余弦調(diào)制濾波器組的優(yōu)化設(shè)計

摘要多速率濾波器組在通信信號處理、音/視頻的編碼、壓縮和識別、自適應(yīng)濾波、雷達(dá)信號處理、快速計算、系統(tǒng)辨識、噪聲消除等領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用。通過它可以有效地降低信號處理的復(fù)雜度、數(shù)據(jù)傳輸量和存儲量。近年來，余弦調(diào)制濾波器組受到了極大的關(guān)注并且是被廣泛使用的一類多速率濾波器組，它可以通過對低通原型濾波器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，并通過快速離散余弦變換(DCT)得到分析和綜合濾波器組，因此該濾波器組具有計算復(fù)雜度低和設(shè)計過程簡單等優(yōu)點。本論文主要討論了近似重構(gòu)的余弦濾波器組的設(shè)計方法。首先介紹了濾波器組的概念，然后給出基于此概念的余弦調(diào)制濾波器組(Cosine-ModulatedFilterBanks，CMFB)的設(shè)計及實現(xiàn)，然后提出了一種近似重構(gòu)的多帶余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計方法。采用凱澤窗設(shè)計法設(shè)計原型低通濾波器，在準(zhǔn)確重組的前提下，對低通濾波器系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。該方法優(yōu)化方便，收斂速度快，與其他方法相比濾波器的阻帶衰減大。對設(shè)計好的原型濾波器再進(jìn)行余弦調(diào)制，即得到余弦調(diào)制濾波器組。利用計算機(jī)對本文提出設(shè)計方法仿真，并進(jìn)行性能分析?！娟P(guān)鍵詞】M通道濾波器組余弦調(diào)制濾波器組近似重構(gòu)原型濾波器組Kaiser窗函數(shù)法計算機(jī)仿真ABSTRACTMultiratefilterbankshavevariousimportantapplicationsinincommunications,transmultiplexing,subbandcodingofspeechandimages,radar,adaptivefilter,denoising,systemindentificationandmanyotherfields.Therearemanyadvantagesofthefilterbankssuchasreducedcomputationalcomplexity,reducedtransmissionrate,reducedstoragerequirement.Inmultiratedigitalfilterbankssystem,thecosinemodulatedfilterbankshavereceivedwidespreadattentionandarethemostfrequentlyusedfilterbanksatpresent.Theycanachieveperfectreconstructionbyoptimizingtheprototypefilterandallanalysisandsynthesisfiltersareobtainedfromtheprototypefilter.Cosinemodulatedfilterbanksarewellknownfortheirlowdesignandimplementationcost.Inthispaper,thetheoryoffilterbanksisfirstlyoverviewed.ThenthedesignandimplementationmethodofthemultracarriermodulationbasedonCMFBarepresented.AmethodfordesigningM-bandcosine-modulatedfilterbankswithnearperfectreconstructionisproposed.UnderthepresumptionofPR,thecoefficientsofthelowpassprototypeareoptimized.Comparedwithotherdesignmethods,theproposedtechnigueyieldsPRfilterbankswithmuchhigherstopbankattenuation.Adesignexampleispresentedtoshowthatcosine-modulatedfilterbankswithhighstopattenuationcanbeachievedusingtheproposedmothod.Thispaperconsistsoftwotopics:prototypefilterdesignandCMFBperfectreconstruction.【Keywords】M-bandfilterbanksCosine-modulatedfilterbanksNearperfectreconstructionTheprototypefilterbanksKaisercomputersimulation目錄TOC\o"1-5"\h\z、/■ 、亠 L前言 5\o"CurrentDocument"第一章緒論 6\o"CurrentDocument"第一節(jié)濾波器組的概述 6\o"CurrentDocument"第二節(jié)濾波器組的發(fā)展和分類 7一、濾波器組發(fā)展 7二、濾波器組的分類 8\o"CurrentDocument"第三節(jié) 選題意義和研究內(nèi)容 9\o"CurrentDocument"第四節(jié) 本論文的主要工作 9\o"CurrentDocument"第二章濾波器組基礎(chǔ) 11第一節(jié) 濾波器組的基本概念 11\o"CurrentDocument"第二節(jié) 抽值器和插值器 12一、抽值器 