1991-2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷匯編

目錄

1991年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.........................................................3

1991年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解..........................................5

1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................12

1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................14

1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................21

1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................24

1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................30

1994年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................32

1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................39

1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................40

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................50

1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................52

1997年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................59

1997年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................61

1998年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................65

1998年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................67

1999年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................72

1999年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................75

2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................81

2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................83

2001年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................87

2001年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................88

2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷........................................................94

2002年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解.........................................95

2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................102

2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................105

2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................111

2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................114

2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷.......................................................120

2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷參考答案及詳解........................................121

2006年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................125

2006年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及詳解........................................127

2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................135

2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................138

2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................146

2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及詳解........................................148

2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................152

2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................154

2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................164

2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................166

2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................173

2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................175

2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................185

2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................187

2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................198

2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................200

2014年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................208

2014年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................209

2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................217

2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................217

2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷.......................................................227

2016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解........................................229

2

1991年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

第一試

一、選擇題

本題共有8個小題，每小題都給出了（A）、（B）（C）、（D）四個答案結(jié)論，其中只有一個是正確的.請

把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).

1.設(shè)等式J式X-"）+Ja（'-a）=Jx-a-Ja-y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中a,x,y是兩兩不同的實(shí)

數(shù)，則母一丫的值是（）

-xy+y

（A）3（B）-（C）2（D）-

33

2.如圖，AB//EF//CD,已知4B=20,CD=80,BC=OO,那么EF的值是（）

(A)10(B)12(C)16(D)18

3.方程x2-|x|-l=0的解是()

(A)萼(B)T土石(C)上正或一"—

222

(D)±7.石

2

4.已知：x=11991"-1991'"（〃是自然數(shù)）.那么（x->/1+葉,的值是（

)

(A)1991T(B)-199P1(C)(-l)n1991(D)(-1)"199rl

n

5.若1>2%Xx9O2=M，其中M為自然數(shù),〃為使得等式成立的最大的自然數(shù)，則M（）

（A）能被2整除，但不能被3整除（B）能被3整除，但不能被2整除

（C）能被4整除，但不能被3整除（D）不能被3整除，也不能被2整除

6.若a,c,d是整數(shù)，力是正整數(shù)，且滿足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么a+0+c+d的最大值是（）

(A)-1(B)-5(C)0(D)1

7.如圖，正方形OPQH內(nèi)接于△ABC已知△AOR、/XBOP和△CRQ的面積分別是S=1,Sz=3和

3

S3=l.那么，正方形OPQR的邊長是（)

(A)5/2(D)3

8.在銳角△ABC中，AC=1,AB=c,NA=60°,△ABC的外接圓半徑則（）

(B)0<c<i

(A)-<c<2(C)c>2(D)c=2

22

二'填空題

1.E是平行四邊形ABC。中BC邊的中點(diǎn)AE交對角線BO于G,如果aBEG的面積是1,則平行

四邊形ABCD的面積是.

2.已知關(guān)于x的一元二次方程依2+笈+。=0沒有實(shí)數(shù)解.甲由于看錯了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得兩根

為2和4；乙由于看錯了某一項(xiàng)系數(shù)的符號，誤求得兩根為-1和4,那么，=.

a

3.設(shè)m,”，p,q為非負(fù)數(shù)，且對一切x>0,至曲二1=紅丫恒成立，則

xnxq

（加2+2鹿+〃廠=.

4.四邊形ABC。中,NA8C=135°,ZBC￡>=120°,A3=#,BC=5—G,CQ=6,則A￡>=.

第一—-試p.

4

一、實(shí)數(shù)X與戶使得x+y,x-y,孫，土四個數(shù)中的三個有相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)

y

的數(shù)對(x,y).

二、△ABC中，AB<AC<BC,。點(diǎn)在BC上E點(diǎn)在BA的延長線上，JiBD=BE=AC,△BDE的外接

圓與aABC的外接圓交于F點(diǎn)(如圖).

求證：BF=AF+CF.

