命題、定理、證明

學(xué)大個(gè)性化輔導(dǎo)教案課題命題、定理、證明學(xué)生學(xué)生年級(jí)七年級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)教師學(xué)管師咨詢師上課時(shí)間教案1〔〕教案2〔〕教學(xué)目標(biāo)通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)的一些命題和證明的定理，向?qū)W生介紹一些簡(jiǎn)單的邏輯知識(shí)，邏輯的概念和術(shù)語(yǔ)，結(jié)合學(xué)生學(xué)過(guò)的圖形的性質(zhì)和判定，用具體的例子說(shuō)明什么是命題，命題的組成和命題的真假教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)重點(diǎn)：注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，對(duì)證明步驟，格式，要讓學(xué)生抄寫，模仿，熟悉證明的步驟與格式。難點(diǎn)：掌握一個(gè)命題，一定要分清它的題設(shè)和結(jié)論，可以找出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是十分重要的問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)一、對(duì)于學(xué)生上節(jié)課的作業(yè)完成情況及完成質(zhì)量進(jìn)展檢查，通過(guò)學(xué)生的作業(yè)了解學(xué)生在哪些方面還存在一定的欠缺，及時(shí)的進(jìn)展再次講解，讓學(xué)生在知識(shí)的掌握方面無(wú)死角。二、對(duì)于本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)展講解，本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)為命題、定理和證明的相關(guān)知識(shí)，主要是讓學(xué)生掌握什么是命題以及命題的真假性，以及一般證明題的書寫步驟，讓學(xué)生先進(jìn)展填空的練習(xí)，然后逐漸鍛煉自己獨(dú)立的進(jìn)展書寫。三、對(duì)于本節(jié)課的習(xí)題進(jìn)展講解，在講解的時(shí)候注意重點(diǎn)類型題的分類講解，讓學(xué)生能夠掌握解決這些問(wèn)題的思路和方法，這是最重要的，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。四、對(duì)于本節(jié)課作業(yè)進(jìn)展布置。一、對(duì)于上節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)和典型習(xí)題的解題方法進(jìn)展及時(shí)的回憶，看看學(xué)生在哪些方面存在一定的欠缺，及時(shí)的進(jìn)展講解，讓學(xué)生能夠良好的進(jìn)展掌握。二、對(duì)于本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)展理解，在理解知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候一定要注意與習(xí)題的實(shí)際結(jié)合，同時(shí)對(duì)于本節(jié)課的典型例題進(jìn)展練習(xí)，認(rèn)真的聽(tīng)取教師進(jìn)展講解，及時(shí)的完善課堂筆記。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、判斷一件事情的句子，叫命題。2、每個(gè)命題都是由題設(shè)，結(jié)論兩局部組成的。題設(shè)是事項(xiàng);結(jié)論是由事項(xiàng)推出的未知事項(xiàng)。3、如果一個(gè)命題表達(dá)的事情是真的，則稱它是真命題；如果一個(gè)命題表達(dá)的事情是假的，則稱它是假命題。4、從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過(guò)講道理〔推理〕，得出它的結(jié)論成立，這個(gè)過(guò)程叫作證明例題/課上習(xí)例1?判斷以下語(yǔ)句是不是命題：線段的中點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；過(guò)直線外的任一點(diǎn)畫直線的垂線；凡直角都相等；>不相等的兩個(gè)角不是對(duì)頂角；與兩平行線中的一條相交的直線，也必與另一條相交。