12二、插值器 15\o"CurrentDocument"第三節(jié)M通道濾波器組 18一、濾波器組的基本關(guān)系 18二、 M通道濾波器組的設(shè)計 19\o"CurrentDocument"三、 調(diào)制濾波器組 19\o"CurrentDocument"本章小結(jié) 20第三章余弦調(diào)制濾波器組 21\o"CurrentDocument"第一節(jié)引言 21\o"CurrentDocument"第二節(jié)余弦調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu) 21\o"CurrentDocument"第三節(jié)余弦調(diào)制濾波器組的完全重構(gòu)條件 22\o"CurrentDocument"本章小節(jié) 26\o"CurrentDocument"第四章余弦調(diào)制濾波器組的優(yōu)化設(shè)計 27\o"CurrentDocument"第一節(jié)引言 27\o"CurrentDocument"第二節(jié)余弦調(diào)制濾波器組的優(yōu)化設(shè)計 27\o"CurrentDocument"第三節(jié)基于Kaiser窗函數(shù)法設(shè)計余弦調(diào)制濾波器組 28一、窗函數(shù)設(shè)計濾波器 28二、凱澤窗函數(shù)設(shè)計的原型濾波器 29\o"CurrentDocument"第四節(jié)仿真與分析 30\o"CurrentDocument"本章小節(jié) 33結(jié)論 34致謝 錯誤！未定義書簽。附錄 錯誤！未定義書簽。一、英文原文 錯誤！未定義書簽。二、英文翻譯 錯誤！未定義書簽。前言第一章緒論第一節(jié)濾波器組的概述隨著社會經(jīng)濟(jì)得法展，人類交往活動范圍的不斷擴(kuò)大，人們迫切需要交往中的各種信息，而移動通信則是達(dá)到通信最終目的的有效手段，隨著社會科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，特別是無線電通信技術(shù)的發(fā)展和成熟，從18世紀(jì)末以來，移動通信技術(shù)取得了極大的進(jìn)展。在信息化時代的今天，如何有效的存儲、傳輸、處理數(shù)字信號是人們研究的熱點問題。多速率信號處理作為數(shù)字信號處理的一個重要分支，給我們提供了一個靈活實用的信號處理解決方法。多速率的概念是指在一個信息處理系統(tǒng)中，存在著多個不同的數(shù)據(jù)處理速率，即多速率系統(tǒng)中必然包含被處理信號采樣率的變換過程。在多速率信號處理中，它的主要內(nèi)容是信號抽樣率的轉(zhuǎn)換器及各種濾波器組，而傳統(tǒng)的單速率數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成單元是乘法器，加法器和延遲單元，例如數(shù)字濾波器、傅立葉變換、調(diào)制器等，因此信號的處理速率是單一的。多速率信號處理從20世紀(jì)70年代以來被廣泛的研究和應(yīng)用。在幾十年的發(fā)展過程中，多速率信號處理的理論研究逐步豐富完善,多速率信號處理的應(yīng)用也從最初的語音處理發(fā)展到通信、圖像編碼、雷達(dá)、自適應(yīng)信號處理、短時頻譜分析等各個領(lǐng)域。如此廣泛的應(yīng)用也極大地促進(jìn)了多速率信號處理理論的發(fā)展，促使越來越多的研究者開始關(guān)注多速率信號處理的算法和發(fā)展，多速率信號處理目前已經(jīng)成為現(xiàn)代信號處理的關(guān)鍵技術(shù)之一。多速率信號處理領(lǐng)域中最基礎(chǔ)最重要的模塊當(dāng)數(shù)多速率濾波器組。多速率濾波器組的基本原理是先通過分析濾波器組及其級聯(lián)的下采樣器將輸入信號分解為多個子帶信號，然后在子帶域根據(jù)應(yīng)用場合的不同進(jìn)行相應(yīng)處理，最終通過綜合濾波器組及其級聯(lián)的上采樣器將子帶信號恢復(fù)成為輸入信號或稍有失真的輸入信號。傳統(tǒng)的多速率濾波器組設(shè)計的基本問題就是：如何設(shè)計滿足一定特性的分析和綜合濾波器組，使整個多速率濾波器組的幅度失真、相位失真和混疊失真可以控制在一個合理的范圍內(nèi)，甚至可以完全消除。在應(yīng)用方面，利用子帶編碼來分離信號或者壓縮信號是濾波器組的最早應(yīng)用之第二節(jié)濾波器組的發(fā)展和分類一、濾波器組發(fā)展多抽樣率數(shù)字信號處理的主要問題是設(shè)計一個有效的系統(tǒng),使一個信號的抽樣率提高或者降低任意倍，我們把降低信號抽樣率的過程叫做抽值,而把提高信號抽樣率的過程叫做插值，在許多信號處理技術(shù)和信號處理的應(yīng)用中,抽樣周期T是一個基本考慮,它常常決定實行信號處理是否方便,高效等，某些場合下,輸入信號可能己被抽樣,抽樣周期T是某預(yù)先決定的值,我們的目的是將這個抽樣信號變換成一個新的。具有不同抽樣周期的抽樣信號,所得的信號仍要對應(yīng)于原來的模擬信號,這時就可能有必要將系統(tǒng)中信號的抽樣率從一個抽樣率變到另一個抽樣率，我們稱這樣的系統(tǒng)為多抽樣率系統(tǒng)。子帶信號處理從提出概念到今天大約30年的歷史,期間經(jīng)歷以下幾個階段:提出概念階段濾波器組的研究最早起源于20世紀(jì)70年代,主要應(yīng)用在多速率采樣,減少計算雜度以及減少傳輸數(shù)據(jù)率和存儲單元的要求，開始受到人們的關(guān)注時期是在1980年,提出了兩通道正交鏡像濾波器組(QuadratureMirrorFilter,QMF),由于子帶濾波器組中存在:(1)分析綜合濾波器(2)上下采樣器,所以子帶重構(gòu)信號一般存在三種失真,幅度失真、相位失真、混疊失真，但這類濾波器組可以完全消除混疊失真和相位失真。