題根研究 數(shù)列 向遞推尋根

PAGEPAGE30題根研究數(shù)列向遞推尋根（1）一、數(shù)列與遞推問：數(shù)列是函數(shù)嗎？答：定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，函數(shù)式為an=f(n)問：有何實際意義？答：數(shù)列的每個函數(shù)值，都按自然數(shù)序號排了座位，前后間的鄰居關(guān)系非常清楚，知道了前面的一個數(shù)，就可知道它的后面數(shù)是誰.因此數(shù)列有“遞推關(guān)系”：an+1=f(an).問：一般函數(shù)有這關(guān)系嗎？答：沒有！如一次函數(shù)y=x，你知道后的緊跟數(shù)是誰！

二、等差與遞比數(shù)列都是遞推數(shù)列1、等差數(shù)列是遞推數(shù)列【定義】一個數(shù)列{an}，如果從它的第2項開始，每項與它的前面一項的差等于一個常數(shù)d，即a2-a1=a3-a2=…=an+1-an=d則這個數(shù)列叫等差數(shù)列.【遞推式】由等差數(shù)列的定義，可得等差數(shù)列的遞推式2、等差數(shù)列的通項公式在等差數(shù)列{an}的遞推式中依次令k=1，2，…，n得n+1元n+1列方程組兩邊相邊，消去a1，a2，…，an得an+1=a+nd或an=a+(n-1)d3、等比數(shù)列是遞推數(shù)列【定義】一個數(shù)列{an}，如果從它的第2項開始，每項與它前面一項的比等于一個常數(shù)q，即則這個數(shù)列叫等比數(shù)列.【遞推式】由等比數(shù)列的定義，可得等比數(shù)列的遞推式4、等比數(shù)列的通項公式在等比數(shù)列的遞推式中依次令k=1，2，…，n得n+1元n+1列方程組兩邊相乘，消去b1，b2，…，bn，得bn+1=bqn或bn=bqn-1三、一次式遞推an+1=kan+m研究函數(shù)式時，我們是從簡單的正比例函數(shù)、一次函數(shù)開始的.在這種啟發(fā)下，我們想到了遞推式中的“一次式”：an+1=kan+m（Ⅰ）非常湊巧，等差、等比數(shù)列正好是這種“一次式”的特殊情況.在遞推式（Ⅰ）中：（1）k=1時，得等差數(shù)列an+1=an+m（2）m=0時，得等比數(shù)列an+1=kan如果k≠1（當(dāng)然也不為0），m≠0呢？【例1】已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an-1求這個數(shù)列的通項公式和前n項和.【分析】遞推公式是一個典型的“一次式”，我們考慮將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解.【解答】an+1=2an-1an+1-1=2(an-1)令bn=an-1得bn+1=2bnbn=2n-1an=bn+1=2n-1+1（下略）【點評】一次遞推數(shù)列an+1=2an-1通過轉(zhuǎn)換，bn=an-1化為等比數(shù)列bn+1=2bn【例2】已知m≠0，k≠0，1，a1=a(>0)，an+1=kan+m，求數(shù)列{an}的通項公式.【分析】按例1的經(jīng)驗，轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列，關(guān)鍵在常數(shù)c匹配.【解答】設(shè)(an+1-c)=k(an-c)令c–kc=m，得令bn=an–c即四、等和數(shù)列與等積數(shù)列我們可以類比等差等比數(shù)列定義等和等積數(shù)列.【定義】等和數(shù)列等積數(shù)列【遞推式】等和數(shù)列等積數(shù)列【說明】等和數(shù)列是一次遞推數(shù)列an+1=kan+m在k=-1時的特殊形式.等積數(shù)列是反比例遞推數(shù)列.

【例1】已知數(shù)列首項a1=2，若an+an+1=3，求數(shù)列通項公式.【解答】由a1+a2=a2+a3=…=an+an+1得a1=a3=…=a2m-1a2=a4=…=a2m故數(shù)列的通項公式為【說明】等和數(shù)列一般形式為a1=a，an+an+1=m通項公式為等和數(shù)列一般為擺動數(shù)列，只當(dāng)m=2a時，為常數(shù)列【例2】已知數(shù)列首項b1=2【解答】由b1b2=b2b3=…=bnbn+1得b1=b3=…=b2m-1=2b2=b4=…=b2m故數(shù)列的通項公式為【說明】等積數(shù)列一般形式為b1=bbnbn+1=p通項公式為等積數(shù)列一般為擺動數(shù)列，只當(dāng)p=b2時，為常數(shù)列.題根研究數(shù)列向遞推尋根（2）五、變差數(shù)列與迭代法在等差數(shù)列{an}中，如果讓公差d（常數(shù)）變動起來，由d變?yōu)閐n，得數(shù)列我們可以稱其為“變差”數(shù)列.當(dāng)變差dn為等差或等比數(shù)列時，我們可以將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項公式.【例題】已知a1=1，an+1=an+2n+n求通項公式.【分析】這是一個變差數(shù)列，“變差”dn=2n+n是一個等比數(shù)列與等差數(shù)列的和.【解答】在差式an+1-an=2n+n中，對n進行“迭代”：依次令n=1，2，…，k，得方程組兩邊相加，消去a1，a2，…，ak，得ak+1=1+(21+22+…+2k)+(1+2+…+k)得通項公式“迭代法”求變差數(shù)列通項公式.【題設(shè)】設(shè)有變差數(shù)列a1=a，an+1=an+dn其中d1+d2+…+dn=D(n)【迭代】在an+1-an=dn中，依次令n=1，2，…，k，得k元k列方程組【解ak+1】方程組兩邊相加，消去a1，a2，…，ak解得ak+1=a+(d1+d2+…+dk)=a+D(k)【求an】由此得an=a+D(n-1)為所求通項公式.