三、將正方形A8CD分割為個相等的小方格(〃是自然數(shù))，把相對的頂點(diǎn)4,C染成紅色，把8,

D染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅、藍(lán)兩色中的一種顏色.證明：恰有三個頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)

目必是偶數(shù).

1991年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解

第一試

一'選擇題

1.(B)

據(jù)算術(shù)根性質(zhì)，由右端知ycacx,又由左端知aNO且“40,故a=0.

由此得x=-y,代入所求式算得值為』.

3

2.(C)

由平行截割定理，有

5

EFBF①

-T6o,

EFFC②

20100

EFEFBF+FC

①+②，得----1--=1.

80---20-----100

A5EF=80,EF=16.

3.(D)

設(shè)看是方程的解，則-不也是方程的解，排除(A)、(B)；(D)的兩值必是方程的解，否則方程的

解也不是(C).

將劉一⑹代入方程‘左邊溝’排除?.

4.(D)

2

22、21\

1+廠=1+—1991〃-2+1991〃1991〃+1991〃

421

所以原式=-1991n=(一1)"1991」.

7

5.(A)

在1X2X3…X100的質(zhì)因數(shù)分解中，2的因子有

100100100

4-

22223++里

=50+25+12+6+3+1=97(個)；

3的因子有

=33+11+3+1=48(個).

所以，Ix2x3xx100=297xS48xP=1248x2P,其中2不整除P,3不整除P,因而M=2P.

6.(B)

(〃+Z?)+(c+d)=c+〃,/.b=-d.

代入Z?+c=d得c=2d,a=c+d=3d,

^La+b+c+d=2d+3d=5d=-5b<-5C：h>l).

故。=-3,b=l,c=—2,d=-l.

7.(C)

6

設(shè)正方形。PRQ的邊長為x,即OP=PQ=QR=OR=x.作△A8C的高AO,交OR于F,在△AOR

中，AF==2s^-=~?.如圖.

ORx

同理可得

BP=-,QC=~,

XX

故—=.衣=龍+薨+工+務(wù)扣+10+3

92

另一,方面SMBC=S]+S?+S3+S0PRQ=5+x.

所以;卜+10+?)=5+/,x4=16,x=2.

8.(A)

作CDJ_AB,因△ABC是銳角三角形，故。在AB內(nèi)，從而c=AB>AO=ACcosA=cos4=1.

2

又由正弦定理，得c=A5=2RsinC<2RV2,

所以,<c<2.

2

二'填空題

1.12

如圖，由△BEGS^DAG,得￡>G：GB=AD：BE=2：1,

：.DB=3GB.

JC7)X

連接DE,則SABCD=2sAz=2x25岫“=43S^GE=12.

7

2.6

設(shè)甲將a看為"，由韋達(dá)定理得

上=6,￡=8.

dd

于是2=_3.

c4

由于一次項(xiàng)系數(shù)匕的符號不改變判別式的值，因此，乙只能是看錯a或c的符號.于是a'

-=4.

a

由①②得@=-3.所以+3c=y+]2=6.

ba

3.9

由于3+D：_]=（土+1）：對一切Q0恒成立,取戶1,則有2"'-l=2J

x"

由于2，'H0,2"'-1為奇數(shù)，因此p=0,m=l.

再取尸2,則有±-1=一，即3-2"=2"'.

2"2*

若〃>q,則上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾

若〃<4,則上式左邊為整數(shù)，右邊為真分?jǐn)?shù)，矛盾.

所以，只能是"=（7=1.于是（"/+2〃+/?廠=3。=9.

4.2719

作AE〃BC,交CO于E,自B,C分別作AE的垂直線BF與CG,F,G分別為垂足（如圖）.BCGF

AB

為矩形，為等腰直角三角形,BF=AF==6.

正

ZGCE=30°,由CG=6知

在RtZkCEG中，GE=l,CE=2,FG=BC=5-0.

ED=CD—CE=6—2=4.