一般存在混疊失真的濾波器組是線性周期時變系統(tǒng),而完全消除混疊失真的系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)，如果濾波器組的輸出是輸入的純延時,則稱為完全重構(gòu)系統(tǒng)。基本理論發(fā)展的初步階段在1986年,Smith和Barnwell提出了兩通道的共軛正交濾波器組(ConjugateQuadratureMirrorFilter,簡稱CQF),這是首次實現(xiàn)完全重構(gòu)的濾波器組；Vetterli在1986年,Vaidyanathan在1987年分別獨(dú)立研究了兩通道子帶濾波器組的完全重構(gòu)條件。他們分別引入了多相(Polyphase)分量的濾波器組設(shè)計分析方法,該方法使濾波器組的設(shè)計和分析大大簡化，從而極大地推動了這一學(xué)科的發(fā)展。特別是Vaidyanathan提出了無損(Lostless)系統(tǒng)的晶格(Lattice)結(jié)構(gòu)應(yīng)用于設(shè)計完全重構(gòu)的正交濾波器組，該結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)功率互補(bǔ)的濾波器組，大大簡化了濾波器的優(yōu)化設(shè)計。這些理論都對濾波器組的理論和應(yīng)用發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響。理論豐富階段20世紀(jì)90年代，小波的分析研究成為熱點。多分辨率分析的研究表明，滿足一定正則條件的濾波器組可以迭代設(shè)計出小波。Mallet提出雙尺度方程以及塔式分解算法，這些理論研究成果將濾波器組和小波結(jié)合在一起，使濾波器組與小波的理論和設(shè)計有了非常緊密的聯(lián)系。之后，人們開始重視并利用濾波器組來設(shè)計小波以及濾波器組自身理論的研究。。1991年，Nayebi等人提出了非均勻濾波器組的設(shè)計方法;Kovacevic和Vetterli提出了采樣因子可以按照有理數(shù)變化的非均勻濾波器組；1992年，Vetterli提出了兩通道濾波器組以及小波基和多分辨率分析的關(guān)系；Nayebi等人提出了濾波器組的時域設(shè)計方法和時變?yōu)V波器組。1992年，KoilpillaiR.D給出了M通道余弦調(diào)制濾波器組的完全重構(gòu)條件和格型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。這些理論都極大地推動了多速率濾波器組的發(fā)展并且為后面的深入研究奠定了扎實的基礎(chǔ)。二、濾波器組的分類M帶均勻濾波器組自從引入多相位量分析濾波器組后,許多學(xué)者開始了在這方面的研究，余弦調(diào)制M帶濾波器組的出現(xiàn)是一次重要飛躍，得出了完全重構(gòu)條件并用格形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實現(xiàn)。大大簡化了M帶濾波器組的設(shè)計而且出現(xiàn)了類似FFT的快速算法,即快速離散余弦變換，用調(diào)制的方法實現(xiàn)M帶濾波器組的方法得到廣泛的應(yīng)用，其中提出的設(shè)計方法有:非余弦任意正交調(diào)制的M帶濾波器組,擴(kuò)展高斯函數(shù)的余弦調(diào)制濾波器組,用DFT調(diào)制的M帶濾波器組等。線性相位濾波器組在某些應(yīng)用中希望濾波器組是線性相位的,所以線性相位的濾波器組成為了人們研究的熱點之一。線性相位一般是通過FIR濾波器實現(xiàn)的，所以由FIR濾波器做原型濾波器的濾波器組得到了廣泛的研究，自從1993年,M通道線性相位正交濾波器組理論誕生以后,余弦調(diào)制濾波器組被延伸到線性相位濾波器組領(lǐng)域,從而大大簡化了線性相位濾波器組的設(shè)計,后來提出的用矩陣分解的方法計線性相位的兩通道濾波器組使得設(shè)計更加簡潔。臨界采樣濾波器組當(dāng)子帶抽取因子M等于通道數(shù)M時，稱為臨界采樣濾波器組，余弦調(diào)制濾波器組是一種典型的臨界采樣濾波器組，有效地降低計算復(fù)雜度和提高系統(tǒng)的收斂程度。第三節(jié)選題意義和研究內(nèi)容眾所周知，余弦調(diào)制濾波器組的分析濾波器和綜合濾波器都是由一個具有線性相位特性的原型濾波器經(jīng)余弦調(diào)制而得到的濾波器。隨著多速率濾波器組和調(diào)制濾波器組的精確重建理論的建立，精確重建余弦調(diào)制濾波器組（PR-CMFB）逐漸成為了一種最佳濾波器組。根據(jù)濾波器組的多相表示方法和精確重建理論，已證明這類濾波器組的原型濾波器的2M個多相元素可以歸類為M個功率補(bǔ)對，且每個功率補(bǔ)對都可以用兩通道無損格形濾波器組來實現(xiàn)。然而這種格形濾波器組的耦合系數(shù)是通過最小化原型濾波器的阻帶能量來求得的。由于這是一個嚴(yán)重非線性優(yōu)化問題，通常很難求解，故難以設(shè)計出具有高阻帶衰減的精確重建余弦調(diào)制濾波器組。近幾年針對該問題，許多學(xué)者都進(jìn)行了廣泛深入的研究，取得了眾多研究成果。通過直接將原型濾波器系數(shù)作為優(yōu)化變量，采用這種設(shè)計方法我們獲得了高阻帶衰減的精確重建余弦調(diào)制濾波器組。下面我們總結(jié)了現(xiàn)有余弦調(diào)制QMF組的設(shè)計方法優(yōu)缺點：CMFB具有以下的特點：＞設(shè)計過程簡單，只需優(yōu)化設(shè)計原型低通濾波器；＞分析器和綜合器等長，系數(shù)都是實數(shù)，且子帶信號都是實信號；＞在實現(xiàn)余弦調(diào)制濾波器組時，與DFT（離散傅立葉變換）濾波器組類似，可以利用DCT（離散余弦）變換來實現(xiàn)；＞缺點是原型低通濾波器具有線性相位，但分析濾波器和綜合濾波器不具有線性相位。