思考：1.你知道什么叫命題嗎？2.怎樣判定一個(gè)句子是命題？思路分析：判斷一件事情的句子，叫做命題。由此可知，判定一件事情的句是否是命題，則它應(yīng)該對(duì)一件事情有所肯定或否認(rèn)，作出明確判斷，否則，它就不是命題，根據(jù)這一分析，思路自然清晰。解：根據(jù)命題的定義可知：1,2,4,5,6是命題；3不是命題。例2.將以下各句改寫成"如果......，則......的形式。對(duì)頂角相等；等角的余角相等；垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；同旁角互補(bǔ)，兩直線平行；同圓的半徑相等。思考：1.如何把省略掉的詞語(yǔ)重新補(bǔ)上？2.根據(jù)命題你能畫出圖形嗎？根據(jù)圖形，能寫出"如果......，則......的命題嗎？3.對(duì)省去"如果、"則的命題如何進(jìn)展分析？思路分析：省略掉詞語(yǔ)的命題通常采取仔細(xì)分析，把省略掉的詞語(yǔ)重新補(bǔ)上，或根據(jù)命題畫出準(zhǔn)確圖形，再根據(jù)圖形，把命題完整寫出來(lái)，根據(jù)這些方法研究，我們便可著手改寫了。解：1.如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等；如果兩個(gè)角是等角的余角，則這兩個(gè)角相等；如果兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁角互補(bǔ)，則這兩條直線平行；如果兩條半徑是同圓的兩條半徑，則這兩條半徑相等。例3.指出以下命題的題設(shè)局部和結(jié)論局部直角都相等；互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直；直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短；銳角大于它的補(bǔ)角；大于90°而小于180°的角是鈍角；兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。思考：1.每個(gè)命題都由哪兩局部組成？請(qǐng)你說(shuō)出來(lái)。2.題設(shè)表示什么意思？結(jié)論表示什么意思？3.命題中沒(méi)有明顯突出題設(shè)與結(jié)論又如何入手呢？能否改寫成"如果則形式呢？4.命題的題設(shè)與結(jié)論不好用文字表達(dá)時(shí)，可否用符號(hào)寫出題設(shè)與結(jié)論呢？又如何表示？思路分析：解答這類問(wèn)題，必須弄清命題由哪兩局部組成，進(jìn)一步弄明白題設(shè)與結(jié)論所表示的意思。便可找出題設(shè)與結(jié)論。對(duì)省略掉詞語(yǔ)的命題應(yīng)先設(shè)法補(bǔ)上，再著手找題設(shè)與結(jié)論。命題的題設(shè)與結(jié)論不好用文字表達(dá)時(shí)，要用符號(hào)寫出題設(shè)和結(jié)論，但必須說(shuō)明符號(hào)所表示的意義。根據(jù)上述分析，便可找出1?6題的題設(shè)局部和結(jié)論局部。解：1.題設(shè)：兩個(gè)角都是直角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等。題設(shè)：互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的兩條平分線；結(jié)論：這兩個(gè)角平分線互相垂直。題設(shè)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段；結(jié)論：垂線段最短。題設(shè)：Z是Z的補(bǔ)角，且90°<Z<180°；結(jié)論：z>z題設(shè)：90°<Z<180°;結(jié)論：Z是鈍角。題設(shè)：兩個(gè)角的和等于平角；結(jié)論：這兩個(gè)角互補(bǔ)。例4.判斷以下命題的真假，如果是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由。兩點(diǎn)之間，線段最短。如果一個(gè)數(shù)的平方是9,則這個(gè)數(shù)是3。同旁角互補(bǔ)。過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與直線平行。如果a+b=0,則a=0,b=0。兩個(gè)銳角的和是銳角。思考：1.什么叫命題？2.什么叫真命題？3.什么叫做假命題？4.判別假命題的方法是什么？請(qǐng)你表達(dá)。思路分析：要判定一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子〔反例〕即可。