新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題講義第24講 最值函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

第24講最值函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題1．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線．（2）設(shè)在，單調(diào)遞增，求的取值范圍．（3）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）．設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，，則，，，解得，，因此當(dāng)時(shí)，軸為曲線的切線；（2），導(dǎo)數(shù)為，由題意可得在，恒成立，即有的最小值，由的導(dǎo)數(shù)為在遞增，即有最小值為4，則，解得；（3）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，，故在時(shí)無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，若，則（1），（1），（1）（1），故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；若，則（1），（1），（1）（1），故不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因此只考慮在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．①當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，而，（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值．若，即，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．若，即，則在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．若，即，由，（1），當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可得：當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．2．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則任意，使得，所以△，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上為增函數(shù)且任意，，所以，且（1），即，且，解得，所以的取值范圍為，．（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，所以在上無(wú)零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸，作出的圖象，可得只有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)△，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)△，即時(shí)，的零點(diǎn)為，由兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)△，即時(shí)，令，解得，，且，，若，即時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，若，即時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，若若，即時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，，綜上所述，當(dāng)，，時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．3．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用，表示，中較大者，記函數(shù)，，．若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，，在無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（e），（e），若（e），即，則是的一個(gè)零點(diǎn)，若（e），即，則不是的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)只需考慮函數(shù)的零點(diǎn)的情況．因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．所以：（?。┊?dāng)時(shí)，（e），在上無(wú)零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，（e），又，所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在遞減，，遞增，又因?yàn)椋╡），，所以此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，．4．已知函數(shù)，，其中．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，證明；（Ⅲ）用，表示和中的較大值，設(shè)函數(shù)，，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】（Ⅰ）證明：設(shè)函數(shù)，則．令得，則在上，，遞增，在上，，遞減．所以（1），即．（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，，前面的“”僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)后面的“”僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，不能同時(shí)取到．所以．（Ⅲ）解：在區(qū)間上，，所以，，所以，在區(qū)間上不可能有零點(diǎn)．下面只考慮區(qū)間上和處的情況．由題意的定義域?yàn)椋羁傻茫ㄘ?fù)值舍去）．在上，遞增，在，上，遞減，．①當(dāng)時(shí)，，所以（1）．因?yàn)樵趨^(qū)間上，，且（1），所以此時(shí)存在唯一的零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以．所以．于是恒成立．結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可知此時(shí)存在唯一的零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增．又因?yàn)椋?），，所以在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可知是唯一的零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上也有1個(gè)零點(diǎn)．5．已知函數(shù)，，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（3）用，表示，中的最大值，設(shè)函數(shù)，，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），（1分）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，（2分）所以當(dāng)時(shí)，，即在上是增函數(shù)；（3分）又（3），所以的解集為．（4分）（2）．（5分）由，得，，，（6分）則，即在上為增函數(shù)．（7分）故，即．（8分）（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，故恒成立；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，要使得恒成立，只要在上恒成立即可．?分）由，得．設(shè)函數(shù)，，，則．（10分）令，得．隨著變化，與的變化情況如下表所示：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（11分）在上唯一的一個(gè)極大值，即極大值，故．綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為，．（12分）6．已知函數(shù)，．（1）證明恒成立；（2）用，表示，中的最大值．已知函數(shù)，記函數(shù)，，若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】（1）證明：由題得的定義域?yàn)椋瑒t在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，．（1分）記，則，．（2分）當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，．（3分）所以（1），即恒成立．（4分）（2）解：由題得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．（5分）②當(dāng)時(shí)，（e），（e）．當(dāng)（e），即時(shí)，是的一個(gè)零點(diǎn)；．當(dāng)（e），即時(shí)，不是的一個(gè)零點(diǎn)；．（6分）③當(dāng)時(shí)，恒成立，因此只需考慮在上的零點(diǎn)情況．由．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且（e），當(dāng)時(shí)，（e），則在上無(wú)零點(diǎn)，故在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（e），則在上無(wú)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（e），，得在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有2個(gè)零點(diǎn)；所以，．（9分）．當(dāng)時(shí)，由得，由時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由（e），，得在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有2個(gè)零點(diǎn)；所以，．（11分）綜上所述，時(shí)，在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)．（12分）7．已知函數(shù)，．（1）若在區(qū)間，上的最大值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，，記，，為從小到大的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及大小．【解答】解：（1），在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，的極小值為（2），又（3），若在區(qū)間，上的最大值為，則，解得；（2），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，由于，（1），時(shí)，，在上有一個(gè)零點(diǎn)；又，令，，在，上單調(diào)遞增，，，（a）．再令，，，在，上單調(diào)遞增，從而（2），在，上單調(diào)遞增，（2），則（a）．在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，，．且．8．