第四節(jié)本論文的主要工作本文研究了多速率濾波器組的基本理論,其中研究了余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計方法,并且重點具體介紹了一種原型濾波器的優(yōu)化方法,并用實例驗證了該方法的可行性和優(yōu)越性。本文的結(jié)構(gòu)安排:第一章為緒論,引入了多速率濾波器組,及它的研究現(xiàn)狀和應(yīng)用。第二章介紹了M通道濾波器組的基礎(chǔ)知識,闡述了抽值器和插值器、分析濾波器組和綜合濾波器組等一系列重要的概念，對M通道濾波器組結(jié)構(gòu)和設(shè)計進(jìn)行了具體的闡述，詳細(xì)分析了它們在時域和頻域中的輸入和輸出關(guān)系。這些知識是本論文工作的基礎(chǔ)。第三章在引入調(diào)制濾波器組的概念下,介紹了余弦調(diào)制濾波器組的理論及該理論下的余弦調(diào)制濾波器組的構(gòu)造方法,并且出了消除失真的條件。第四章給出了基于Kaiser窗函數(shù)法設(shè)計余弦調(diào)制濾波器組,通過此法得到的目標(biāo)函數(shù)只許改變一個參數(shù)就可以改變目標(biāo)函數(shù)，并得到優(yōu)化的原型濾波器組，給出了詳細(xì)的設(shè)計步驟,給出了實例,驗證了該方法的優(yōu)越性。第二章濾波器組基礎(chǔ)第一節(jié)離散時間信號首先由分析濾波器組分成幾個不同或相同的子帶信號，然后各子帶信號經(jīng)過處理，再經(jīng)過一個綜合濾波器組,最終形成輸出信號。濾波器組指的是有著共同輸入或者有著共同輸出的一組濾波器。下圖即為濾波器組示意圖：下圖即為濾波器組示意圖：x(n)?H(z)補(bǔ)?H(z)補(bǔ)■M-1(a)分析濾波器組(a)分析濾波器組(b)綜合濾波器組圖2-1TOC\o"1-5"\h\z濾波器H⑵，H⑵，…，H(z)的頻率特性如(a)所示，在x(n)通過這一0 1 M-1組濾波器后，得到的x(n)分解的一個個子帶信號x(n)，x(n)，…，x(n)，使得0 1 M-1它們的頻譜相互之間沒有交疊之處。因為H(z)，H(z)，?，H(z)一組濾波器的0 1 M-1作用是將x(n)作子帶信號分解，所以被稱為分析濾波器組。子帶信號x0(n)，x1(n)，?，xMl(n)分別通過對應(yīng)濾波器G(z)，G(z)，?，01 M-1 01G(z)，得到輸出信號分別是y(n)，y(n)，?，y(n)。這幾個信號相加后得到M-1 0 1 M-1的是信號x(n)。顯然，G(z),G(z)，…，G(z)的任務(wù)是將子信號x0(n)，xi(n)，…，0 1 M-1 0 1xM_］(n)綜合疊加為單一的信號x(n)，所以被稱為綜合濾波器組。通過分析-綜合的操作，濾波器組通常會產(chǎn)生的三種失真：1.混迭失真：這是由于分析濾波器組和綜合濾波器組的頻帶不能完全分開及x(n)的抽樣頻率f不能大于其最高頻率成份的M倍所致；s2.幅度及相位失真：這兩項失真來源于分析及綜合濾波器組的頻帶在通帶內(nèi)不是全通函數(shù)，而其相頻特性不具有線性相位所致；3.對x(n),x(n)，…，x(n)作M倍抽取后再作處理(如編碼)所產(chǎn)生的0 1 M-1誤差(如量化誤差)。在濾波器組的研究中，一般消除第一類和第二類失真，或著重其中一種失真的研究。第二節(jié)抽值器和插值器抽值(下采樣)和插值(上采樣)是濾波器組的基本組成部分，可以來完成抽樣率的轉(zhuǎn)換，保證x(n)和x(n)的抽樣率。一、抽值器將數(shù)字信號x(n)分解成M個子帶，如圖所示。x(n)M-1圖2-2數(shù)字信號分解成M各子頻帶在這種情況下，每一組子帶信號x(n),k二0丄…M-1的樣點數(shù)至少和原始信號樣k點數(shù)一樣。這意味著分解成M個子帶后的信號的樣點數(shù)至少是原始信號的M倍。這樣會使樣點數(shù)擴(kuò)大不利于傳輸。一般情況下，在頻域范圍內(nèi)信號是均勻分割的。則各個子帶的帶寬是相等的，每個子帶的帶寬是原始信號帶寬的1m?？梢詫γ總€子帶以系數(shù)M抽值(臨界抽樣)就有可能不會損失原始信號中的信號，同時可以使一個信號分解成多個子帶，但總的抽樣點數(shù)不增加。分析其中一路子帶信號，取樣信號為x(t)，設(shè)x是對模擬信號x(t)以周期T取樣得到的數(shù)字信號即x(m)=x(mT)。以因a m a a1子M對信號x抽取或下取樣就是減少取樣速率M倍，等效于每隔M保留一個取樣值,

此操作用途如圖2-2所示的符號表示，M=2的情況如圖2-2. —I —x(n)d圖2-3M倍抽值下取樣后的信號和原始信號之間的關(guān)系可以直觀的表示為x(n)=x(nM)d在頻域，如果x的頻譜是X(ej?)，則下取樣的頻譜X(ea)為md1 2k兀2.1)2.2)nmdX(e)=YX(ejm)dM2.1)2.2)nmd012345圖2-4

2倍抽值所使得M=2的情況，式說明將x的頻譜擴(kuò)展M被以后2沢為周期延拓m2兀到x(n)的頻譜(等價于將x的頻譜先以竺位周期延拓，在擴(kuò)展M倍)。這意味著,d m M要避免下取樣后的混疊，信號x信號x帶寬必須限制在m。因此，通常在下取樣之前先經(jīng)過一個如圖2-3所示的低通濾波器，其頻率響應(yīng)近似為1,?1,?e兀 兀X(ej?)=_MM_d0,2.3)加入濾波器以后，下取樣信號x(m)是對信號x和濾波器脈沖響應(yīng)h(n)卷積結(jié)果dm每隔M的取樣值，下采樣后，信號頻譜為下圖(a)。根據(jù)抽樣定理f>2Mfc，不會發(fā)生頻譜混疊，對x(n)做M倍的抽值得到y(tǒng)(n),則要求滿足f>2Mfc，不滿足條件會產(chǎn)生混疊。4打-4打 _24打-4打 _2兀|-鴦0叫冒2汀a)匕 -衍！，| 0冷器2汀 5色壞 |*-L ［-.：■(b)2.4)圖2-4(a)原始數(shù)字信號的頻譜(bM=2時原始信號取樣函數(shù)的頻譜2.4)x(n)=￡x(m)h(nM一m)ddm=-gMm ? h(z)*HiM* *x(n圖2.5一般抽值操作F取樣的一些重要結(jié)論［?］：?