于是以上各題真假便眉目清楚了。解：1.真命題，這是關(guān)于線段的一個(gè)公理。假命題，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方是9,這個(gè)數(shù)也可能是-3。假命題，任意二條直線被第三條直線所截，都有同旁角產(chǎn)生，只有兩條平行線被第三直線所截，才有同旁角互補(bǔ)的結(jié)論。假命題，如果這個(gè)點(diǎn)在直線上，就無(wú)法作出一條直線與直線平行。假命題，如果a=2,b=-2,2+(-2)=0，但a=2=0,b=-2=0。假命題，如60°和50°的角都是銳角，但它們的和是鈍角。例5.區(qū)分以下語(yǔ)句中，哪些是定義，哪些是公理，哪些是定理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線；兩點(diǎn)之間，線段最短；有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角；對(duì)頂角相等；垂線段最短。思考：1.定義，公理，定理的容你知道嗎？2.定義，公理，定理有何區(qū)別？思路分析：只要理解定義，公理，定理的意義，便可一一區(qū)分誰(shuí)是定義，誰(shuí)是公理，誰(shuí)是定理。解：(1)、(2)是公理；(3)是定義；(4)、(5)是定理。一、填空題：命題常寫成"如果......，則......的形式，在這種形式中，用"開(kāi)場(chǎng)的局部是題設(shè)，用"開(kāi)場(chǎng)由局部是結(jié)論。將命題"等角的余角相等改寫成"如果......，則的形式為。ZAOB為銳角，直線1110A,直線121OB，則11和12的關(guān)系為。圖14如圖14所示，直線1llm,假設(shè)Z=70。，則Z=。圖14如圖15所示，a|b,Z1-2Z2=60。，則Z1=;Z2=O這個(gè)命題中題設(shè)是。是。"同位角相等，兩直線平行這個(gè)命題中題設(shè)是。是。"過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線叫做命題，每個(gè)命題都是由；兩圖15如果題設(shè)成立，則結(jié)論也成立，這樣的命題叫做。證明一個(gè)命題的步驟是：根據(jù)題意；根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出；。經(jīng)過(guò)分析，找出由推出的途徑，寫出。二、選擇以下語(yǔ)句中，不是命題的是。兩點(diǎn)之間，線段最短；對(duì)頂角不相等；連結(jié)A、B兩點(diǎn)；。.不重合的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)。給出以下四個(gè)命題：①同角的余角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線垂直。其中真命題有。4個(gè)。如圖16，以下推理中正確的選項(xiàng)是。?.N1=N2,「.AB|CDvZABC+ZBCD=180°,aADWBCvAD|BC,aZ3=Z4vZABC=ZADC,Z1=Z2,aAB|CD圖16以下命題，正確的選項(xiàng)是。圖16如果Z=180°-Z，則Z是補(bǔ)角；如果Z+Z=90。則Z是余角；40°角是50°的余角；余角是補(bǔ)角的一半。將命題"對(duì)頂角相等改成"如果......，則......的形式正確的選項(xiàng)是。如果兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角；如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等；如果兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角；如果兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等。以下語(yǔ)句是命題的是。(1)過(guò)一點(diǎn)作直線的垂線；⑵如果a//b且b//c,則a//c；Z1=Z2,Z2=Z3，則Z1=Z3；同位角互補(bǔ)，兩直線平行。A.(2)；B.⑵、(3)；C.(2)、(3)、(4)；D.(1)、(2)、(3)、(4)以下命題，正確的選項(xiàng)是。兩銳角的和是直角；假設(shè)ZAOB+ZBOC=90°，則ZAOC是直角；假設(shè)Z是Z的鄰補(bǔ)角，則Z與Z中一定有一個(gè)是鈍角，一個(gè)是銳角；假設(shè)Z與Z互為余角，則Z、Z均為銳角。以下命題是假命題的是。A.垂線段最短；B.對(duì)頂角相等；C.同位角相等；D.