六、由an+1=f(an)到F(an，an+1)數(shù)列的遞推式，如等差數(shù)列的遞推式an+1=an+d=f(an)是用an的函數(shù)式來表示an+1其實，函數(shù)式只為方程式的一種特殊形式，將等差數(shù)列的遞推式改寫為an+1–an–d=F(an+1，an)=0則是一個關(guān)于an和an+1的方程式.方程式表示遞推關(guān)系，則更有其普遍意義.

【例題】數(shù)列{an}中a1=1，且有2nan+1+anan+1=2nan，求通項公式.【分析】遞推式是關(guān)于an和an+1的方程，“參數(shù)”2n還是一個變數(shù)，首先可進行求函數(shù)an+1=f(an)的嘗試.【解析】由方程式2nan+1+anan+1=2nan得用迭代法可以解得七、復(fù)合數(shù)列與換元法復(fù)合數(shù)列相對基本數(shù)列而言.中學(xué)的基本數(shù)列有2個，一是等差數(shù)列，二是等比數(shù)列，其他數(shù)列可看作是兩種基本（之一）的復(fù)合數(shù)列.復(fù)合數(shù)列的解法是通過轉(zhuǎn)換——換元化為這兩種基本數(shù)列（之一）來解決.一次遞推數(shù)列an+1–c=kan+m可變形為通過換元bn=an–c而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列bn+1=kbn而求解.一次遞推數(shù)列再延伸一步，讓常數(shù)m變起來ak+1=kan+m當(dāng)mn具備一定條件時，也可通過換元法轉(zhuǎn)化為一次遞推數(shù)列an+1=kan+mn

【例題】數(shù)列{an}中a1=2，且有an+1=4an+2n+1，求通項公式.【分析】這就是一次遞推數(shù)列的變m形式：an+1=kan+mn，其中mn=2n+1是等比數(shù)列【解析】由方程式2nan+1+anan+1=2nan得令則原數(shù)列轉(zhuǎn)化為bn+1=2bn+1（一次遞推數(shù)列）bn=2n–1an=2nbn+1=2·4n-2n【說明】這里的一次遞推數(shù)列的變m形式an+1=4an+2n+1轉(zhuǎn)到一次遞推數(shù)列bn+1=2an+1

八、含Sn的遞推式F(an，an+1，Sn)=0數(shù)列求和公式與通項公式有如下關(guān)系這實際上是一個關(guān)于an與Sn的遞推式.如等差數(shù)列在含Sn的遞推式中，作出Sn+1–Sn=an代換即得關(guān)于an，an+1的遞推式.【例題】數(shù)列{an}前n項和設(shè)為，求數(shù)列通項公式.【分析】這是一個含有Sn的遞推式，先利用它求a1.【解答】在中令n=1，由S1=a1得又an+1=Sn+1-Sn（問題轉(zhuǎn)化為前面問題下略）【說明】含Sn的遞推式，通過an+1=Sn+1-Sn轉(zhuǎn)化為不含Sn的式子.

九、遞推式與數(shù)學(xué)歸納法對等差數(shù)列，a1=a，an+1=an+d求通項，用了迭代法求得an+1=a1+nd其實，這種不完全歸納法得出的an=a1+(n-1)d只是一個“猜想”，只是因其直觀而將證明過程省去了.為什么可省去呢？因為在用數(shù)學(xué)歸納法時，在由k到k+1的過程正好是用它的遞推式.當(dāng)關(guān)系“不直觀時”，對“猜想”得到的通項公式還得進行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納的證明.特別地，直接利用遞推式，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列某性質(zhì).

【例題】數(shù)列{an}中，a1=1，且有an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)【探試】a2=a1=1a3=a1+2a2=3a4=a1+2a2a5=a1+2a2+3a3+4【猜想】a3=3a2，a4=4a3，a5=5a4，…，推猜通項為an【證明】（1）n=2時，a2=命題真（2）假設(shè)n=k時，命題真，即有兩邊同時加上kak，則有綜合（1），（2），對一切n≥2，有

【例題】數(shù)列{an}中，a1=1，且有an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)【別解】an=a1+2a2+…+(n-1)an-1（n≥2）兩邊加上na得：an+nan=an+1，an=nan-1依次令n=2，3，…，n，得兩邊相乘，消去a2，a3，…，an-1得an=n(n–1)…·4·3·1=通項公式為【點評】另解用迭代法求an，實為一種不完全歸納法，在關(guān)系直觀時，此法也有效.題根研究函數(shù)的周期性

一、正弦函數(shù)的周期三角函數(shù)，以正弦函數(shù)y=sinx為代表，是典型的周期函數(shù).冪函數(shù)y=xα無周期性，指數(shù)函數(shù)y=ax無周期性，對數(shù)函數(shù)y=logax無周期，一次函數(shù)y=kx+b、二次函數(shù)y=ax2+bx+c、三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d也無周期性.周期性是三角函數(shù)獨有的特性.

1、正弦函數(shù)y=sinx的最小正周期在單位圓中，設(shè)任意角α的正弦線為有向線段MP.正弦函數(shù)的周期性動點P每旋轉(zhuǎn)一周，正弦線MP的即時位置和變化方向重現(xiàn)一次.同時還看到，當(dāng)P的旋轉(zhuǎn)量不到一周時，正弦線的即時位置包括變化方向不會重現(xiàn).因此，正弦函數(shù)y=sinx的最小正周期2π.