時變性，即如果輸入信號x時移k，輸出信號通常不是相應(yīng)的時移k。下取樣m稱為周期性時不變操作。?從(2.4)式可知，如果濾波器H(z)是FIR，它的輸出只需要計算每隔M個取d樣點的卷積結(jié)果，其實現(xiàn)復(fù)雜度是普通濾波器運(yùn)算的丄。而IRR不具有該特性。則可M以放寬對濾波器的限制，H(z)為dH(ej?)=H(ej?)=dL,?]p2兀kMP2兀k+?Mp,k=1,2,M-12.5)二、插值器將分解的M個子帶綜合成數(shù)字信號，如下圖所示： x(n)x(”M-*G(z)x(”M-M-1圖2-5分解后M各子頻帶綜合為數(shù)字信號由于要求重建后的信號x(n)等于原信號x(n)，或是其一個好的近似，因此，在綜合濾波器組G(z),G(z)，…，G(z)之前還應(yīng)加上一個M倍的插值器，使得X(n)0 1 M-1和x(n)的抽樣頻率一致。對數(shù)字信號x內(nèi)插或上取樣L倍，即在信號的樣點之間插入L-1個0,此操作用m圖2-5表示。x(m)——廠口—4 M(n)I 1 i圖2-6L倍上取樣插值信號表示如下X.(n)ix(-),nX.(n)ix(-),n=kL,keZ=<L02.6)L=2的插值操作如圖2-6所示。在頻域，設(shè)x的頻譜為X(ej?)，直觀地，可以得到內(nèi)插信號的頻譜X(ej?)miX(ej?)=X(ej?L) (2.7)

圖2-7是信號x和內(nèi)插因子為L的內(nèi)插信號X(n)的頻譜。mi012345678910圖2-7 2倍插值2冗因為原始信號的頻譜以2“為周期，所以內(nèi)插信號的頻譜周期為絲。要得到X的Mm平滑內(nèi)插信號，內(nèi)插信號要和原始信號x有一樣的頻譜形狀，這可以通過濾除X(n)中mi處在-4兀-I--彩0再冒2打鹽 |+ $(a)8?!g 871— ,,(b)圖2-8(a)原始數(shù)字信號頻譜 (b)L倍內(nèi)插后的信號頻譜「兀斗之處的頻譜來實現(xiàn)。因此，通常在內(nèi)插操作的接一個低通濾波器見圖2-8。_M'M_其頻率響應(yīng)近似為

H(eH(ej?)=i廠L,?e<兀 兀_M,M_02.8)這樣內(nèi)插操作等價于低通濾波器和(2.7)式定義的信號x(n)的卷積?？紤]到只i有X(n)的非零樣點的索引值是M的倍數(shù)，將式(2.7)改寫為i2.9)Ix(k),keZ

Xi(kM)%2.9)從這個等式容易看出，在時域，濾波后的插值信號變成x(nx(n)=i藝X(m)h(n-m)=藝x(k)h(n-kL)i2.10)k=-gmk=-g插值操作的一些重要結(jié)論［?］:?和下取樣操作不同，內(nèi)插是時不變操作。具體地講，IM是內(nèi)插L倍運(yùn)算符，信號x(n)=I{x(m)}，貝{x(m—k)}=x(n—kM)。i M M i?從(2.10)式可知，計算濾波器H(z)的輸出只需在輸入信號中每隔M點取一i個樣點，因為器它的樣點值都為零。這意味著其實現(xiàn)的復(fù)雜度是普通濾波的丄。M?如果信號x限帶于?1則內(nèi)插后，信號頻譜只在2加(k=1,2,…,M-1)m pp M?周圍半徑為”的范圍內(nèi)出現(xiàn)。因此，可以同樣地放寬對濾波器的限制，得MH(ejH(ej?)=iM，Mle0,?r2兀k-?0,?e p1 M2兀k+?-M^,k=1,2，…,M-12.11)2.10式中的增益因子L可以這樣理解，因此只保留信號的L個樣點中的一個值，1信號的平均能量減少為原來的—倍，因此，插值濾波器的增益必須是L，以彌補(bǔ)這L2個能量損失。

第三節(jié)M通道濾波器組、濾波器組的基本關(guān)系一個標(biāo)準(zhǔn)的M通道濾波器組示意圖如下圖2-9M通道濾波器組由圖可以得出各信號直接存在相互關(guān)系，即：Xk(z)=X(z)Hk(z)（2.12）V(z)=丄藝X(Wiz方)=丄藝X(Wiz(Wizmm)k M kM M M kMi=0 i=0（2.13）及U(z)=VZm=丄藝XzW1H)zW(1 )k k M M k M1=0（2.14）得到濾波器組的最后輸出關(guān)系為：如果設(shè)：XX(z)=藝G(z)U⑵=丄藝X(zWi)藝H(zWi)G(z)k k M M k M kk=0 i=0 i=0（2.15）則有輸出：A(z)=丄Eh(zWi)G(z)i M k Mkk=0（2.16）XX(z)=藝A(z)X(zWi)（2.17）Mii=0所以最后的輸出文（z）是X（zW1）及其移位的加權(quán)和。M

二、M通道濾波器組的設(shè)計設(shè)計M通道濾波器組，就得考慮濾波器組的混疊失真、幅度失真以及相位失真和準(zhǔn)確重建問題，所以設(shè)計過程中，需研究如何去除這三大失真和實現(xiàn)輸出對輸入的準(zhǔn)確重建。去除混疊失真：因為X(zWMi) =X(ej(5/M))是在/豐0時X0?)的移位即是混疊分量，如Mz=ej果可以保證：2.18)Az(z)=0,l=1,2,...,M-1則可以去除濾波器組中的混疊失真部分。2.18)為了保證去除混疊失真的條件即式2.18,據(jù)式2.16,Hk(z),Gk(z)(k=0丄…,M-1)的性質(zhì)決定著A1(z)?AM-1(z)為零是否能夠?qū)崿F(xiàn)即混疊抵消條件是否能夠成立。將2.16式改寫為矩陣形式，即A(z)0A(z)1AM一1(A(z)0A(z)1AM一1(Z)H(z)0H(zW)0H(zWM-1)0H(z)1H(zW)1H(zWM-1)1H(z)M-1H(zW)M-1H(zWm-i)M-1G(z)0G(z)1G-i(z)2.19)在2.19式中，令,0]T,G (z)],0]T,G (z)]T…M-1a(z)=[A(z),0,0g(z)=[G(z),02.21)這樣a(z)滿足式2.18的條件，令式2.19的右邊的矩陣部分為H(z)，所以混疊失真的條件可以表示為： …H(z)g(z)=Ma (2.22)觀察式2.19中矩陣H(z)，每下一行是由上一行中M個濾波器組移位得到的，所以H(z)被稱為混疊分量矩陣。由式2.22?