一個(gè)銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)銳角。以下命題中，假命題是。沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線必定平行；同一平面，l上1，垂足為A,l上1垂足為B,A、B兩點(diǎn)不重合，則lH；1221直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短；兩條平行直線被第三條直線所截，則同位角的角平分線平行。以下四個(gè)命題中，真命題是。如果一個(gè)角有補(bǔ)角，則這個(gè)角必是鈍角；如果一個(gè)角有余角，則這個(gè)角必是銳角；互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是鄰補(bǔ)角；如果Z1+Z2+Z3=180。，則Z1,Z2,Z3互補(bǔ)。三、解答題根據(jù)以下命題，畫出圖形，并寫出和求證：鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直；兩直線平行，錯(cuò)角相等。點(diǎn)C,C，分別是AB、A，B，的中點(diǎn)，AC=AC,求證：AB=A'B.圖17AC1BC,ZACD=ZCDE,圖17圖18求證：DE1BCo〔如圖17圖18〔如圖18所示JZ1+Z2=180°,求證：Z3+Z4=180°?！踩鐖D19所示JAB//CD,E、F分別與AB、CD交于G、H,MN過(guò)點(diǎn)G垂直于AB,GK是ZMGB的平分線，ZCHG=120°，求ZMGE和ZKGE的度數(shù)。圖19圖20Z1=30°,Z2=38°，求Z3的度數(shù)。：如圖21所示，BE平分ZABC,ZCBF=ZCFB=65°,ZEDF=50°,求證：BCIIAEO圖21圖22：如圖22所示，ACIIDE,DCIIEF,CD平分ZBCA,求證：EF平分ZBEDo圖21圖22圖23,AD1BC于D,EF1BC于F,ZE=Z3，求證：AD平分ZBACO30.,如圖24,ZCOF+ZC=180°,ZC=ZB,求證：ABIIEFO四、同步題庫(kù)一、填空題：圖23圖24如果，則；2.如果兩個(gè)角是等角，則這兩個(gè)角相等；3.相交；4.50°;5.140°,40°;6.同位角相等；7.公理；8.判斷*一件事情的句子，題設(shè)，結(jié)論；9.真命題；10.①畫出圖形；②、求證；③，求證，證明的過(guò)程。Ao?二、選擇題C；12.B；13.D；14.C；15.B；16.C；17.D；18.C；19.A；B。三、解答題(1)如圖25,ZAOC與ZBOC為鄰補(bǔ)角,OD為ZAOC平分線，OE為ZBOC平分線，求證：ODHE。圖25二(2)如圖26,直線alb，求證：Z1=Z2。證明：lC為AB中點(diǎn)〔〕1???AC=2AB〔中點(diǎn)定義〕?.C為A0中點(diǎn)〔〕1.?.AG=2A，B，〔中點(diǎn)定義〕圖26?.?AC=A'C〔〕1AB=2A0〔等量代換〕???AB=A0〔等式性質(zhì)〕證明:VZACD=ZCDBCJ.??AC//DE〔錯(cuò)角相等，兩直線平行〕ZDEB=ZACBt兩直線平行，同位角相等〕?/AC1BC〔〕ZACB=90?！泊怪倍x〕ZDEB=90。〔等量代換〕DE1BC〔垂直定義〕證明：?.?Z2+N5=180°〔鄰補(bǔ)角定義〕Z1+Z2=180°tJ?Z1=Z5〔等角的補(bǔ)角相等〕aIIb〔同位角相等、兩直線平行〕?Z3=Z6t兩直線平行，同位角相等〕?/Z6+Z4=180°t鄰補(bǔ)角定義〕/.Z3+Z4=180°t等量代換〕解:vMNlABtJZMGB=90°=ZAGMt垂直定義〕?.?GK平分ZMGBtJ1ZMGK=2ZMGB=45°〔角平分線定義〕?.?ABIDC〔〕/.ZAGE=ZCHG=120°t兩直線平行，同位角相等〕/.ZMGE=ZAGE-ZAGM=30°/.ZKGE=ZKGM-ZMGE=45°-30°=15°解：?.?AB|DC〔〕?Z2=Z4=38°〔兩直線平行，錯(cuò)角相等〕?.N1=30°〔〕/.Z1+Z4=68°=ZA?.?ADIBC〔〕/.Z3=ZA=68°〔兩直線平行，同位角相等〕證明:.BE平分ZABCtJ/.ZABE=ZEBCZABC=2ZABEt角平分線定義〕?/ZCBF=ZCFB=65°tJ/.ZFBA=ZCFB=65°.?.ABlDCt錯(cuò)角相等，兩直線平行〕?ZEDF=ZAt兩直線平行，同位角相等〕?.NEDF=50°t〕ZA=50。〔等量代換〕/.ZA+ZABC=50°+130°=180°?.?BClAEt同旁角互補(bǔ)，兩直線平行〕證明：—。叫日。/.ZACD=ZEDCt兩直線平行，錯(cuò)角相等〕?.?DC//EF〔〕/.ZDCE=ZBEFt兩直線平行，同位角相等〕ZEDC=ZFEDt兩直線