2022-2023學(xué)年浙江省溫州市龍港市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市龍港市八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選、多選、錯選，均不給分）1．下列圖形分別是無公害食品、綠色食品、有機食品和安全食品的圖標，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)是（）A．40° B．60° C．80° D．100°3．已知三角形的兩條邊長分別等于4cm和9cm，則第三邊的長可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm4．可以用來說明命題“若a＞b，則|a|＞|b|”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝0，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝1，b＝0 C．a(chǎn)＝2，b＝1 D．a(chǎn)＝2，b＝﹣15．如圖，已知∠BDA＝∠CDA，要使△ABD與△ACD全等，則添加的條件可以是（）A．∠BAD＝∠CAD B．AB＝AC C．BD＝AC D．∠B＝∠DAC6．如圖，上午8時，漁船從A處出發(fā)，以20海里/時的速度向正西方向航行，9時30分到達B處．從A處測得燈塔C在南偏西30°方向，距A處30海里處．則B處到燈塔C的距離是（）A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里7．分別以下列四組數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．，， B．，， C．2，3，4 D．9，12，158．已知等腰三角形的一個內(nèi)角是30°，那么這個等腰三角形頂角的度數(shù)是（）A．75° B．120° C．30° D．30°或120°9．如圖，將等邊△ABC折疊，使得點C落在AB邊上的點D處，EF是折痕，若∠ADE＝90°，AD＝1，則AC的長是（）A．2 B．4 C．2 D．2+10．三國時期的趙爽利用圖1證明了勾股定理，后來日本的數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在“趙爽弦圖”的啟發(fā)下利用圖2也證明了勾股定理．在圖2中，E，B，F(xiàn)在同一條直線上，四邊形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面積等于100，△IJD面積等于，且已知AH＝2，則△KCD的面積等于（）A． B．39 C． D．52二、填空題（本題有8小題，每小題3分，共24分）11．寫出命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的逆命題：．12．如圖，AD是等腰△ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD＝．13．直角三角形兩直角邊長為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線的長是．14．如圖所示，在△ABC中，AD為△ABC的中線，E為AD的中點．若△ABC的面積為4，則△AEC的面積為．15．如圖，點P是∠AOC的角平分線上一點，PD⊥OA，垂足為點D，且PD＝3，點M是射線OC上一動點，則PM的最小值為．16．如圖，已知AD，CE是△ABC的兩條高線，AD＝CE，∠CAD＝25°，則∠OCD＝度．17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若BC＝3，則△AFH的周長為．18．商場衛(wèi)生間旋轉(zhuǎn)門鎖的局部圖如圖1所示，圖2是其工作簡化圖．鎖芯O固定在距離門邊（即EF）3.5cm處（即OD＝3.5cm），在自然狀態(tài)下，把手豎直向下（把手底端到達A處）．旋轉(zhuǎn)一定角度，使得把手底端B恰好卡在門邊，此時底端A，B的豎直高度差為0.5cm，則OB的長度是cm．當(dāng)把手旋轉(zhuǎn)到OC⊥OB時，點C與點B的高度差BH是cm．三、解答題（本題有6小題，共46分，解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）19．已知：如圖，AC＝BD，AD＝BC．求證：∠C＝∠D．20．如圖，AE，AD分別是△ABC的高線和角平分線，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)．21．方格紙中小正方形的頂點叫格點，點A和點B是格點，位置如圖．（1）在圖1中確定格點C，使得△ABC是直角三角形，畫出一個這樣的△ABC，并直接寫出線段AB的長．（2）在圖2中確定格點D，使得△ABD是等腰三角形，畫出一個這樣的△ABD．22．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊AB上一點，以CD為邊向上作等邊△CDE，連結(jié)AE．（1）求證：△BCD≌△ACE．（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的長．23．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．三角形背景下角的關(guān)系探索素材1如圖，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延長線上取點E，連結(jié)AE，作AE的中垂線交射線BC于點D，連結(jié)AD．素材2研究一個幾何問題時，一般先根據(jù)幾何語言畫出幾何圖形．可能需要分類討論．素材3當(dāng)我們要論證一個一般性結(jié)論時，常常將問題先分成幾種特例，在研究特例的過程中尋求規(guī)律，總結(jié)方法，猜測結(jié)論，再將規(guī)律、方法和結(jié)論遷移到一般情形中，這種數(shù)學(xué)推理方法叫做歸納法．問題解決任務(wù)1補全圖形請根據(jù)素材1，把圖形補全．