，得出綜合濾波器組g(z):g(z)=H-1(z)Ma(z) (2.23)如果選定Ma(z)=[MA(z),0, ,0]t=[c'z-k,0, ,0]，在矩陣H(z)已知的情況下，0就可求出綜合濾波器組g(z)，同時，可以保證整個M通道濾波器組的PR特性。三、調(diào)制濾波器組在M通道濾波器組設(shè)計中，隨著M通道數(shù)的增多，計算的復(fù)雜度越來越大，在實際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)設(shè)計最大通道數(shù)應(yīng)限制在50-100范圍以內(nèi)，超過此范圍，計算復(fù)雜度不在合理應(yīng)用范圍內(nèi)，在通道數(shù)增加的情況下，產(chǎn)生其他的設(shè)計方法。調(diào)制濾波器組的提出就解決了通道數(shù)增加導(dǎo)致計算復(fù)雜度增加的問題，調(diào)制濾波器組是通過調(diào)制一個或兩個原型低通濾波器得到各個通道的濾波器，因而可以降低濾波器組的設(shè)計難度，大大簡化計算復(fù)雜度。調(diào)制濾波器組因可以借助DFT或DCT變換實現(xiàn)，在實際信號處理中主要有兩類調(diào)制濾波器組：復(fù)指數(shù)調(diào)制濾波器組（DFT濾波器組）和余弦調(diào)制濾波器組。本章小結(jié)首先在2.1對濾波器組的基本概念進(jìn)行了簡單的介紹，同時介紹最典型的分析濾波器組和綜合濾波器組和它們的作用，然后在2.2對濾波器組中的基本組成部分抽值器和插值器進(jìn)行分析，比較時域和頻域分析，在2.3中開始進(jìn)入論文基本理論部分，描述了M通道濾波器組的基本關(guān)系，以及M通道濾波器組的一種設(shè)計方法，最后，由設(shè)計方法的缺點引導(dǎo)調(diào)制濾波器組的概念以及典型的調(diào)制濾波器組。第三章余弦調(diào)制濾波器組第一節(jié)引言調(diào)制濾波器組主要分為復(fù)數(shù)調(diào)制濾波器組和余弦調(diào)制濾波器組，對于復(fù)數(shù)調(diào)制濾波器組，即使h(n)是實的，h(n),k二1?M-1也是復(fù)的，對實信號x(n)，經(jīng)分析濾波k器組的分析后，M個子帶信號也都變成復(fù)信號，這些都是復(fù)數(shù)調(diào)制濾波器組的缺點。由于余弦調(diào)制濾波器組是M帶調(diào)制濾波器組中的一種，該濾波器組最吸引人的特性在于濾波器組是對一個或者兩個原型濾波器進(jìn)行離散余弦調(diào)制而得到的。主要的設(shè)計過程集中在對原型濾波器的設(shè)計和優(yōu)化上。從而使該濾波器組具有設(shè)計實現(xiàn)均非常簡單的優(yōu)點，并且當(dāng)濾波器組子帶數(shù)量較大時更體其算法的優(yōu)勢。當(dāng)要設(shè)計和實現(xiàn)的濾波器組子帶數(shù)量很大是，余弦調(diào)制濾波器組是一個有吸引力的選擇。它的主要特點是：?設(shè)計過程簡單，包括生成一個低通原型濾波器，其脈沖調(diào)制滿足準(zhǔn)確重建的一些約束條件。?就所需要的乘法次數(shù)而言，其現(xiàn)實成本低。因為生成分析濾波器組和合成濾波器組是靠DCT變換來實現(xiàn)的，DCT有快速算法，而且每個子帶濾波器共享原型濾波器的實現(xiàn)成本。第二節(jié)余弦調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu)圖3-1為一個M通道的余弦調(diào)制濾波器組頻域結(jié)構(gòu)示意圖:圖3-1M通道余弦調(diào)制濾波器組在圖3-1中，若給定一個低通原型濾波器h(n)，且h(n)是實序列的，因此其幅度響應(yīng)是關(guān)于①二0對稱的，令其截止頻率為土兀/2M,因此帶寬為兀/M。TOC\o"1-5"\h\z即 h+(n)二h(n)ejtn/2m，h-(n)二h(n)ejtn/2M (3.1)00由上兩式綜合一個實濾波器：兀nh(n)=h++h-(n)=2h(n)cos( —) (3.2)0 0 0 2M將H(z)作頻移，最終得到：h(n)二2h(n)cos((22+1)e—),k二0,1,...M-1 (3.3)k 2M即得到M通道實的均勻抽取的分析濾波器組。第三節(jié)余弦調(diào)制濾波器組的完全重構(gòu)條件余弦調(diào)制濾波器組設(shè)計的基本思路：下面具體闡述余弦調(diào)制濾波器組設(shè)計的具體過程：指定原型低通濾波器：給定一個低通原型濾波器h(n),且h(n)是實序列的，因此其幅度響應(yīng)是關(guān)于①二0對稱的，令其截止頻率為土兀/2M,因此帶寬為兀/M，余弦調(diào)制時，原型濾波器的截止頻率和帶寬比DFT濾波器組時減少了一半。令復(fù)序列p(n)二h(n)W-2—,k二0,1,，該式中,W二e-j2^/2m，則對TOC\o"1-5"\h\z2 2M 2M應(yīng)的Z變化和頻率響應(yīng)分別是\o"CurrentDocument"p⑵二H(zWk),k二0,1,...2M-1 (3.4)2 2M2兀p(ej?)=Hej(?-—l,k=0,1,...2M-1 (3.5)2 M_由于p(n),k=0,1,.2M-1仍然是復(fù)序列，因此有2\o"CurrentDocument"|p(ej?)|=|P (ej?)|,k=0,1,.2M-1 (3.6)2 2M-2即可知Ip(ej?)I和IP (ej?)I是關(guān)于?=0對稱的，如圖3.3所示，圖中M=8,由2 2M-2此可以設(shè)想，如果將p(n)和P (—)相結(jié)合，就可能產(chǎn)生實系數(shù)的濾波器，且產(chǎn)生2 2M-2的帶寬也變成2兀/M。