2、y=sin（ωx）的最小正周期設(shè)ω>0，y=sin（ωx）的最小正周期設(shè)為L.按定義y=sinω（x+L）=sin（ωx+ωL）=sinωx.令ωx=x'則有sin（x'+ωL）=sinx'因為sinx最小正周期是2π，所以有例如sin2x的最小正周期為sin的最小正周期為

3、正弦函數(shù)y=sin（ωx+φ）的周期性對正弦函數(shù)sinx的自變量作“一次替代”后，成形式y(tǒng)=sin（ωx+φ）.它的最小正周期與y=sinωx的最小正周期相同，都是.如的最小周期與y=sin（3x）相同，都是.于是，余弦函數(shù)的最小正周期與sinx的最小正周期相同，都是2π.

二、復(fù)合函數(shù)的周期性將正弦函數(shù)y=sinx進行周期變換x→ωx，sinx→sinωx后者周期變?yōu)槎谝韵碌母鞣N變換中，如（1）初相變換sinωx→sin（ωx+φ）；（2）振幅變換sin（ωx+φ）→Asin（ωx+φ）；（3）縱移變換Asin（ωx+φ）→Asin（ωx+φ）+m；后者周期都不變，亦即Asin（ωx+φ）+m與sin（ωx）的周期相同，都是.而對復(fù)合函數(shù)f（sinx）的周期性，由具體問題確定.

1、復(fù)合函數(shù)f（sinx）的周期性【例題】研究以下函數(shù)的周期性：（1）2sinx；（2）（2）的定義域為［2kπ，2kπ+π］，值域為［0，1］，作圖可知，它是最小正周期為2π的周期函數(shù).【解答】（1）2sinx的定義域為R，值域為，作圖可知，它是最小正周期為2π的周期函數(shù).【說明】從基本函數(shù)的定義域，值域和單調(diào)性出發(fā)，通過作圖，還可確定，logax，sinx，，sin（sinx）都是最小正周期2π的周期函數(shù).

2、y=sin3x的周期性對于y=sin3x=(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否還有更小的周期呢？我們可以通過作圖判斷，分別列表作圖如下.

圖上看到，y=sin3x沒有比2π更小的周期，故最小正周期為2π.

3、y=sin2x的周期性對于y=sin2x=(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否為2π？可以通過作圖判定，分別列表作圖如下.

圖上看到，y=sin2x的最小正周期為π，不是2π.

4、sin2nx和sin2n-1x的周期性y=sin2x的最小正周期為π，還可通過另外一種復(fù)合方式得到.因為cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.sin2x的周期，由cosx的2π變?yōu)閟in2x的π.就是因為符號法“負負得正”所致.因此，正弦函數(shù)sinx的冪符合函數(shù)sinmx，當(dāng)m=2n時，sinmx的最小正周期為π；m=2n–1時，sinmx的最小正周期是2π.

5、冪復(fù)合函數(shù)舉例【例1】求y=|sinx|的最小正周期.

【解答】最小正周期為π.

【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期為2π.

【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期為π.【說明】正弦函數(shù)sinx的冪復(fù)合函數(shù).當(dāng)q為奇數(shù)時，周期為2π；q為偶數(shù)時，周期為π.三、周期函數(shù)的和函數(shù)兩個周期函數(shù)，如sinx和cosx，它們最小正周期相同，都是2π.那么它們的和函數(shù)，即sinx+cosx的最小正周期如何？和函數(shù)的周期與原有函數(shù)的周期保持不變.這個結(jié)論符合一般情況.對于另一種情況，當(dāng)相加的兩個函數(shù)的最小正周期不相同，情況將會如何？

1、函數(shù)sinx+sin2x的周期性sinx的最小正周期為2π，sin2x的最小正周期是π，它們之間誰依賴誰，或依賴一個第三者？列表如下.

表上看到函數(shù)sinx+sin2x的最小正周期是2π.

2、函數(shù)sinx+sin2x的周期性依據(jù)上表，作sinx+sin2x的圖像如右.從圖上看到，函數(shù)的最小正周期為2π.由sinx，sin2x的最小正周期中的大者決定，因為前者是后者的2倍.從圖上看到，sinx+sin2x仍然是個“振動函數(shù)”，但振幅已經(jīng)不是常數(shù)了.

3、函數(shù)sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期為2π，sinx的最小正周期是3π.它們之間的和sinx+sinx的最小正周期也由“較大的”決定嗎？即“和函數(shù)”的周期為3π嗎？不妨按周期定義進行檢驗.設(shè)則x0+3π=因此3π不是sinx+sinx的最小正周期.通過作圖、直觀看到，sinx+sinx的最小正周期為6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍數(shù).題根研究函數(shù)的周期性（2）

四、周期函數(shù)在高考中三角函數(shù)是高考命題的重要板塊之一，小題考，大題也考，比分約占高考總分的七分之一，與立體幾何相當(dāng).與立幾不同的是，它還與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、向量等內(nèi)容綜合.正弦函數(shù)是三角函數(shù)的代表，而周期性又是正弦函數(shù)的特性.關(guān)系到正弦函數(shù)的試題，有2種形式.（1）直接考，求正弦函數(shù)的最小正周期.（2）間接考，考周期在正弦函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.求單調(diào)區(qū)間，求最值，簡單方程的通解等.

1、求正弦函數(shù)的周期【例1】函數(shù)y=|sin|的最小正周期為（A）（B）π（C）2π（D）4π【解答】最小正周期是最小正周期的一半，即2π.答案為（C）【說明】圖象法判定最簡便，|sinx|的圖象是將sinx的圖象在x軸下方部分折到x軸上方去.倍角法定判定最麻煩【解答】（1）y=2cos2x+1的最小正周期由cos2x決定

2、求正弦函數(shù)的周期【例2】（1）y=2cos2x+1的最小正周期為.（2）y=|sinx+cosx|的最小正周期為.【解答】（1）y=2cos2x+1的最小正周期由cos2x決定，故答案為π.（2）故答案為π.【說明】都可看作sinx的冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù).

