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一階微分方程的一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問題解法及應(yīng)用

第七章一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解變量代換法代換因變量代換某組合式三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型可分離變量方程齊次方程線性方程代換自變量例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解(2)

這是一個(gè)齊次方程，令y=ux,化為分離變量方程:方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(伯努利方程)(分離變量方程)原方程化為令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為例3.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2003考研)

(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)由一階線性微分方程解的公式得于是練習(xí)題:(只考慮方法及步驟)P353題3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分離變量方程:提示:

這是一階線性方程,P353題3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)通解公式：提示:

可化為關(guān)于

x

的一階線性方程提示:

為伯努利方程,令提示:可化為伯努利方程令公式提示:

為可降階方程,令原方程化為,即則故原方程通解提示:令二、解微分方程應(yīng)用問題利用共性建立微分方程,利用個(gè)性確定定解條件.關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型,要點(diǎn):思考:

能否根據(jù)草圖列方程?P354題5.

已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:

設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱P354題6.已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在30分鐘后使車間空的含量不超過0.06%?提示:設(shè)每分鐘應(yīng)輸入

t時(shí)刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入

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