陶叭1 閥■A陽IFd_H0Jt 21t 3Jt Elt8 ￥ ￥ T圖3.2頻幅響應(yīng)(3)按照上述思路p(n)和P(n)相結(jié)合，產(chǎn)生的新濾波器的帶寬是2兀/M,k 2M-k但是p(n)的帶寬仍是p(n)的帶寬仍是沢/M。為了保證分析濾波器組的所有濾波器00具有相同的帶寬，將上式的移位方式稍微改變，可得到如下面一組新的濾波器：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"q(n)二h(n)W k=0丄…,2M-1 (3.7)k 2M\o"CurrentDocument"Q(n)=H(zWk+o.5)),k=0丄…,2M-1 (3.8)k 2Mj(e-(k+0.5)兀 / 、\o"CurrentDocument"Q(e/o)=Hem,k=0丄…,2M-1 (3.9)k必1J觀PI1訓(xùn)Tmni卽?■■■r0I5itIn ti)圖3-3(4)分析濾波器的選擇，實現(xiàn)q(n)和q(n)的結(jié)合。k 2M-k令U(z)=cH(zWk+o.5)=cQ(z)k k 2M kk(3.10)V(z)二c*H(zW-(k+o.5))二c*Q (z)k k k 2M-1-k(3.11)因為H(z)二aU(z)+a*V(z)，k二0,1, ,M-1，k kk kk(3.12)得到H(z)旦'h(n)z-n，k二0,1,,M-1kkn=0(3.13)當(dāng)a,bkkc幅度為1,保證混迭抵消；保證失真?zhèn)鬟f函數(shù)T(z)具有線性相位。k

5)綜合濾波器的選擇由上一步中已經(jīng)選擇U(z)和V(z)的在M通道濾波器中，分析濾波器組和綜合kk濾波器組有著相同的幅頻響應(yīng)。得到綜合濾波器組G(z):kG(z)=Fg(n)z-n=bU(z)+bV(z),k=0,1,,M-1 (3.14)k k kk kkn=0同時也保證g(n)是實的，并且是FIR的，a,bc幅度為1,保證混迭抵消；保k kkk證失真?zhèn)鬟f函數(shù)T(z)具有線性相位。(6)混疊失真去除的討論在第四步和第五步的分析和綜合濾波器組的選擇中，有a,bc三個未知數(shù)，這kkk三個未知數(shù)的選擇和消除失真有著很大的關(guān)系。G(z)的輸出包含X(zWi)H(zWi),/=0,1,M-1,只有當(dāng)l=0時沒有混疊失k MkM真，其他情況都有混疊失真，但是，只要G(z)在阻帶內(nèi)有足夠高的衰減，那么只有k和G(z)頻譜相鄰近的分量才對混疊起到有意義的貢獻(xiàn)，需要去除，故稱為“偽kQMF” 。假定k=2,M=8情況下，U2(z)和V2(Z)對其移位后的幅頻響應(yīng)如下圖所示：U2(U2(z)和V2(Z)對其移位后的幅頻響應(yīng)J)(l:JXI\-莖_萎 flit 2n 4k 5s w8 T 8 TT圖3-4(7)混疊抵消對a,b參數(shù)的制約kk出現(xiàn)在b*V(z)的混疊分量是:kk"ab*U(zW-k)V(z)]"ab*U(zW-k)V(z)]X(zW-k)kkkMk M出現(xiàn)在b*V(z)的混疊分量k-1k-1ab*U(zW-k)V(z)]X(zW-伙-1))k-1k-1k-1 Mk-1 M+ab*Ukkk(zW-(k+1))V(z)]X(zW-(k+1))M k M+ab*Uk-1k-1k-13.15)(zW-(k+1))V(z)]X(zW-k)(3.16)M k-1 M如果能使abU(zW-k)V(z)+abU(zW-k)V(z)=0，則可以抵消混疊分量kkkMk k-1k-1k-1Mk-1X(zW-k)。M則當(dāng) U(z)=cH(zWk+0.5),V(z)=c*H(zW-(k+0.5)),|c1=c=1,(3.17)k k 2M k k 'k'k-11簡化得到(ab*+ab*)V(z)V(z)=0，為使該式成立，則有ab*+ab*=0,kkk-1k-1kk-1 kkk-1k-1即對a,b的制約關(guān)系。kk(8)去除相位失真對參數(shù)a,b,c的制約。kkkM通道濾波器組的失真?zhèn)鬟f函數(shù)：T⑵=—^-1H(z)G(z) (3.18)M kkk=0要求T(z)具有線性相位，全通，實現(xiàn)PR分析、綜合濾波器也都具有線性相位。因為若T(z)具有線性相位，則可以消除相位失真。(9)選擇分析和綜合濾波器組：H(ej①)=e-j(N-i)e/2H(ej①) (3.19)gG(z)=z-(n-1)H(z-1)=z-(n-1)H(z) (3.20)TOC\o"1-5"\h\zk k k于是，分析和綜合濾波器都具有線性相位。由 U(z)=cH(zWk+0.5)，H(ea)=e-j(n-i)?/2H(ea) (3.21)\o"CurrentDocument"k k 2M g得至U U(ej?)=cW-(k+0.5)(n-1)/2e-j(n-i)?/2H(ej(①-兀(k+0.5)/m)) (3.22)k k2M g選擇c=W(k+0.5)(N-1)/2，再選擇a=b。k2M kk則可保證T(z)具有線性相位，這時，分析濾波器組和綜合濾波器組也都具有線性相位。在已知已經(jīng)選擇ab*+ab*=0,a*=b的情況下，為了去除在?=0和?=?？蒶k k-1k-1 kk能存在的混疊失真，進(jìn)一步需選擇：a2+(a*)2=00 0 (3.23)a2+(a*)2=0M-1 M-1的值已經(jīng)確定。3.24)最終得到a=ejOk,0=(-1)k兀;4,k=0,1, ,M-1，則參數(shù)a,b,c的值已經(jīng)確定。3.24)k k kkk(10)h(n),g(n)的閉合表達(dá)式 …kk由上面推導(dǎo)可得：最后h(n),g(n)的閉合式kkh(n)=2h(n)cos(k+0.5)(n-kg(n)=2h(n)cosg(n)=2h(n)cosk(-1)k兀43.25)其中k二0,1,,M-1，即得出設(shè)計余弦濾波器組的原型濾波器組h(n),使h(n),g(n)kk滿足以上兩式形式，h(n),g(n)都是實系數(shù)的濾波器，即可得到余弦調(diào)制濾波器組的kk設(shè)計。