3、函數(shù)周期性應(yīng)用于求值【例題】f(x)是R上的偶函數(shù)，且是最小正周期為π的周期函數(shù).【解答】【說明】周期性應(yīng)用于區(qū)域轉(zhuǎn)化.將“無解析式”的區(qū)域函數(shù)轉(zhuǎn)化到“有解析式”的區(qū)間上求值.若時f(x)=sinx試求的值.

4、函數(shù)周期性應(yīng)用于求單調(diào)區(qū)間【例題】x∈R，求函數(shù)y=sin2x+sinxcosx+2cos2x的單調(diào)增區(qū)間.【解答】函數(shù)的最小正周期為π.令得因為函數(shù)周期為π，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【說明】先求包含零點的增區(qū)間，再用最小正周期求單調(diào)增區(qū)間的集合.周期函數(shù)在高考中

5、周期性應(yīng)用于求函數(shù)零點【例題】已知函數(shù).【解答】令得故交點橫坐標(biāo)的值的集合為.【說明】先求絕對值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.

五、高考史上的周期大難題高考史上第一次“周期大難題”出現(xiàn)在恢復(fù)高考后的第3年，即1980年的理科數(shù)學(xué)卷上.本題排在該卷的第六大題上.在有十個大題的試卷上，這是個中間位置，然而，從當(dāng)年的得分情況來看，本題的難度超過了包括壓軸題和附加題在內(nèi)的所有題目.這點為命題人事先未能預(yù)料.后來分析，該題的難點有三.（1）函數(shù)抽象，導(dǎo)致周期中含有參數(shù)；（2）求參數(shù)范圍，與解不等式綜合；（3）求最小正整數(shù)解，連命題人自擬的“標(biāo)答”都含糊不清.20多年來數(shù)學(xué)界質(zhì)疑不斷.

【考題】設(shè)三角函數(shù)，其中k≠0.（1）寫出f(x)極大值M、極小值m與最小正周期;（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時，函數(shù)f(x)至少有一個值是M與一個值是m.【解答】（1）M=1，m=-1，.

（2）f(x)在它的每一個周期中都恰好有一個值是M與一個值是m.而任意兩個整數(shù)間的距離都≥1因此要使任意兩個整數(shù)間函數(shù)f(x)至少有一個值是M與一個值是m，必須且只須使f(x)的周期≤1即：k=32就是這樣的最小正整數(shù).

六、高考史上的周期大錯題中學(xué)教材上的周期函數(shù)，一般都是簡單和具體的函數(shù).關(guān)于最小正周期的求法，也是一些感性的結(jié)果；沒有系統(tǒng)和完整“最小正周期”的系統(tǒng)研究.然而，隨著“抽象函數(shù)”的不斷升溫，對周期函數(shù)周期的考點要求越來越高.2006年福建理數(shù)卷出現(xiàn)的“周期大錯題”正是這種盲目拔高的必然結(jié)果.

【例題】f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是A.2B.3C.4D.5【說明】這是2005年福建卷（理）第12題，命題組提供的答案是D，即答案為5.答案D從何而來？以下，就是“D”的一種解法.【解答】f(x)周期為3，由f(2)=0，得f(5)=f(2)=0，得f(-1)=f(2-3)=f(2)=0，得f(-4)=f(2-6)=f(2)=0f(x)為奇函數(shù)，得f(1)=-f(-1)=0f(4)=-f(-4)=0f(-0)=-f(0)，得f(0)=0f(3)=f(3+0)=f于是，求得f(x)=0的解為：1、2、3、4、5.共5個解，答案為D.【討論】除了上述解法得f(x)=0的5個解外，還有如下的解.根據(jù)方程f(x)=0的定義，x=1.5和x=4.5也是方程的解，證明如下：由f(x)的周期性，知f(-1.5)=f(1.5)（1）由f(x)的奇偶性，知f(-1.5)=-f(1.5)（2）從而有f(1.5)=0，f(4.5)=f(1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程f(x)=0的解.于是，方程的解共有7個：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【思考】按上面討論的結(jié)果，方程f(x)=0的解至少有7個.而原題的四個選項支中均沒有這個答案.命題人給定的答案D是錯的.高考史上的周期大錯題

【實驗檢驗】f(x)同時滿足4個條件：（1）定義在R上；（2）奇函數(shù)；（3）周期為3；（4）f(2)=0.據(jù)此，我們找到f(x)的一個具體例子：并在區(qū)間（0，6）上找到f(x)=0的7個解，列表如下：

這7個解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.

函數(shù)在一個周期［0，3］上的圖像如右.圖像與x軸有5個交點，故在［0，6］有9個交點，從而在（0，6）上有7個交點.【反思】命題人的錯誤自然出在疏忽二字上.實在地，本題較難，首先難倒了命題人自己.嚴(yán)格地講，試題“超綱”.對兩個周期函數(shù)的和函數(shù)，其最小正周期是它們的“最小公倍數(shù)”——這本身就沒有進行過證明，對某些具體函數(shù)可以具體分析，但對抽象函數(shù)來講，卻沒有理論依據(jù).而本題，又恰恰是個抽象函數(shù)，而且是個綜合問題.命題出錯似乎是必然的.題根研究平面坐標(biāo)為平面向量之根（1）

一、向量的坐標(biāo)式向量本有3個要素：（1）大小，（2）方向，（3）起點位置.當(dāng)我們不需考慮向量的起點位置時，則只關(guān)心向量的2個要素：（1）大??；（2）方向.起點位置全部會于坐標(biāo)原點.向量集合a與有向線段，與終點的坐標(biāo)（x，y）則形成一一映射.此時，我們用向量終點的坐標(biāo)表示向量這就是向量的坐標(biāo)式.