又/AE￡>=/B8=120°,在中應(yīng)用余弦定理，有

8

ADr=AE1+EDr-2AE-E,Dcosl20o=36+16+24=76.所以">=屈=2柄.

第A?*r一--試XX

一、由于已有意義，所以y#0,從而

y

因此孫=土,即不位-1)=0.

所以工=0或丁=±1.

(1)若A-0,則由xy=x+yf或xy=x-y,得y=0,這樣土無意義；

y

(2)若產(chǎn)1,則由xy=x+y得x=x+1,或由xy=x-y得x=x-l,都導(dǎo)致矛盾；

(3)若丫=一1,則由xy=x+y得x,由孫=x-y得工=一；，

所以符合要求的數(shù)對只有和卜;,-1).

二、證法1延長4尸到M,使FM=CF.連CM、DF,在與△人?〃中，由于BE=BD,

F=CF,因此△EB。、△尸CM都是等腰三角形.

,?NEBD=NMFC,

：./BED二/CMF

又/BED二/BFD,

:.NCMF=NBFD,

在△5五。與△AMC中，

Z2=Z1,NBFD=NCMF,BD=AC,

：.ABFD^AAMC.

：.BF=AM=AF+FM.

9

又,：FM=CF,

:?BF=AF+CF.

證法2如圖，連EF、DF

VZ1=Z2,Z2=Z3,

AZ1=Z3,

VZ4=Z5,Z5=Z6,

???Z4=Z6.

JAAFC^AEFD.

工曰EFDEDF,

jTH-----------........=k,

AFACCF

即所尸，DE=kAC,DF=kCF.

由托勒密定理，^BFDE=BDEF+BEDF.

^BF?k-AC=BD-hAF+BE-k-CF.

但是AC=BE=BDWQ,

所以BF=AF+CF.

三、證法1用數(shù)代表顏色，將紅色記為0,藍(lán)色記為1,再將小方格編號，記為1,2,3,…，n2.

又記第，?個小方格四個頂點(diǎn)數(shù)字之和為4,恰有三個頂點(diǎn)同色，則4=1或3為奇數(shù)，否則A,為偶數(shù).

在A+4++4,中，有如下事實(shí)：

對正方形內(nèi)部的交點(diǎn)，各加了4次；

原正方形邊上非端點(diǎn)的交點(diǎn)，各加了2次（含兩個0,兩個1）.

因此A+劣++A2=4（內(nèi)部交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)之和）+2X（邊上非端點(diǎn)的交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)之和）+2必為

偶數(shù).

于是，在A，&,…，A.,中必有偶數(shù)個奇數(shù)，這就是說，恰有三個頂點(diǎn)同色的小方格必有偶數(shù)個.

證法2用數(shù)代表顏色，紅色記為1,藍(lán)色記為-1,將小方格編號，記為1,2,

記第，?個小方格四頂點(diǎn)數(shù)字之乘積為4,若恰有三頂點(diǎn)同色，則A=-1,否則4=1.

10

現(xiàn)在考慮乘積Ax&xA2.對正方形內(nèi)部交點(diǎn)，各點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)重復(fù)出現(xiàn)4次；A,B,C,。邊上

的不是端點(diǎn)的交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)各出現(xiàn)2次；4,B,C,。四點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)的乘積為lxlx(T)x(T)=l.

IXIX(-1)X(-1)=1.

于是Ax&x=1.

因此，AXAXAJ中-1的個數(shù)必為偶數(shù)，即恰有三頂點(diǎn)同色的小方格必有偶數(shù)個.

證法3考慮染了色之后，改變一個交點(diǎn)的染色方式，這時以此點(diǎn)為頂點(diǎn)的小方格，要么由三頂點(diǎn)

同色變?yōu)榉侨旤c(diǎn)同色，要么由非三頂點(diǎn)同色變成三頂點(diǎn)同色.

注意：除A,B,C,。之外，每一交點(diǎn)必是偶數(shù)個小方格的頂點(diǎn)，因此，改變一個交點(diǎn)的染色并不

改變?nèi)旤c(diǎn)同色小方格數(shù)目的奇偶性.