你畫的點D在點C的側(cè)．任務(wù)2特例猜想有下列條件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；請從中選擇你認為合適的一個或兩個條件作為已知條件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜測∠BAD與∠CAE的數(shù)量關(guān)系．任務(wù)3一般結(jié)論請根據(jù)你在任務(wù)1中所畫的一般情況下的圖形，寫出∠BAD與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．任務(wù)4拓展延伸除了你在任務(wù)1中所畫的情形外，點D相對于點C的位置還有不同的情形嗎？若有，請畫出圖形，并直接寫出∠BAD與∠CAE的數(shù)量關(guān)系．24．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，將一塊足夠大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動（不與點A，B重合），三角尺的直角邊PE始終經(jīng)過點C，斜邊PF交AC于點D．（1）當(dāng)PD∥BC時，判斷△BCP的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)△PCD是等腰三角形時，求出所有滿足要求的BP的長；（3）記點C關(guān)于PD的對稱點為C′，當(dāng)C′D⊥AC時，AP的長是．

參考答案一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選、多選、錯選，均不給分）1．下列圖形分別是無公害食品、綠色食品、有機食品和安全食品的圖標，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．解：選項B能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；選項A、C、D不能找到這樣的一條直線，使這些圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時互相重合．2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)是（）A．40° B．60° C．80° D．100°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果．解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理．熟記三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．3．已知三角形的兩條邊長分別等于4cm和9cm，則第三邊的長可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【分析】已知三角形的兩邊長分別為4cm、9cm，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；即可求第三邊長的范圍．解：設(shè)第三邊長為xcm，則由三角形三邊關(guān)系定理得9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13．因此，本題的第三邊應(yīng)滿足5＜x＜13，把各項代入不等式符合的即為答案．只有9cm符合不等式．故選：C．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．4．可以用來說明命題“若a＞b，則|a|＞|b|”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝0，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝1，b＝0 C．a(chǎn)＝2，b＝1 D．a(chǎn)＝2，b＝﹣1【分析】反例就是要符合命題的題設(shè)，不符合命題的結(jié)論的例子．解：當(dāng)a＝0，b＝﹣1時，a＞b，但|a|＜|b|，故選：A．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．5．如圖，已知∠BDA＝∠CDA，要使△ABD與△ACD全等，則添加的條件可以是（）A．∠BAD＝∠CAD B．AB＝AC C．BD＝AC D．∠B＝∠DAC【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個選項逐一分析即可得出答案．解：A、∵∠BDA＝∠CDA，AD為公共邊，若∠BAD＝∠CAD，符合全等三角形判定定理，能判定△ABD≌△ACD（ASA）；B、∵∠BDA＝∠CDA，AD為公共邊，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠BDA＝∠CDA，AD為公共邊，若BD＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；D、∵∠BDA＝∠CDA，AD為公共邊，若∠B＝∠DAC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故選：A．【點評】此題主要考查學(xué)生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖，上午8時，漁船從A處出發(fā)，以20海里/時的速度向正西方向航行，9時30分到達B處．從A處測得燈塔C在南偏西30°方向，距A處30海里處．則B處到燈塔C的距離是（）A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里【分析】根據(jù)所給的角的度數(shù)，容易證得△BCA是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，BC的值也可以求出．