1、用坐標(biāo)表示向量的大小和方向設(shè)有向量a=（x，y），其長度用|a|表示，方向用向量a與x軸成角θ的函數(shù)值表示.1.向量大小|a|=2.向量方向用θ的函數(shù)表示θ的取值范圍

2、向量的加法運算加法法則：設(shè)有向量則幾何意義：向量，的和仍是一個向量，它是以O(shè)A，OB為鄰接邊的平行四邊形的對角線.和向量夾在兩個“加向量”之間.

3、向量的減法運算設(shè)，則幾何意義：向量與的差仍是一個向量，它與減向量分居在被減向量的兩側(cè)，使得被減向量成為以，向量為鄰接邊的平行四邊形的對角線.【說明】向量，向量的平行與共線同義.

4、向量的數(shù)量積運算設(shè)有向量和，且兩向量的夾角為θ，則兩向量的數(shù)量積為a?b=|a|?|b|cosθ=x1x2+y1y2幾何意義：|b|cosθ（或|a|cosθ）是向量b（或a）在向量a（或b）上的射影.向量和數(shù)量積a?b是個標(biāo)量，不考慮方向.

5、向量的實數(shù)積坐標(biāo)運算：向量a=（x，y）與實數(shù)λ的乘積λa=（λx，λy）=bb也是一個向量，稱作向量a與實數(shù)λ的積.幾何意義：（1）λ=1時，b=a，是a的等向量；（2）λ=-1時，b=-a，是a的反向量；（3）λ>1時，|b|>|a|，是a的伸長；（4）0<λ<1時，b|<|a|，是b的壓縮；（5）λ=0時，b=0，是a退化到了原點.

二、坐標(biāo)研究向量的位置關(guān)系坐標(biāo)運算來自向量運算的幾何意義，反過來，坐標(biāo)運算又為向量運算服務(wù).由于坐標(biāo)使得向量“數(shù)碼化”，從而坐標(biāo)運算使得向量關(guān)系運算化.如向量的平行問題、垂直問題等原非計算問題，但實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化后，全部可通過坐標(biāo)計算而判定.

1、兩向量夾角的坐標(biāo)公式設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），a，b夾角為θ，由向量的數(shù)量積運算式a?b=|a|?|b|cosθ=x1x2+y1y2得這就是向量a，b的夾角公式.特別地，當(dāng)a，b為單位向量時，即|a|=1，|b|=1時，則有cosθ=x1x2+y1y2

2、坐標(biāo)判定向量垂直與平行由a，b的夾角公式可以推出：（1）a⊥b的充要條件為cosθ=1（2）a∥b的充要條件為cosθ=1

三、坐標(biāo)運算的應(yīng)用一個向量對應(yīng)著唯一的坐標(biāo)，反過來，一個坐標(biāo)卻對應(yīng)著無窮個向量.由于這無窮向量是相等向量.故可以把它們的起點都化歸到原點來研究.如起點為P1（x1，y1），終點為P2（x2，y2）的向量可化歸為兩向量之差來研究.在不考慮向量起點的條件下，向量與坐標(biāo)之間首先建立了一一對應(yīng)，接著建立了向量的終點與坐標(biāo)的一一對應(yīng)，最后建立了平面上的點與坐標(biāo)的一一對應(yīng).這就為用坐標(biāo)研究圖形創(chuàng)造了條件.

1、距離公式【距離】向量與向量的差向量的長度確定了平面上兩點A和B的距離.【例題】設(shè)有定向量，動向量且有.求動點P的軌跡.【解答】P點軌跡是一個以點A（1，2）為圓心，以r=3為半徑的圓.

2、圖象平移【公式】將點P（x，y）沿向量a=（h，k）平移到Q（x'，y'），則有【例題】函數(shù)y=32x-5的圖象按向量a平移后，圖象的解析式為y=32x，則向量a的坐標(biāo)為（A）A.B.C.（-5，0）D.（5，0）【解答】設(shè)a=（h，k），則函數(shù)y=32x-5的圖象按向量a平移后所得圖象的解析式為y-k=32（x-h）-5=32x-2h-5，它應(yīng)與y=32x表示同一個函數(shù).∴∴∴所求向量為a=

3、定比分點【公式】設(shè)點P（x，y）以定比λ分有向線段，則有【例題】設(shè)O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點，，若，則實數(shù)λ的取值范圍是（B）A.B.C.D.【解答】設(shè)P（x，y），由得（x-1，y）=λ（-1，1）=（-λ，λ），【點評】本題是定比分點型問題，欲求實數(shù)λ的取值范圍，只需建立關(guān)于λ的不等式.因此將不等式中的向量坐標(biāo)化是求解問題的基本策略.題根研究平面坐標(biāo)為平面向量之根（2）

4、三點共線【定理】設(shè)且，則P1，P2，P三點共線的充要條件為λ1+λ2=1.【證明】必要性若P1，P2，P共線，則有即P（x，y）為的定比為λ的分點.

【例題】已知向量=（k，12），且A，B，C三點共線，則k=【法1】A、B、C三點共線【說明】A、B、C三點共線

【法2】由已知條件易得因為A、B、C三點共線，故有∥-5（k-4）=7（k+4），即12k=-8，所以k=-【說明】利用兩向量共線的充要條件時，所涉及的兩向量應(yīng)當(dāng)是有公共點的向量.