當(dāng)〃=1時，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)時，每次改變一個交點(diǎn)的染色，最終總可以使B,O之外的點(diǎn)皆為紅色，這時，三頂點(diǎn)同色

的小方格只有兩個，為偶數(shù).

因此，任意染色之下，三頂點(diǎn)同色的小方格有偶數(shù)個.

11

1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

第一試

一'選擇題

本題共有8個題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論，其中只有一個是正確的.請

把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).

1.滿足|a-b|+“6=l的非負(fù)整數(shù)(a,b)的個數(shù)是()

(A)1(B)2(C)3(D)4

2.若與是一元二次方程加+bx+c=0(“K0)的根，則判別式A=〃-4〃c與平方式M=(2也+4的

關(guān)系是()

(A)A>M(B)b=M(C)A<M(D)不確定

3.若f_i3x+l=0,則/+X-4的個位數(shù)字是()

(A)1(B)3(C)5(D)7

4.在半徑為1的圓中有一內(nèi)接多邊形，若它的邊長皆大于1且小于則這個多邊形的邊數(shù)必為

()

(A)7(B)6(C)5(D)4

5.如圖，正比例函數(shù)y=x和)，=以(>0)的圖像與反比例函數(shù)y=4(&>0)的圖像分別相交于A點(diǎn)和

x

C點(diǎn)若Rt/XAOB和RtACOD的面積分別為S和&，則Si與52的關(guān)系是()

(A)S]>S2(B)S,=S2(C)S,<S2(D)不確定

6.在一個由8X8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓，若把圓周經(jīng)過的所

有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為Si，把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S2,

則3■的整數(shù)部分是()

(A)0(B)1(C)2(D)3

7.如圖，在等腰梯形A8CD中，AB〃CZ),AB=C￡>,乙4=60°，又E是底邊A8上一點(diǎn)，且FE=FB=AC,

12

FA=AB.則AE：EB等于()

(A)1：2(B)1：3(C)2：5(D)3：10

8.設(shè)X|,X2,X3,，?,,X9均為正整數(shù)，且西<馬<<Xg,X,+Xj++內(nèi)=220,則當(dāng)X1+%2+覆+匕+*5

的值最大時，玉-%的最小值是()

(A)8(B)9(C)10(D)11

二'填空題

1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等15cm,則這個等腰三角形的面積等于

2.若x#0,則川+3+?一6三的最大值是.

x

3.在△ABC中，ZC=90a,/A和NB的平分線相交于尸點(diǎn)，又于E點(diǎn)，若BC=2,AC=3,

則AE?EB=.

4.若a,6都是正實(shí)數(shù)，且，--—=0,則⑶+但］=_______.

aba+h\a)\b)

第A/r一―?試v—Il

一、設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程W—6x+a=0的兩根，當(dāng)這樣的三角形只有一個時,

求”的取值范圍.

二、如圖，在△4BC中，AB=AC,。是底邊BC上一點(diǎn)，E是線段4。上一點(diǎn)，且NBED=2NCED=

ZA.求證：BD=2CD.

13

A

三、某個信封上的兩個郵政編碼M和N均由0,1,2,3,5,6這六個不同數(shù)字組成，現(xiàn)有四個編

碼如下：

A：320651B：105263C：612305D：316250

已知編碼4、B、C、。各恰有兩個數(shù)字的位置與M和N相同.。恰有三個數(shù)字的位置與M和N

相同.試求：M和N.

1992年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解

第一試

一、選擇題

1.(C)

上

由'\\a-b\=]=>(1,0)(0,1),

[ab=0

_,[\a-h\=0,

又由1=(1,1)..

[ab=1

，共有3對

2.(B)

設(shè)與是方程的根，則同+如,+c=0.

2

所以(2aro+〃)~=4ax^+4ahx0+kr

=4。(《鬲+如)+c)+〃-4ac

=Z72-4ac.