解：連接BC，據(jù)題意得，∠1＝30°，AB＝20×＝30，∴∠BAC＝90°﹣∠1＝60°，∵AC＝30，∴AB＝AC，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝30（海里）．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及方向角的問題；由已知得到三角形是等腰三角形是正確解答本題的關(guān)鍵．要學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識進行解決實際問題的方法．7．分別以下列四組數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．，， B．，， C．2，3，4 D．9，12，15【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷各個選項中的三條線段能否構(gòu)成直角三角形．解：A、（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；B、（）2+（）2≠（）2，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；C、32+22≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不合題意；D、92+122＝152，能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能作出判斷．8．已知等腰三角形的一個內(nèi)角是30°，那么這個等腰三角形頂角的度數(shù)是（）A．75° B．120° C．30° D．30°或120°【分析】等腰三角形的一個內(nèi)角是30°，則該角可能是底角，也可能是頂角，注意分開計算．解：分兩種情況：當(dāng)30°的角是底角時候，則頂角度數(shù)為120°；當(dāng)30°的角是頂角時候，則頂角為30°．故選：D．【點評】在解決此類問題的時候，要注意將問題的所有可能的情況找出，分別進行計算．9．如圖，將等邊△ABC折疊，使得點C落在AB邊上的點D處，EF是折痕，若∠ADE＝90°，AD＝1，則AC的長是（）A．2 B．4 C．2 D．2+【分析】首先由折疊得出DE＝CE，利用等邊△ABC和∠ADE＝90°，AD＝1，得出AE＝2，利用勾股定理得出DE，即可求得AC的長．解：∵將等邊△ABC折疊，使得點C落在AB邊上的點D處，∴DE＝CE，∠A＝60°，∵∠ADE＝90°，AD＝1，∴AE＝2AD＝2，∴DE＝，∴AC＝AE+CE＝AE+DE＝2+，故選：D．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30°角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找出相等的邊，轉(zhuǎn)化問題是解決問題的關(guān)鍵．10．三國時期的趙爽利用圖1證明了勾股定理，后來日本的數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在“趙爽弦圖”的啟發(fā)下利用圖2也證明了勾股定理．在圖2中，E，B，F(xiàn)在同一條直線上，四邊形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面積等于100，△IJD面積等于，且已知AH＝2，則△KCD的面積等于（）A． B．39 C． D．52【分析】設(shè)GH＝GD＝x，則AG＝x+2，由勾股定理得出（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，則DJ＝6，由勾股定理求出BE＝6，證明△AHI≌△BFK（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AI＝BK＝，則可得出答案．解：∵四邊形ABCD和四邊形GDJH是正方形，正方形ABCD的面積等于100，∴AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，設(shè)GH＝GD＝x，則AG＝x+2，∵AG2+DG2＝AD2，∴（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，x＝﹣8舍去，∴DJ＝6，∵△IJD面積等于，∴，∴IJ＝，∴IH＝HJ﹣IJ＝6﹣＝，∴AI＝＝＝，∵AB＝10，AE＝AG＝8，∴BE＝＝＝6，∴BF＝2，∴AH＝BF，∵∠EAG＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠GAD＝∠BAE，∠BAE＝∠FBK，∵∠BFK＝∠AHI＝90°，∴△AHI≌△BFK（ASA），∴AI＝BK＝，∴CK＝BC﹣BK＝10﹣＝，∴△KCD的面積＝CD?CK＝．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題有8小題，每小題3分，共24分）11．寫出命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】將原命題的條件與結(jié)論互換即得到其逆命題．解：∵原命題的條件為：兩直線平行，結(jié)論為：內(nèi)錯角相等∴其逆命題為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點評】考查學(xué)生對逆命題的定義的理解及運用．12．如圖，AD是等腰△ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD＝5．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．解：∵AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，∴AD是等腰三角形ABC的底邊BC上的中線，∴CD＝BD，∵BD＝5，∴CD＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．13．直角三角形兩直角邊長為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線的長是．