5、直線方程的坐標(biāo)形式【形式】設(shè)有向量和，則過A，B兩點的直線方程為（x-x1）（y2-y1）=（y-y1）（x2-x1）【證明】設(shè)三點P，A，B共線，則有，同時有

6、證明三角公式【公式】差角余弦公式Cα-βcos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.【證明】如圖的單位圓所示，角α和β的終邊交單位圓于A（cosα，sinα）和B（cosβ，sinβ）向量的夾角為α-β，由夾角公式cos（α-β）=即

四、向量在代數(shù)中的應(yīng)用【題1】（在不等式中的應(yīng)用）已知：a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=1，a，b，c，x，y，z∈R.求證：-1≤ax+by+cz≤1.【解答】構(gòu)造平面向量α=（a，b，c），β=（x，y，z）.則由題設(shè)知|α|2=1，|β|2=1.∴|α|=1，|β|=1.令α、β的夾角為θ，則θ∈［0，π］.∴cosθ=又∵-1≤cosθ≤1，∴-1≤ax+by+cz≤1.

【題2】（求最值）設(shè)m，n∈R，求s=的最小值，并指出此時m、n滿足的條件.【解答】s=可化為s=設(shè)向量a=（m-1，1-n），b=（2-m，n），則a+b=（1，1），s=|a|+|b|≥|a+b|=①這里向量a、b都有是零向量的可能，但它們不可能同時為零向量.當(dāng)a=0，或b=0時，①式都是成立的，這時m=1，n=1；或m=2，n=0.②當(dāng)a≠0，且b≠0時，①式成立，當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向共線，所以a=kb（k>0），即（m-1，1-n）=k（2-m，n），所以由上面的方程組，可得m+n-2=0，③④由①、②、③、④可知s的最小值是，此時m、n滿足的條件是m+n-2=0（1≤m≤2）.【說明】本題的解答過程有三個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：（1）設(shè)a=（m-1，1-n）與b=（2-m，n）的技巧是把m、n的符號設(shè)成各一正一負，這樣才能使a+b=（1，1）的坐標(biāo)是常數(shù)，從而求得|a+b|=.（2）不等式|a|+|b|≥|a+b|中等號成立的條件是a、b至少有一個是零向量，或a、b均為非零向量且同向共線.由于a、b的坐標(biāo)所致，所以，a=b=0的情況是不存在的，否則，矛盾有三處，即“m=1且m=2；n=0且n=1；0≥”.對a與b同向共線，如果使用形如“x1y2-x2y1=0”的式子去求m與n的關(guān)系，只有共線的結(jié)果m+n-2=0，得不到限制性條件1<m<2與0<n<1.（3）題目的結(jié)論中，限制性條件1≤m≤2與0≤n≤1是等價的，所以，只保留了1≤m≤2.

五、高考中的平面向量【題1】（山東卷）設(shè)向量a=（1，-2）,b=（-2,4）,c=（-1，-2），若表示向量4a，4b－2c，2（a－c），d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量（A）（2，6）（B）（－2，6）（C）（2，－6）（D）（－2，－6）【解答】設(shè)d＝（x，y），因為4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2（a－c）＝（4，－2），依題意，有4a＋（4b－2c）＋2（a－c）＋d＝0，解得x＝－2，y【說明】這是一道向量與平面幾何的綜合題.注意，多邊形（首尾相連的封閉圖形）的“向量和”等于零.

【題2】（湖北卷）已知向量a=，b是不平行于x軸的單位向量，且a?b=，則b=A.B.C.D.（1，0）【解答】設(shè)b＝（x，y），則有a?b=（1）由已知x2+y2=1（y≠0）（2）（1）（2）聯(lián)立，解得，選B【說明】這是一道向量與線性規(guī)劃的綜合題.

【題3】（湖南卷）如圖：OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且則實數(shù)對（x，y）可以是A.B.C.D.【解答】x=–aλ<0，y=aλ+b，∴x+y=b∈（0，1），故選C.【說明】這是一道向量與線性規(guī)劃的綜合題.

【題4】（江蘇卷）已知兩點M（－2，0）、N（2，0），點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足，則動點P（x，y）的軌跡方程為（A）y2=8x（B）y2=-8x（C）y2=4x（D）y2=-4x【解答】設(shè)P（x，y），x>0，y>0，M（-2，0），N（2，0），則由則化簡整理得y2=-8x，所以選B.【說明】這是一道向量與軌跡的綜合題.

【題5】（全國II）已知向量a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ），（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值.【解答】（1）a⊥ba·b=0sinθ+cosθ=0θ=（2）|a+b|當(dāng)=1時，|a+b|有最大值，此時，最大值為.【說明】這是一道向量與函數(shù)的綜合題.題根研究不等式來于等式的“傾斜”

一.不等是對相等的否定如果把等式看作是“對相等的肯定”，那么不等式則是“對相等的否定”.等式5=3+2如同一架天平.如果從天平的右端取“去”一個“法碼2”，則天平立即傾斜，等號“=”傾斜成“＞”，等式傾斜成了不等式由此，我們想到一個“制作不等式”的辦法：等式傾斜法.

【例1】a,b,c,d∈R+,試從等式a+b+c+d=a+b+c+d出發(fā)，推出不等式1＜＜2【解析】從等式a+b+c+d=a+b+c+d右邊取“去”部分法碼，使等式傾斜，依次得不等式組于是有1=＜＜即得所需的不等式如下：1＜＜2【點評】“去”點什么總比“找”點什么要容易得多.因此，把等式“傾斜”成不等式，總比把不等式“找平”成等式要容易得多.初學(xué)者往往害怕“天平傾斜”而不敢去“破壞等式”，這是學(xué)習(xí)不等式的大忌.

【例2】利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)(n≠0).推出真分?jǐn)?shù)的放大性其中0<a<b,m>0【解析】已知（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)）可得（※）（比例性質(zhì)）在等式（※）中，將na用nb（＞na）替代，則等式傾斜，得不等式令m=nb，即是【點評】這就是著名的“真分?jǐn)?shù)的放大性”對應(yīng)的分式不等式，它由著名的“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”對應(yīng)的等式傾斜而得.