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極大值；（2）定義函數(shù)，，其中表示幾個(gè)數(shù)據(jù)中的最大者，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，當(dāng)時(shí)，試探究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）時(shí)，，，令，解得：，令，解得：或，故在遞減，在，遞增，在遞減，故（1）；（2）函數(shù)在遞增，且僅在處有1個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，，又，，①時(shí)，，在遞減，且過(guò)，，即在時(shí)必有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，②時(shí)，令，得兩根為，，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn)，，現(xiàn)在討論極大值的情況：，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在恒小于0，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上有1解，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上有2個(gè)解，一個(gè)小于，一個(gè)大于，，函數(shù)有2個(gè)或3個(gè)零點(diǎn)．9．已知函數(shù)，．（1）若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）用，表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）依題意，，則曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，又，代入整理得，此直線與重合，得，消去得：①，令，則，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，（1）．由①知，，解得；（2）①當(dāng)時(shí)，，所以，無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，（1）（1），從而（1），故為的一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)即為的零點(diǎn)．又，所以①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，（1），此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又（1），在上無(wú)零點(diǎn)，另外，由（1）可知（1）恒成立，即對(duì)恒成立，則，所以，故存在，進(jìn)而存在，使得，即，此時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)；綜上可得：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．10．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）記，表示，中的最小值，設(shè)，，若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，令，得．①?dāng)，即時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，；③當(dāng)，即時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為．（2）的唯一一個(gè)零點(diǎn)是，，，由（1）可得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在定義域上單減遞減，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，若（2），即，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若（2），即，此時(shí)，即，此時(shí)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意；若（2），即，此時(shí)，，記，所以，所以（a）在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，．11．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，，若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）令，當(dāng)時(shí)，．，令，得．當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，，單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，令，得，．①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)，即時(shí)，若（1），至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若（1），得，，恰好有三個(gè)零點(diǎn)；若（1），得，（2），．記（a），則（a），（a），此時(shí)有四個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值集合為，．12．已知函數(shù)，，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用，表示，的最大值，記，，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，（1），所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）得函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，又，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)，下面討論函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：，所以，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，，又在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞減，由，得：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，有（1），（1），當(dāng)（1）時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)（1）時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，由①得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，（1），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，，，即成立，由（1），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．13．已知函數(shù)，，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；（2）用，表示，的最大值，記，，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，（1），所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，又（1），所以的解集為．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）得函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，又，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)，下面討論函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：，所以，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，又函?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞減，由得：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，有（1），（1），當(dāng)（1）時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)（1）時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)（1）時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，由①得當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，（1），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，，，即成立，由（1），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)（1）有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．14．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）用，表示，中的最大值，若函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，．所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）①當(dāng)時(shí)，，從而，，所以在上無(wú)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，（1），若，（1）（1），（1）（1），所以是的零點(diǎn)，若，（1）（1），（1）（1），所以不是的零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，所以在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)只需要考慮在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)在上實(shí)根的個(gè)數(shù)在上實(shí)根的個(gè)數(shù)，令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，（1），，當(dāng)或時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可得時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，則在上有唯一零點(diǎn)，所以的取值范圍為，．15．已知函數(shù)．（1）求證：；（2）用，表示，中的最大值，記，，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】證明：（1）：設(shè)，定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)遞增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以（1），所以．解：（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是遞減函數(shù)，在內(nèi)是遞增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即（1），若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，于是只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)．所以沒(méi)有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）知：，而，所以，又因?yàn)椋?），所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，從而一定存在，，使得（c）（c），即，即，當(dāng)時(shí)，，所以，從而，于是有兩個(gè)零點(diǎn)和1．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．16．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，且時(shí)，證明：；（2）定義，設(shè)函數(shù)，，試討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】（