脑赜袩o窮多個(gè)．問題2：設(shè)(3)、(4)中元素為x，請(qǐng)用等式(或不等式)分別將它們的特征表示出來．提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.當(dāng)前13頁，總共51頁。問題3：(2)、(5)中的兩個(gè)集合有什么關(guān)系，如何表示呢？提示：(2)、(5)中兩個(gè)集合(分別記為集合A、B)的元素完全相同，所以是相等集合，可表示為A＝B.當(dāng)前14頁，總共51頁。列舉法將集合的元素

出來，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi)，元素之間用逗號(hào)分隔，用這樣表示集合的方法稱為列舉法描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成

的形式，用這樣表示集合的方法稱為描述法一一列舉{x|p(x)}1．集合的表示法

當(dāng)前15頁，總共51頁。2.集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素

(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個(gè)集合相等．

完全相同當(dāng)前16頁，總共51頁?？疾煜铝屑希?1)方程x2－4＝0的解組成的集合；(2)不等式x>3的解組成的集合；(3)方程x2＝－1的解組成的集合．問題1：集合(1)中有幾個(gè)元素？提示：兩個(gè)，分別是2和－2.當(dāng)前17頁，總共51頁。問題2：集合(2)中的元素能數(shù)得盡嗎？提示：數(shù)不盡．即集合中的元素有無限個(gè)．問題3：集合(3)中的元素是什么？提示：集合(3)中沒有元素．當(dāng)前18頁，總共51頁。集合的分類有限集含有

的集合無限集含有

的集合空集

的集合，記作

有限個(gè)元素?zé)o限個(gè)元素不含任何元素?當(dāng)前19頁，總共51頁。1．集合是具有共同的特征(或?qū)傩?的對(duì)象組合而成，且這個(gè)特征(或?qū)傩?有確定的劃分標(biāo)準(zhǔn)．

2．集合與元素間的關(guān)系是用符號(hào)“∈”或“?”表示的，是集合中的元素，必須是確定的，對(duì)于集合A與元素a，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一．集合中的元素是不同的，任何兩個(gè)相同的對(duì)象在同一集合中，只能算作一個(gè)元素．

3．列舉法和描述法是表示集合的兩種常用方法．列舉法表示集合直觀明了，可以明確知道集合中具體的元素及元素個(gè)數(shù)，但當(dāng)元素個(gè)數(shù)無限時(shí)，多用描述法．當(dāng)前20頁，總共51頁。當(dāng)前21頁，總共51頁。[例1]

判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：①高一(1)班成績(jī)較好的同學(xué)；②2012年度諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)獲得者；③立方接近于零的正數(shù)；④2012年奧運(yùn)會(huì)所有比賽項(xiàng)目；⑤1,2,3,2.當(dāng)前22頁，總共51頁。[思路點(diǎn)撥]解答本題可根據(jù)集合的意義，考慮每組對(duì)象是否具有明確的標(biāo)準(zhǔn)，是否互異，這是判斷它們能否構(gòu)成集合的依據(jù)．

[精解詳析]

②④中的對(duì)象都是確定的，而且是不同的，因而能構(gòu)成集合；①中“成績(jī)較好”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能構(gòu)成集合；③中“接近零”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能構(gòu)成集合；⑤中含有兩個(gè)2，不滿足互異性，不能構(gòu)成集合．當(dāng)前23頁，總共51頁。[一點(diǎn)通]判斷某些對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看這些對(duì)象是否具有集合中元素的確定性，互異性特征，若具有則可以組成集合，否則就不能組成集合．當(dāng)前24頁，總共51頁。1．下列各組對(duì)象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)全體；③平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；④正三角形的全體；⑤的近似值的全體．其中能構(gòu)成集合的是__________．(填序號(hào))當(dāng)前25頁，總共51頁。答案：③④當(dāng)前26頁，總共51頁。當(dāng)前27頁，總共51頁。當(dāng)前28頁，總共51頁。[例2]已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.[思路點(diǎn)撥]