二.相等可視作不等的極端對高中生來講，重要的不等式莫過于平均值不等式(Ⅰ)這是在“不等中含相等”的例子，顯然，這里的相等是不等的極端，當(dāng)千變?nèi)f化的正數(shù)a,b變到相等時出現(xiàn)的特殊情況.即當(dāng)a=b時，不等式組（I）可以“找平”為條件等式組：(Ⅱ)反過來，將條件等式組(Ⅱ)傾斜后，便得平均值不等式（I）.

【例3】從條件等式（a=b）出發(fā),試推出平方平均值不等式【分析】a=b時，易知不等式中等號成立.欲使等式傾斜，可令a≠b再看式子中的“=”號是否一定變成“＞”號.【解析】當(dāng)a≠b時，不失一般性，設(shè)a-b=△≠0.則有a=b+△.此時式子左邊=式子右邊=＜即當(dāng)a≠b時，有又當(dāng)a=b時，有故對一切（正）實數(shù)a,b，平方平均值不等式成立：,,,

【例4】從恒等式（x+y）2=(x－y)2+4xy出發(fā)，推出平均不等式.（a,b∈R+）【說明】這里是從“恒等式出發(fā)”.至于由不等式（x-y）2≥0出發(fā)推平均不等式，我們早已會干.【解析】對于恒等式（x+y)2=（x-y)2+4xy，我們在等號右面“取出”它的1個法碼“（x-y）2則等式傾斜，于是有（x+y）2≥4xyx2+y2≥2xy限制在R+中，令x2=a,y2=b,則得到平均不等式【點評】“恒等式傾斜法”是制作不等式中的一種方便、直觀、可靠的辦法.拿著常見的恒等式傾斜之后，可得到常見的不等式.

三.放縮相等到不等的捷徑放縮法的本質(zhì)是讓等式傾斜.傾斜的結(jié)果往往能一箭雙雕，既得到了所需要的不等式，還有可能把繁瑣的等式運算簡化.【例5】已知an=…探求數(shù)列｛an｝的單調(diào)性【分析】問題實為探求an+1≤an或an+1≥an是否成立.而已知條件是個“等式”.【解析】因為an=…所以an+1=…則有即an+1＞an故數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列.【點評】在等式右邊分母的根號下只增加了“1”點，結(jié)果讓等式傾斜了.變成了不等式.【討論】關(guān)于“放縮量”問題.對于本題，在根號下為什么只剛剛增加“1點”？（1）只增加“”如何？回答是，此時雖有但右邊的分式無法化簡.(2)增加更多如何，比如在右邊根號下增加4n2+8n+5?回答是，此時雖有＞但能達到什么目的？因為我們關(guān)心的是與1的大小關(guān)系.

四.列方程解不等式在條件等式中，經(jīng)常遇到的問題有：按某種限制條件，求等式中某個參數(shù)的取值范圍.所謂求范圍，就是求得關(guān)于參數(shù)所滿足的不等式.此時，我們可以把問題分作兩步進行.第一步把參數(shù)組織到滿足部分條件的方程（組）中去；第二步把含參數(shù)的方程傾斜，得到關(guān)于參數(shù)的不等式.

【例6】設(shè)a、b、c是一個長方體的長、寬、高，且a+b-c=1.已知該長方體對角線長為1，且b>a，求長方體的高c的取值范圍.【解析】按題設(shè)，易得知如下的方程組即是由②得（a+b）2=（1+c）2a2+b2+2ab=(1+c)2③利用a2+b2≥(1+c)2④代①于④消去a2,b2得關(guān)于c的不等式2(1-c2)≥(1+c)2解此不等式,得c的取值范圍同為0＜c≤.

五.補差法變不等式為等式既然不等式“來于”“等式的傾斜”，那么對不等式進行“補差”，則可以使傾斜后的“等式還原”，即可把不等式問題轉(zhuǎn)化為等式來研究.所謂“補差法”，就是在不等式如f(x)＞g(x)的某邊補上一個“差量△”.使之成為等式：f(x)=g(x)+△.于是不等式f(x)＞y(x)是否成立的問題則轉(zhuǎn)化為“差量△”是否為正數(shù)的問題.【例7】試探求函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間【分析】函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故可先從區(qū)間（0，+∞）探究起.【解析】設(shè)0＜x1＜x2，△∈R令x1x2△與△的符號相同，再令△1=x1x2△，得（Ⅰ）當(dāng)0＜x1＜x2≤1時，由（3）得△1＞0（Ⅱ）當(dāng)1≤x1＜x2時，由（3）得△1＜0故函數(shù)f(x)在（－∞，0）上，有減區(qū)間（－1，0）和增區(qū)間（—∞，—1）.【點評】“補差法”實為作差比較法的一種簡化.由于“差量△”進入到等式后可參加等式的變換或運算，可以利用“綜合法”和“分析法”的變形手段將“差量”隨時化簡.補差法是對比較法、綜合法和分析法的一種整合.【后記】數(shù)學(xué)大師們說，數(shù)學(xué)的進步處豎著兩個標(biāo)牌：（1）將熟知的程式化簡；（2）把分散的領(lǐng)域打通.本文試圖：（1）把已經(jīng)熟悉不等式的程式化簡；（2）把不等式與等式間的鴻溝打通.題根研究等差數(shù)列的中項與中值

一、等差三數(shù)有中項一個等差數(shù)列至少有3項，否則它不能構(gòu)成等差數(shù)列.若3個數(shù)a1、a2、a3成等差數(shù)列，則a2稱作a1、a3的中項.若5個數(shù)a1、a2、a3、a4、a5成等差數(shù)列，則a3既是a2、a4的中項.同時，也是a1、a5的中項，如此等等.夾在數(shù)列的兩項之間，并且與兩項等距的項，稱作給定兩項的中項.【例1】判斷等差數(shù)列a1、a2、a3、a4、a5、a6中能充當(dāng)中項的數(shù)【解答】首項a1不能充當(dāng)中項；a2是a1和a3的中項；a3是a1和a5、a2和a4的中項；a4是a2和a6、a3和a5的中項；a5是a4和a6的中項；未尾a6不能充當(dāng)中項.【說明】相鄰兩項無中項；中間間隔為偶數(shù)項的兩項無中項.如例1中，a2、a3無中項，a1、a6無中項等等.

