測(cè)量誤差的基本知識(shí)演示文稿

測(cè)量誤差的基本知識(shí)演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共38頁(yè)。一、概述1、誤差的概念測(cè)量誤差(△)=真值（X）-觀測(cè)值（L）從測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1)對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2)觀測(cè)值不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180° 閉合水準(zhǔn)∑h≠0當(dāng)前2頁(yè)，總共38頁(yè)。2重慶交通大學(xué)課件2、測(cè)量誤差的來(lái)源

測(cè)量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測(cè)者的技術(shù)水平和感官鑒別能力的局限性及儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測(cè)量誤差的產(chǎn)生。

所以，測(cè)量誤差主要來(lái)自以下三個(gè)方面：(1)外界條件主要指觀測(cè)環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果中帶有誤差。(2)儀器條件儀器在加工和裝配等工藝過(guò)程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測(cè)量帶來(lái)誤差。(3)觀測(cè)者的自身?xiàng)l件由于觀測(cè)者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對(duì)中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。

當(dāng)前3頁(yè)，總共38頁(yè)。3重慶交通大學(xué)課件通常把測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測(cè)量誤差的根本原因。

通常把觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)，稱為不等精度觀測(cè)。當(dāng)前4頁(yè)，總共38頁(yè)。4重慶交通大學(xué)課件1）系統(tǒng)誤差

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善。例如，用一把名義長(zhǎng)度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實(shí)際長(zhǎng)度為50.005m，則每量一尺，就帶有+0.005m的誤差(“+”表示在所量距離值中應(yīng)加上)，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。3、測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差按其對(duì)測(cè)量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。當(dāng)前5頁(yè)，總共38頁(yè)。5重慶交通大學(xué)課件再如，在水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，當(dāng)視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行而產(chǎn)生夾角時(shí)，對(duì)水準(zhǔn)尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差為，它與水準(zhǔn)儀至水準(zhǔn)尺之間的距離S成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響。計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校當(dāng)前6頁(yè)，總共38頁(yè)。6重慶交通大學(xué)課件2）偶然誤差

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀測(cè)，如果單個(gè)誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均不一定(無(wú)規(guī)律)，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。例如，用經(jīng)緯儀測(cè)角時(shí)的照準(zhǔn)誤差，鋼尺量距時(shí)的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。偶然誤差，就其個(gè)別值而言，在觀測(cè)前我們確實(shí)不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。但若在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次觀測(cè)，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而且，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。

不可避免，無(wú)法消除，有互補(bǔ)性當(dāng)前7頁(yè)，總共38頁(yè)。7重慶交通大學(xué)課件◆粗差與多余觀測(cè)1、粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤，并非誤差。2、多余觀測(cè)：觀測(cè)某未知量時(shí)進(jìn)行的多于必要觀測(cè)數(shù)外的觀測(cè)。目的：發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，剔除粗差；提高觀測(cè)質(zhì)量，進(jìn)行精度評(píng)定。多余觀測(cè)為什么不多余？（為什么要進(jìn)行多余觀測(cè)）當(dāng)前8頁(yè)，總共38頁(yè)。8重慶交通大學(xué)課件二、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性

在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了217個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到217個(gè)三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對(duì)三角形閉合差i進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。當(dāng)前9頁(yè)，總共38頁(yè)。9重慶交通大學(xué)課件0.0000.00000.0020.0051２４“～２７＂0.1680.5031090.1660.5108總和0.0030.00920.0030.0092２１“～２４＂0.0090.02860.0080.0235１８“～２１＂0.0120.03780.0120.0398１５“～１８＂0.0150.046100.0180.05512１２“～１５＂0.0250.074160.0220.06514９“～１２＂0.0280.083180.0230.06915６“～９＂0.0310.092200.0320.09721３“～６＂0.0450.134290.0460.13830０“～３＂頻率個(gè)數(shù)頻率個(gè)數(shù)為負(fù)值為正值誤差的區(qū)間當(dāng)前10頁(yè)，總共38頁(yè)。10重慶交通大學(xué)課件11

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24

◆在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值◆絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；◆絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；◆偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即正態(tài)分布曲線偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)前11頁(yè)，總共38頁(yè)。11重慶交通大學(xué)課件

第一個(gè)特性說(shuō)明偶然誤差的“有界性”。它說(shuō)明偶然誤差的絕對(duì)值有個(gè)限值，若超過(guò)這個(gè)限值，說(shuō)明觀測(cè)條件不正?；蛴写植畲嬖冢坏诙€(gè)特性反映了偶然誤差的“密集性”，即越是靠近0″，誤差分布越密集；第三個(gè)特性反映了偶然誤差的對(duì)稱性，即在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個(gè)數(shù)相等或極為接近；第四個(gè)特性反映了偶然誤差的“抵償性”，它可由第三特性導(dǎo)出，即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵消的特征。因此，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零。

本章的主要內(nèi)容就是在觀測(cè)值具有大量偶然誤差的情況下如何求得最接近觀測(cè)對(duì)象真值的值及如何評(píng)定其精度高低的方法。當(dāng)前12頁(yè)，總共38頁(yè)。12重慶交通大學(xué)課件◆測(cè)量成果中都不可避免地含有誤差，在測(cè)量工作中，是使用“精度”來(lái)判斷觀測(cè)成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。三、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)xy精度較高精度較低當(dāng)前13頁(yè)，總共38頁(yè)。13重慶交通大學(xué)課件1、中誤差中誤差的定義：（n為有限個(gè)數(shù)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差）方差的定義：標(biāo)準(zhǔn)差的定義：+50+2-4-1-7+6乙組-3-1-2+2+5甲組真誤差例:問題：真值X不知道時(shí)怎么辦？如何計(jì)算m？當(dāng)前14頁(yè)，總共38頁(yè)。14重慶交通大學(xué)課件◆算術(shù)平均值（最或然值，最或是值）設(shè)某量的真值為Ｘ，n個(gè)觀測(cè)值為，其相應(yīng)的真誤差為：將等式兩端分別相加并除以n，則：由偶然誤差的第四特性可得，當(dāng)時(shí)，即：