3.(D)

14

由f-13x+l-0知xWO.所以x+xT=13,x2+x-2=132-2=167.x4+x-4=1672-2,從而爐+:^4

的個位數(shù)字為9-2=7.

4.(C)

若滿足條件的多邊形的邊數(shù)大于或等于6,則至少有一邊所對的圓心角不大于60°.由余弦定理知

該邊長必不大于1；同理，若存在滿足條件的四邊形，則它至少有一邊長不小于0.

5.(B)

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,必)，

則EX=x2y2=k.

d=；OB-AB=g玉y=；/%=；OD-CD=S2?

6.(B)

據(jù)正方形的對稱性，只需考慮它的[部分即可.記圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和為

4

S；,圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外部分的面積之和為S；,則

#=4萬-8,5；=15-4乃.

.S；_4￡_4乃-84.56

"S；~4S^~15-47r~2A4'

故之的整數(shù)部分是1.

S]

7.(B)

解：作高線CN,WtBAB=2BC=2CD,

由題“等腰梯形ABCQ中，AB//CD,AB=2CD,ND4B=6O°”

易證”/ACB為90°設(shè)CD=x,貝IAC=6x,AB=2x,

又FE=FB=AC,FA^AB,

:.FE=FB=AC=6x,FA=AB=2x,

△FEB與aAB尸均為等腰三角形，又有NA8尸為同底角，

15

AB:FB=FB:BE=2x:6x=\!^x:BE,

33i

解得：BE=—x,AE=2x——x=—x,

222

13

JAE:EB=-x:-x=l/3.

22

故選&

8.(B)

解：由題意：XI，X2,…，"9均為正整數(shù)

得刈最小值為1

;當(dāng)即,一…，劭取到最小值時,為取到最大值=220-(1+2+3+…+8)=220-36=184,二為的最

大值為184-1=183,

又<1+2+3+???+9=45,

.*.220-45=175,

175除以9=19余4,

在這種情況下：將4分配到九個數(shù)中，則只能在第六到九個上加，則最大的數(shù)必須加一以上，而第

六到九同時加一則元9就大一了.

???為田的最小值為9-1+1=9.

故選B.

二、填空題

1.

解：作MV_L3C于N,

???AM=MC,MN//AD

:?DN=NC.

：?MN=、AD=9,在RtZkBM中，BM=\5MN=9.

2f

:,BN=V2,而BD=DC=2DN.

：?3DN=12,DN=A,

：.BC=\6,S^BC=171￡)-BC=1x18x16=144.

16

2.V3-V2

4

Jl+Y+X，-\J1+XX

X71+x2+x4+A/1+X4

|X|

-=-!-==73->/2.

X43+42

3.解：設(shè)RtZiABC內(nèi)切圓P的半徑為人

AB=\lAC2+BC2=^32+22=岳

AE=AM=AC-r=3-r,BE=BN=BC-r=2-r.

AB=AE+BE=(3-r)+(2-r)=5-2r

故答案為3.

4.2石

V--1—=0,即2，=i,

aba+hab

hba\(ba\Abarz

而一+-=J----+4------=\/5.

abb)ah

17

?咽+如（泊）Y.哈力訴―B

第一試

一、設(shè)方程X?-6x+o=0有兩個正根x”X2,且玉4*2，貝"％=3-19-a,x2=3+j9-a.且0<a49.

（1）當(dāng)西=々時，符合條件的三角形只有一個，即以N（=々）為邊的等邊三角形.這時

3-V9^a=3+^/9^a,BP^/9^o=0,：,a=9.

（2）當(dāng)2百4%時，符合條件的三角形也只有一個，它以X2為腰,xi為底，這時6-2希+工，

解得aW8.

故符合條件的三角形只有一個時，a的取值范圍是0<“W8或a=9.

二、證法1如圖3,延長交△4BC的外接圓于F.連CF、B尸，貝IJNB以=N8CA=N4BC=NC用,

^\iZBFD=ZCFD.

圖3

于是8。：DC=BF：FC.