本章小節(jié)從第三章開始進(jìn)入本論文中心部分，首先大致介紹一下余弦調(diào)制濾波器組的概念以及優(yōu)缺點，然后開始描述余弦調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu)，對結(jié)構(gòu)部分進(jìn)行分析講解，最后進(jìn)入余弦調(diào)制濾波器組的設(shè)計，由設(shè)計原型濾波器推導(dǎo)到濾波器組的設(shè)計過程及詳細(xì)步驟，并且對出現(xiàn)的混疊失真以及幅度失真進(jìn)行了處理，得到一個基本滿足要求的余弦濾波器組，在最后一節(jié)，針對設(shè)計方法只消除了失真，但是沒有滿足準(zhǔn)確重建即PR特性的情況，通過具體步驟的分析尋求滿足要求的分析濾波器組和綜合濾波器組。第四章余弦調(diào)制濾波器組的優(yōu)化設(shè)計第一節(jié)引言本章將介紹余弦濾波器組的優(yōu)化方法，余弦調(diào)制濾波器組優(yōu)化設(shè)計的最基本方法也是其他優(yōu)化方法的基礎(chǔ)部分，然后提出本論文的優(yōu)化設(shè)計方法Kaiser窗函數(shù)法，最后通過仿真和方法證實提出方法的優(yōu)越性，順利實現(xiàn)余弦調(diào)制濾波器組的優(yōu)化方法。第二節(jié)余弦調(diào)制濾波器組的優(yōu)化設(shè)計濾波器組的設(shè)計，濾波器組設(shè)計的關(guān)鍵在于原型濾波器的設(shè)計，要是原型濾波器組H(z)滿足截止頻率為土兀/2M,帶寬為兀/M和線性相位的要求，并且滿足以下兩個關(guān)系：4.1)H(ey?)2+H(ej倔-“/m))2二1,0 <兀/M4.1)H(ej?)=0,o>k/M (4.2)則可以保證分別去除了幅度失真和混疊失真，在近似滿足的情況下，得到目標(biāo)函數(shù)：0=L/M[|H(ej?)|2+|H(ej(?-k/m))|2—1]2d? (4.3)0通過使目標(biāo)函數(shù)0最小來找到最接近滿足條件的上面兩式的原型濾波器。余弦調(diào)制濾波器的M個分析濾波器均來自一個低通原型濾波器。因此將使設(shè)計簡單化，即最優(yōu)化時僅對0進(jìn)行，從而使需要最優(yōu)的參數(shù)大大減少,這也是很多優(yōu)化方法的基礎(chǔ)部分。第三節(jié)基于Kaiser窗函數(shù)法設(shè)計余弦調(diào)制濾波器組一、窗函數(shù)設(shè)計濾波器窗函數(shù)設(shè)計濾波器的基本思想，就是根據(jù)給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)，選擇濾波器的階數(shù)N和合適的窗函數(shù)①(n)。即用一個有限長度的窗口函數(shù)序列①(n)來截取一個無限長的序列h(n)獲得一個有限長序列h(n)，即h(n)=?(n)h(n)。并且要滿足以下兩dd個條件：窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶；盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，使峰肩和紋波減小，就可增多阻帶的衰減。這就給窗函數(shù)序列的形狀和長度選擇提出了嚴(yán)格的要求。?常用窗函數(shù)工程實際中常用的窗函數(shù)有6種，即矩形窗、三角窗、漢寧窗、哈明窗、布萊克曼床和kaiser窗。它們之間的性能比較如下表：窗函數(shù)近似過渡帶寬精確過渡帶寬最小阻帶衰減(a/dB)s矩形窗4兀/M1.8兀/M-21三角窗8兀/M6.1兀/M-25漢寧窗8兀/M6.2兀/M-44哈明窗8兀/M6.6兀/M-53布萊克曼窗12兀/M1171/M-74Kaiser窗10兀/M-80圖4-1窗函數(shù)方法比較為減少失真參數(shù)，本節(jié)采用最為廣泛使用的窗函數(shù)方法設(shè)計分析原型濾波器，并選用性能較好且較為靈活的Kaiser窗作為加窗函數(shù)。這是因為Rectangular窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗的最大旁瓣衰減是固定的，并且旁瓣歸一化峰值衰減也不是特別的大，不能滿足所有應(yīng)用的特定需求。在本設(shè)計中主要采用凱澤窗函數(shù)來實現(xiàn)原型濾波器的設(shè)計，以下是窗函數(shù)設(shè)計思路：

?窗口的計算公式根據(jù)實際的經(jīng)驗，給定3，3R和A，則窗函數(shù)設(shè)計的過程p sp s3-3公式如下：歸化過渡帶-Af-一p2兀(4.4)A-7.95濾波器階數(shù)二M沁As7.95+114.36Af(4.5)當(dāng)A>50時，0二0.1102(A-8.7)ss(4.6)當(dāng)21<A<50時，0二0.5842(A-21)0.4+0.07886(A--21)(4.7)sss、凱澤窗函數(shù)設(shè)計的原型濾波器由于在設(shè)計的多帶余弦調(diào)制濾波器中所有的分析和綜合濾波器組都是對原型濾波器進(jìn)行調(diào)制得到的，整個濾波器的設(shè)計關(guān)鍵就是原型濾波器的設(shè)計。這里采用Kaiser窗函數(shù)來設(shè)計原型濾波器，其中心思想是構(gòu)造一目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)是需優(yōu)化濾波器參數(shù)的凸函數(shù)，通過求目標(biāo)函數(shù)的極值來獲得濾波器的最優(yōu)參數(shù)。由于只需優(yōu)化一個參數(shù)3，所以使得設(shè)計過程得以簡化。這一設(shè)計方法在原型濾波器、分c析濾波器組和綜合濾波器組的阻帶衰減特性方面也具有優(yōu)勢。在逼近重構(gòu)余弦調(diào)制濾波器組時，混疊幾乎被消除，失真也近似于一個延遲。設(shè)原型濾波器P(e^)是線性相位的，則對應(yīng)P(ea)的近似重構(gòu)條件可由以下公式給出4.8)4.9)Ip(ejw)|?0,13|> ，4.8)4.9)3k兀P(ej(3-m)4.8式中