當(dāng)前15頁(yè)，總共38頁(yè)。15重慶交通大學(xué)課件◆觀測(cè)值的該正數(shù)觀測(cè)值的改正數(shù)v是算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，即將等式兩端分別相加，得：即一組等精度觀測(cè)值的改正值之和恒等于零用改正數(shù)計(jì)算中誤差公式（白塞爾公式）：當(dāng)前16頁(yè)，總共38頁(yè)。16重慶交通大學(xué)課件各式相加平方求和當(dāng)前17頁(yè)，總共38頁(yè)。17重慶交通大學(xué)課件課堂練習(xí)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某直線進(jìn)行了五次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果分別為:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求該直線邊長(zhǎng)的觀測(cè)值中誤差。次數(shù)觀測(cè)值(m)改正數(shù)V(mm)VV計(jì)算過(guò)程1117.2552117.2583117.2464117.2615117.250-1-48-74586.270116644916146當(dāng)前18頁(yè)，總共38頁(yè)。18重慶交通大學(xué)課件2、容許誤差

定義

由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。當(dāng)前19頁(yè)，總共38頁(yè)。19重慶交通大學(xué)課件3、相對(duì)誤差

相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m與相應(yīng)觀測(cè)值D之比，通常以分子為1的分式來(lái)表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即:

一般情況:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。當(dāng)前20頁(yè)，總共38頁(yè)。20重慶交通大學(xué)課件

對(duì)于能直接觀測(cè)的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過(guò)多次觀測(cè)后，便可通過(guò)真誤差或改正數(shù)計(jì)算出觀測(cè)值的中誤差，作為評(píng)定觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測(cè)，而需要由另一些直接觀測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)(間接觀測(cè)值），這些未知量即為觀測(cè)值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測(cè)量中，兩點(diǎn)間的高差h=a-b，則h是直接觀測(cè)值a和b的函數(shù)；在角度測(cè)量中，水平角α=b-a，則水平角α就是直接觀測(cè)值a和b的函數(shù)等等。本節(jié)所要討論的就是在直接觀測(cè)值中誤差為已知的情況下，如何求觀測(cè)值函數(shù)值（間接觀測(cè)值）中誤差的問題。闡述觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。四、誤差傳播定律當(dāng)前21頁(yè)，總共38頁(yè)。21重慶交通大學(xué)課件1、一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(3)式為：由于和是一個(gè)很小的量，可代替上式中的和：

(3)代入(2)得對(duì)(1)全微分：(2)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測(cè)值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(1)當(dāng)前22頁(yè)，總共38頁(yè)。22重慶交通大學(xué)課件對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(4)對(duì)(4)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(5)對(duì)K個(gè)(5)式取總和：(6)當(dāng)前23頁(yè)，總共38頁(yè)。23重慶交通大學(xué)課件(6)(6)式兩邊除以K，得(7)式：(7)由偶然誤差的抵償性知：即(8)當(dāng)前24頁(yè)，總共38頁(yè)。24重慶交通大學(xué)課件(8)考慮，代入上式，得中誤差關(guān)系式：上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。當(dāng)前25頁(yè)，總共38頁(yè)。25重慶交通大學(xué)課件

通過(guò)以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；2.對(duì)函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。

當(dāng)前26頁(yè)，總共38頁(yè)。26重慶交通大學(xué)課件

1）倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度=168.5mm0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式2、幾種常用函數(shù)的中誤差

當(dāng)前27頁(yè)，總共38頁(yè)。27重慶交通大學(xué)課件2）線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：當(dāng)前28頁(yè)，總共38頁(yè)。28重慶交通大學(xué)課件由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得

由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

函數(shù)式全微分中誤差式

◆算術(shù)平均值的中誤差式

●對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。當(dāng)前29頁(yè)，總共38頁(yè)。29重慶交通大學(xué)課件3）和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：全微分：中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：例：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。解：

當(dāng)前30頁(yè)，總共38頁(yè)。30重慶交通大學(xué)課件觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

當(dāng)前31頁(yè)，總共38頁(yè)。31重慶交通大學(xué)課件下面讓我們來(lái)看幾個(gè)例題吧當(dāng)前32頁(yè)，總共38頁(yè)。32重慶交通大學(xué)課件◆按三角形的閉合差求測(cè)角中誤差已知對(duì)某n個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了同精度觀測(cè)，并求得它們的閉合差分別為，求觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)的測(cè)角中誤差三角形閉合差的中誤差：菲列羅公式當(dāng)前33頁(yè)，總共38頁(yè)。33重慶交通大學(xué)課件◆水準(zhǔn)測(cè)量中，已知每站高差的中誤差為，設(shè)每站高差均為等精度觀測(cè)，求每公里高差中誤差和水準(zhǔn)路線為Ｓ公里的高差中誤差設(shè)每站水準(zhǔn)路線長(zhǎng)為s，則Ｓ＝n．S，即n＝Ｓ／s，代入上式得：則水準(zhǔn)路線為Ｓkm的高差中誤差為：當(dāng)前34頁(yè)，總共38頁(yè)。34重慶交通大學(xué)課件

例某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。測(cè)次

觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv

計(jì)算123456平均148.643148.590148.610148.6241