二、等差中項的性質(zhì)和判斷若3個數(shù)ap、aq、ar（或等差數(shù)列中的某3項）成等差數(shù)列，則稱中間的一項aq為前后兩項ap和ar的等差中項.容易知道，aq為ap和ar等差中項的完全條件是：.它的圖形解釋為：以ap和ar為梯形的上、下底線，則aq是梯形的中位線.

圖1

【例2】等差數(shù)列{an}的公差d為正數(shù).設(shè)a1、a2是方程x2-a3x+a4=0的兩根.求和S=a6+a8+a10+a12+a14.【解答】聯(lián)立得d=a1=2故有S=5a10【說明】若將例2中的求和問題改作求S=a6+a9+a10+a11+a14，這里a6、a9、a10、a11、a14并不成等差數(shù)列，但其結(jié)果不變.其原因何在，留給讀者思考.

三、在里找中項等差數(shù)列{an}前n項和公式的圖形意義是：以a1，an分別為上、下底長，以n為高長的梯形面積公式.其中，為梯形中位線.

圖2

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，如n=2m-1.則a1,an間有中項：.亦即等差數(shù)列的中項.此時，Sn=S2m-1=(2m-1)a（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，如n=2m.則a1,an間無中項，不是中項，亦即等差數(shù)列無中項.可稱為數(shù)列的“中值”.此時，Sn=S2m=m(am+am+1顯然，“中項”是“中值”的特殊情況.當(dāng)數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)2n-1，則數(shù)列求和的梯形公式化為矩形公式：矩形的長是中項an，矩形的高是項數(shù)2n-1.即是等差數(shù)列前奇數(shù)項之和，等于項數(shù)與中項的積.【例3】（2004年福建卷）Sn為等差數(shù)列{an}前n項的和，若，求的值.【解答】題目所涉項數(shù)都是奇數(shù)，利用“矩形公式”可得S9=5a5、S5=5a故有（參考）【說明】解題的捷徑表現(xiàn)在“繞過了通項公式”.

四、中值數(shù)列如果{an}為等差數(shù)列，則由{an}中依次相鄰兩項的“中值”（n≥2）所形成的數(shù)列稱作{an}的“中值數(shù)列”.如數(shù)列{2,4,6,8}是數(shù)列{1,3,5,7,9}的中值數(shù)列.易知中值數(shù)列{bn}=也是等差數(shù)列.其首項為，其公差與{an}的公差相等，即如果將數(shù)列{an}的中值數(shù)列{bn-1}依次插入{an}，則得到一個新的數(shù)列——中值插補數(shù)列等差數(shù)列的中值插補數(shù)列也是等差數(shù)列，且首項為a1，公差為d,項數(shù)是（與n的奇偶性無關(guān)的）奇數(shù)2n-1,另外，三個數(shù)列：（1）原數(shù)列{an}，（2）中值數(shù)列{bn}；（3）中值插補數(shù)列有公共的中值【例4】設(shè)等差數(shù)列{cn}={c1,c2,…，c2007}的首項c1=a,公差為d.求{cn}中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的差.【解答】數(shù)列{cn}的奇數(shù)項組成以a為首項，2d為公差的等差數(shù)列.由2n-1=2007得其項數(shù)為n=1004，中值為c1004.其和S1004=1004c數(shù)列{cn}的偶數(shù)項組成以a+d為首項，2d為公差的等差數(shù)列{bn},項數(shù)為2007-1004=1003.中項仍為c1004其和T1003=1003c它們的差為S1004-T1003=1004c1004-1003c1004=c1004=a【說明】等差數(shù)列之和與它們中值數(shù)列之和的差正好是原等差數(shù)列的中值.

五、中項求和深入到高考綜合題【例5】（2007年湖北題）已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是A.2B.3C.4D.5【解答1】運用中值公式：=，可看出可見，當(dāng)且僅當(dāng)n=1，2，3，5，11時，為正整數(shù).【說明】本解實際上是一種特值法，特值是a1=26,b1=2,d1=7,d2=1.如果將它們同時乘以一個不為0的實數(shù)k，則為數(shù)列{an}和{bn}的一般情況.

【解答2】運用中項定理，.可見，當(dāng)且僅當(dāng)n=1，2，3，5，11時，為正整數(shù).【說明】這里，分別將數(shù)列{an}、{bn}的項數(shù)設(shè)為奇數(shù)，是否代表問題的一般性？將an、bn分別視作數(shù)列{a2n-1}和{b2n-1}的中項，這里具備一般性，至于分別從它們出發(fā)構(gòu)造出來的和數(shù)列A2n-1、B2n-1，自然也具備著一般性.題根研究圖象變換的順序?qū)じ?、圖象變換的四種類型從函數(shù)y=f(x)到函數(shù)y=Af()+m，其間經(jīng)過4種變換：1.縱向平移——m變換2.縱向伸縮——A變換3.橫向平移——變換4.橫向伸縮——變換一般說來，這4種變換誰先誰后都沒關(guān)系，都能達到目標(biāo)，只是在不同的變換順序中，“變換量”可不盡相同，解題的“風(fēng)險性”也不一樣.以下以y=sinx到y(tǒng)=Asin()+m為例，討論4種變換的順序問題.

【例1】函數(shù)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換而得到？【解法1】第1步，橫向平移：將y=si