在△4BC和△E8f1中，

NBAC=NBEF,

ZACB=ZEFB,

：.NABC=NEBF=NEFB.

因此EB=EF.

作ZBEF的平分線EG交BF于G,則BG=GF.

,：NGEF=-NBEF=ZCEF,

2

NGFE=NCFE,EF=EF,

:.叢EFG9叢EFC,GF=CF.

18

從而BF=2FC,所以8C=2CZ).

證法2如圖4,作。尸〃CA交AB于尸.在8c上取點(diǎn)G,使8G=OC.

圖4

分別連接4G、FG.

'：DF//CA,

：./\FBDs叢ABC,

：.NBFD=NBAC,

FB=FD.

'：AB=AC,ZABG^ZACD,BG=DC,

：.AABG^AACD,AG=AD,ZFAG=ZEAC.

又NABE=ZBED-ZBAE=NBAC-NBAE=NEAC=NFDA,

而

/\ABE^/^ADF.

：.AF-.AD=AE：AB.

EPAF：AG=AE：AC.又/9G=/E4C,

:.△FAGXEAC.ZAFG=ZAEC.

從而NBFG=NDEC=-ZBED=-ABAC=-NBFD.

222

：.FG是等腰三角形BFD頂角平分線，因而也是底邊BD上的中線.即BG=GD.所以BD=2BG=2DC.

三、對于編碼M,考慮編碼4中恰有兩個數(shù)位上的數(shù)字與M中相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字相同.設(shè)這兩位是

X”及數(shù)位.由于B、C中該兩數(shù)位上的數(shù)字均與4在這兩數(shù)位上的數(shù)字不同，因此8,C中這兩數(shù)

位上的數(shù)字必與M中這兩數(shù)位上的數(shù)字不同，于是B中與M中數(shù)字相同的數(shù)位必異于x”及.不妨

設(shè)為X3,A4；同理C中與〃中數(shù)字相同的數(shù)位只能是異于用，X2,X3,后的X5,北兩位.關(guān)于N也

有類似的結(jié)論.這就是說，在每個數(shù)位上，A,B,C分別在該數(shù)位上的數(shù)字中，必有一個與M在該

數(shù)位上的數(shù)字相同；同樣地，也必有一個與N在該數(shù)位上的數(shù)字相同.

19

由此知，。中的6,0兩數(shù)字必不是M,N在相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字.于是。的3,1,2,5中只有一個

數(shù)字與M在相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字不同；與IV相比較也有類似的結(jié)果.

(A)若3不對，則有610253,013256；(B)若1不對，則有360251,301256；

(C)若2不對，則有312056,310652(D)若5不對，則有310265,315206.

經(jīng)檢驗(yàn)知：該信封上編碼M,N或者同為610253,或者同為310265.或者一個是610253,另一個

是310265.

20

1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

第一試

一'選擇題

本題共有8個小題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個結(jié)論其中只有一個是正確的.請

把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號內(nèi).

1.多項(xiàng)式--犬+1除以公一1的余式是()

(A)1(B)-1(C)x-1；(D)x+1；

2對于命題

I.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形.

II.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形，以下四個結(jié)論中正確的是()

(A)I,n都對(B)對，n錯(c)i錯，n對(D)I,n都錯

3.設(shè)x是實(shí)數(shù)，y=|x-l|+|x+l|.下列四個結(jié)論：

I.y沒有最小值；

II.只有一個x使y取到最小值；

III.有限多個x(不止一個)使y取到最大值；

IV.有無窮多個x使y取到最小值.

其中正確的是()

(A)I(B)II(C)III(D)IV

4.實(shí)數(shù)XI，X2,X3,X4,X5滿足方程組

xt+x2+x3=q

X?+X3+Z=a2

■X3+匕+%=%

x4+x5+x,=a4

x5+xx+x2=a5

其中“i，ai>?3>?4，。5是實(shí)常數(shù)，且4>a2>a3>a4>a5,則為，xz，X3,X4,X5的大小順序是()

(A)x,>x2>>x4>x5；(B)>x2>x,>>x5；

(C)x3>%1>x4>x2>x5；(D)x5>x,>x,>x4>%,.