【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．解：∵直角三角形兩直角邊長為5和12，∴斜邊＝13，∴此直角三角形斜邊上的中線的長＝．故答案為：．【點評】此題主要考查勾股定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的綜合運用．14．如圖所示，在△ABC中，AD為△ABC的中線，E為AD的中點．若△ABC的面積為4，則△AEC的面積為1．【分析】根據(jù)△ACD的面積為△ABC面積的一半，△AEC的面積為△ACD面積的一半，即可得答案．解：∵AD為△ABC的中線，E為AD的中點，根據(jù)等底同高可知，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝2，S△AEC＝S△ACD＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了三角形的面積，關(guān)鍵是利用三角形中線平分三角形的面積這一性質(zhì)計算即可．15．如圖，點P是∠AOC的角平分線上一點，PD⊥OA，垂足為點D，且PD＝3，點M是射線OC上一動點，則PM的最小值為3．【分析】根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，即可得出答案．解：根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，當(dāng)PM⊥OC時，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知AD，CE是△ABC的兩條高線，AD＝CE，∠CAD＝25°，則∠OCD＝40度．【分析】由AD，CE是△ABC的兩條高線，得∠ADC＝∠CEA＝90°，而AC＝CA，AD＝CE，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△ADC≌Rt△CEA，得∠CAD＝∠ACE＝25°，則∠ACD＝∠65°，∠OCD＝∠ACD﹣∠ACE＝40°．解：∵AD，CE是△ABC的兩條高線，∴AD⊥CB，CE⊥AD，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠CAD＝∠ACE＝25°，∵∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝∠65°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACE＝65°﹣25°＝40°，故答案為：40．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明Rt△ADC≌Rt△CEA是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若BC＝3，則△AFH的周長為6．【分析】直接利用基本作圖方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案．解：由基本作圖方法得出：DE垂直平分AB，則AF＝BF，可得AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3，∴△AFH的周長為：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解題關(guān)鍵．18．商場衛(wèi)生間旋轉(zhuǎn)門鎖的局部圖如圖1所示，圖2是其工作簡化圖．鎖芯O固定在距離門邊（即EF）3.5cm處（即OD＝3.5cm），在自然狀態(tài)下，把手豎直向下（把手底端到達A處）．旋轉(zhuǎn)一定角度，使得把手底端B恰好卡在門邊，此時底端A，B的豎直高度差為0.5cm，則OB的長度是12.5cm．當(dāng)把手旋轉(zhuǎn)到OC⊥OB時，點C與點B的高度差BH是15.5cm．【分析】過B作BM⊥OA于M，過C作CG⊥AO交AO延長線于G，CG交EF于H，由題意可得：AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm，設(shè)OB＝OA＝xcm，在Rt△BOM中，有（x﹣0.5）2+3.52＝x2，即可解得OB＝12.5cm＝OA，知BD＝OM＝OA﹣AM＝12cm，證明△BOM≌△OCG（AAS），即得OG＝BM＝3.5cm，從而可得BH＝BD+DH＝15.5（cm）．解：過B作BM⊥OA于M，過C作CG⊥AO交AO延長線于G，CG交EF于H，如圖：由題意可得：AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm，設(shè)OB＝OA＝xcm，在Rt△BOM中，OM2+BM2＝OB2，∴（x﹣0.5）2+3.52＝x2，解得x＝12.5，∴OB＝12.5cm＝OA，∴BD＝OM＝OA﹣AM＝12.5﹣0.5＝12cm，∵OC⊥OB，∴∠BOM＝90°﹣∠COG＝∠GCO，∵OB＝OC，∠CGO＝90°＝∠BMO，∴△BOM≌△OCG（AAS），∴OG＝BM＝3.5cm，∴DH＝OG＝3.5cm，∴BH＝BD+DH＝12+3.5＝15.5（cm），故答案為：12.5，15.5．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟練掌握“K型”全等的應(yīng)用．三、解答題（本題有6小題，共46分，解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）19．已知：如圖，AC＝BD，AD＝BC．求證：∠C＝∠D．【分析】由AC＝BD、BC＝AD、AB＝BA，根據(jù)全等三角形的判定定理“SSS”證明△ABC≌△BAD，則∠C＝∠D．【解答】證明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠C＝∠D．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明△ABC≌△BAD是解題的關(guān)鍵．20．