由－3∈A，得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，求出a后再進(jìn)行驗(yàn)證．當(dāng)前29頁，總共51頁。當(dāng)前30頁，總共51頁。當(dāng)前31頁，總共51頁。3．集合P＝{1，m，m2－3m－1}，若3∈P且－1?P，則實(shí)數(shù)m的值為________．解析：∵3∈P且－1?P.∴當(dāng)m＝3時(shí)，P＝{1,3，－1}，與－1?P矛盾．當(dāng)m2－3m－1＝3時(shí)，m＝4或m＝－1(舍去)，此時(shí)P＝{1,4,3}．符合題意．∴m＝4.答案：4當(dāng)前32頁，總共51頁。4．已知x2∈{1,0，x}，求實(shí)數(shù)x的值．解：若x2＝0，則x＝0，此時(shí)集合為{1,0,0}，不符合集合中元素的互異性，舍去；若x2＝1，則x＝±1，當(dāng)x＝1時(shí)，集合為{1,0,1}，舍去；當(dāng)x＝－1時(shí)，集合為{1,0，－1}，符合條件；若x2＝x，則x＝0或x＝1，由上可知，x＝0和x＝1都舍去．綜上所述，x＝－1.當(dāng)前33頁，總共51頁。當(dāng)前34頁，總共51頁。[思路點(diǎn)撥]先弄清集合中的元素是數(shù)、點(diǎn)，還是其它對(duì)象，是有限個(gè)還是無限個(gè)，然后再選擇適當(dāng)方法表示．當(dāng)前35頁，總共51頁。當(dāng)前36頁，總共51頁。[一點(diǎn)通](1)用列舉法時(shí)要注意元素的不重不漏，不計(jì)次序，且元素與元素之間用“，”隔開．

(2)用描述法表示集合時(shí)，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)為集合中元素所具備的共同特征．要注意豎線不能省略，同時(shí)表達(dá)要力求簡(jiǎn)練、明確．當(dāng)前37頁，總共51頁。當(dāng)前38頁，總共51頁。解：(1){x＋1，x－1}；(2){W，e，l，c，o，m，t，B，i，j，n，g}；(3){P||PA|＝r}．當(dāng)前39頁，總共51頁。當(dāng)前40頁，總共51頁。當(dāng)前41頁，總共51頁。[例4]

已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x與y的值．[思路點(diǎn)撥]

解答本題可考慮利用集合相等的定義來解．即元素完全相同，還要注意集合中元素的互異性．[精解詳析]∵0∈B，A＝B，∴0∈A.若x＝0，則A＝{0,0，－y}不成立，∴x≠0.當(dāng)前42頁，總共51頁。又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0.∴x＝y(tǒng).從而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．∴x2＝|x|.∴x＝0或x＝1或x＝－1.經(jīng)驗(yàn)證x＝0，x＝1均不合題意，∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1適合．[一點(diǎn)通]

(1)判斷兩個(gè)集合相等的依據(jù)是兩集合的元素必須完全相同．(2)靈活運(yùn)用元素的互異性是解好本題的關(guān)鍵．當(dāng)前43頁，總共51頁。答案：2

當(dāng)前44頁，總共51頁。8．?dāng)?shù)集X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}之間的關(guān)系是________．解析：∵若n為奇數(shù)，可設(shè)n＝2k－1(k∈Z)，則x＝4k－1.若n為偶數(shù)，可設(shè)n＝2k(k∈Z)，則x＝4k＋1.∴X＝Y(jié).答案：X＝Y(jié)當(dāng)前45頁，總共51頁。1．集合中的元素具有確定性、互異性和無序性三個(gè)特征

(1)確定性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，任何一個(gè)對(duì)象或者是這個(gè)集合的元素，或者不是這個(gè)集合的元素，兩者必居其一．也就是說，某個(gè)對(duì)象是不是該集合中的元素，必須有一個(gè)明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，這是集合最基本的特征．當(dāng)前46頁，總共51頁。(2)互異性：集合中的任何兩個(gè)元素都是能區(qū)分的(即互不相同)，相同的對(duì)象歸入任何一個(gè)集合時(shí)，只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素．

(3)無序性：在一個(gè)集合中，通常不考慮元素之間的順序，也就是說，{a，b，c}＝{b，c，a}．當(dāng)前47頁，總共51頁。2．集合常用的表示方法是列舉法和描述法

(1)一般情況下，對(duì)有限集，元素不太多的情況下，宜采用列舉法，應(yīng)注意：①元素間用“，”分隔；②集合中元素必須滿足三個(gè)特性；③若元素個(gè)數(shù)較多或無限個(gè)且構(gòu)成集合的這些元素有明顯規(guī)律，也可用列舉法，但必須把元素規(guī)律顯示清楚后才能用省略號(hào)．當(dāng)前48頁，總共51頁。(2)對(duì)無限集，一般采用描