5.不等式x-l<(x-iy<3x+7的整數(shù)解的個解()

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在△ABC中，NA是鈍角，。是垂心，AO=BC,則cos(NOBC+N0C8)的值是()

21

_V2

2

7.銳角三角ABC的三邊是a,b,c,它的外心到三邊的距離分別為〃?，n,p那么，〃叩等于()

(A)—(B)a：b：c(C)cosA:cosB:cosC

abc

(D)sinA:sinB:sinC

8.盯+g可以化簡成()

(A)冷陋+1)(B)百(蚯-1)(C)&-1(D)次+1

二、填空題

3Y~-i-6Y+5

1.當(dāng)X變化時，分式的最小值是.

x2+X+1

2

2.放有小球的1993個盒子從左到右排成一行如果最左面的盒里有7個小球，且每四個相鄰的盒里

共有30個小球，那么最右面的盒里有個小球.

3.若方程(產(chǎn)-1)任一4)=人有四個非零實(shí)根且它們在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點(diǎn)等距排列，則

k=.

4.銳角三角形ABC中，ZA=30°.以8C邊為直徑作圓，與A8,AC分別交于。E,連接。E,把

三角形43c分成三角形AOE與四邊形BDEG設(shè)它們的面積分別為S，S2,則S：S2=.

22

A

BC

第AA,——?^v試_Il

一.設(shè)“是等腰三角形48C垂心在底邊3c保持不變的情況下讓頂點(diǎn)A至底邊5c的距離變小，這

時乘積SAA6C?SA〃BC的值變小，大還是不變？證明你的結(jié)論.

△ABC中，BC=5,AC=l2fA8=13,在邊A8,4c上分別取點(diǎn)D,E,使線段DE將△ABC分成

面積相等的兩部分.試求這樣的線段。E的最小長度.

三.已知方程f+^x+cu。及“2+CX+力=0分別各有兩個整數(shù)根％,々及X；,X；，且不七＞°，

r

x[x2>0.

(1)求證：%,<0,x2<0,4<0,芯<0；

(2)求證：b-\<c<b+\.

(3)求b,c所有可能的值.

23

1993年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷參考答案及詳解

第一試

一、選擇題

1.(A)；/一爐+1=%616—[)+],.?.余式為1.

2.(B)命題I正確，證明如下：

如圖，ABCQE為圓內(nèi)接五邊形，各內(nèi)角相等.由NA=NB,知BCE=CEA,于是BC=EA.：.BC=EA.

同理可證BC=DE=AB=CD=EA.故ABCDE是正五邊形.

命題II不正確，反例如下：如圖，ABCD為圓內(nèi)接矩形，NA=NB=NC=N￡>=90°,AB=CD,BC=DA,

但A8WBC,顯然，ABC。滿足命題H條件，但不是正四邊形.

3.(D)因?yàn)閨x-l|、|x=l|分別表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離.

因此，當(dāng)一時，y=|x-l|+|x+l|=2.

當(dāng)xv-l時，y=|x-l|+|%+1|=2+2|x+l|>2；

當(dāng)x>l時，y=|x-l|+|x+l|=2+2|x-l|>2.

而在-1與1之間無窮多個實(shí)數(shù)心故有無窮多個x使)，取到最小值.

4.(C)給定方程組中的方程按順序兩兩相減分別得

X)-x4=aA-a2,x2-x5=a2-a3,x3-x}=a3-a4,x4-x2=a4-a5,

a1>a2>a3>a4>a5,

24

于是有X,>X,>x4>x2>x5.

(x-2)(x-l)>0

5.(A)注意至llx—1<(x—1)'<3x+71o

(x+l)(x-6)<0

(x-2)(x-l)>0ox<1或x>2.

(x+l)(x-6)<0<=>-1<x<6.