如圖，AE，AD分別是△ABC的高線和角平分線，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】△ABC中已知∠B＝40°，∠C＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)可求出∠BAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ADE，則∠DAE＝90°﹣∠ADE．解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．【點評】本題考查的是三角形的角平分線和高的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．21．方格紙中小正方形的頂點叫格點，點A和點B是格點，位置如圖．（1）在圖1中確定格點C，使得△ABC是直角三角形，畫出一個這樣的△ABC，并直接寫出線段AB的長．（2）在圖2中確定格點D，使得△ABD是等腰三角形，畫出一個這樣的△ABD．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形，利用勾股定理求出AB即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．解：（1）如圖1中，△ABC即為所求，AB＝＝5；（2）如圖2中，△ADB即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．22．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊AB上一點，以CD為邊向上作等邊△CDE，連結(jié)AE．（1）求證：△BCD≌△ACE．（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的長．【分析】（1）由△ABC和△CDE都是等邊三角形，得CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，則∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BCD≌△ACE；（2）由△BCD≌△ACE，得BD＝AE＝1，則AD＝AB﹣BD＝2．【解答】（1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵△BCD≌△ACE，AE＝1，AB＝3，∴BD＝AE＝1，∴AD＝AB﹣BD＝3﹣1＝2，∴AD的長是2．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明∠BCD＝∠ACE是解題的關(guān)鍵．23．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．三角形背景下角的關(guān)系探索素材1如圖，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延長線上取點E，連結(jié)AE，作AE的中垂線交射線BC于點D，連結(jié)AD．素材2研究一個幾何問題時，一般先根據(jù)幾何語言畫出幾何圖形．可能需要分類討論．素材3當(dāng)我們要論證一個一般性結(jié)論時，常常將問題先分成幾種特例，在研究特例的過程中尋求規(guī)律，總結(jié)方法，猜測結(jié)論，再將規(guī)律、方法和結(jié)論遷移到一般情形中，這種數(shù)學(xué)推理方法叫做歸納法．問題解決任務(wù)1補全圖形請根據(jù)素材1，把圖形補全．你畫的點D在點C的右側(cè)．任務(wù)2特例猜想有下列條件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；請從中選擇你認為合適的一個或兩個條件作為已知條件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜測∠BAD與∠CAE的數(shù)量關(guān)系．任務(wù)3一般結(jié)論請根據(jù)你在任務(wù)1中所畫的一般情況下的圖形，寫出∠BAD與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．任務(wù)4拓展延伸除了你在任務(wù)1中所畫的情形外，點D相對于點C的位置還有不同的情形嗎？若有，請畫出圖形，并直接寫出∠BAD與∠CAE的數(shù)量關(guān)系．【分析】任務(wù)一：畫出圖形可得結(jié)論；任務(wù)二：選擇②∠B＝40°；③∠CEA＝20°．進行探究即可；任務(wù)三：結(jié)論：∠BAD＝2∠CAE．設(shè)∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y(tǒng)．利用角的和差定義，三角形的外角的性質(zhì)求解即可；任務(wù)四：有，如圖所示：結(jié)論：∠BAD＝2∠CAE．解：任務(wù)一：圖形如圖所示：點D在點C的右側(cè)．故答案為：右；任務(wù)二：選擇②∠B＝40°；③∠CEA＝20°．∵BA＝BC，∠B＝40°，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠E＝20°，∵∠ACB＝∠E+∠CAE，∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°．猜想：∠BAD＝2∠CAE；任務(wù)三：結(jié)論：∠BAD＝2∠CAE．理由：設(shè)∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y(tǒng)．∵BA＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y(tǒng)+2x，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，∴∠BAD＝2∠CAE．任務(wù)四：有，如圖所示：結(jié)論：∠BAD＝2∠CAE．理由：設(shè)∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y(tǒng)．∵