高中數(shù)學(xué)典型例題解析第四章數(shù)列學(xué)案

1n第四章1n

數(shù)列§等數(shù)的項(xiàng)求一知導(dǎo)1.數(shù)列：按一定次序排成的一列叫做數(shù).2.項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)或首項(xiàng)），第2項(xiàng)?n項(xiàng)，?3.通項(xiàng)公式：一般地，如果數(shù)列｝第ｎ項(xiàng)與序號ｎ之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公.4.有數(shù):項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù).5.無數(shù):項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫無窮數(shù)列6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系可以用個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公.推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出a,a,然后用遞推關(guān)系逐一寫出數(shù)列中的項(xiàng)7.等差數(shù)列一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中項(xiàng)如果ａ這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列么Ａ＝二疑知導(dǎo)

a們Ａ＝叫ａ和ｂ的等差中項(xiàng)．21.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次不同，則就是不同的數(shù)列；（）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；3數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子(｛1，，3，?)的函數(shù)2.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是一.3.數(shù)列a｝前n項(xiàng)和S與a間關(guān)系：a

SSn

(n(n

若a適合a(n>2),則

n

不用分段形式表示，切不可不求a而接求a.4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的項(xiàng)公式aa+(n-1)d=dn+a-d,a是關(guān)于n的一次式；從像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)n,）勻排列在一直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確一個(gè)等差n數(shù)列.＝

5、對等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公的理解：等差數(shù)列的前n之和公式可變形為d，＝－，則＝An+Bn.n2

n

ddn)22

，若令A(yù)6、在解決等差數(shù)列問題時(shí)，如知aa，，S，中意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三經(jīng)例導(dǎo)[例1]已知數(shù)列14，7，10，?中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大（）出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；2指出1+4+?+（3n－5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之.[例2]已數(shù)列

n

項(xiàng)之和為①

2n

2

②

n

2

求數(shù)列

n/

nnn[例3]已知等差數(shù)列nnn

之和記為S，=10，，則S等。[例4]等差數(shù)列

、.若

7an(n求7；T427bn7[例5]已知一個(gè)等差數(shù)列

a－5n求數(shù)列n

項(xiàng)和n[例6]已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是，前的和是1220，此可以確定求其前

項(xiàng)和的公式嗎？[例7]已知：

2n

（

lg0.3010）N

（）問前少項(xiàng)之和為最大？）前多少項(xiàng)之和的絕對值最小？[例8]項(xiàng)數(shù)是

n

的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為

n

n

是方程

x2px

的兩根，求證此數(shù)列的和

2n

是方程

2

x(lg

2

p

2

)lgnlg

2

的根。（

S

2n

0

）四典習(xí)導(dǎo)/

n351n1．已知n351n

且1

n

n

，求

n

及

n

。2．設(shè)

3

(n

，求證：

(n(na2

2

。3.求和

1

1111

4.求和：

(100

2

2

)(98

2

2

)

2

2

)

2

)5.已知

b,c

依次成等差數(shù)列，求證：

2

,

2

ac,c

2

ab

依次成等差數(shù)列.6.在等差數(shù)列

n

513

40

，則

810

（）A．72B．C．D367.已

n

列且滿足

,amn，a

m

等于________。8.已知數(shù)列

1a

成等差數(shù)列，且

1113a,a67

，求

8

的值?！斓葦?shù)的項(xiàng)求一知導(dǎo)1.等數(shù)列般果個(gè)列從第２項(xiàng)起一與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2.等中項(xiàng)：若ａ，Ｇ，ｂ成等比數(shù)列，則稱Ｇ為和ｂ的等比中項(xiàng)．3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn)a111二疑知導(dǎo)

(q(1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此也為0.2.對于公比q，要注意它是每一與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛.3.“從第2項(xiàng)”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是第3或第項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說此數(shù)列.第2項(xiàng)第起是一個(gè)等比數(shù)列4.在已知等比數(shù)列的a和q的提下，利用通項(xiàng)公式a=aq可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的提下，使用a=a可等比數(shù)列中任意一.6.等比數(shù)項(xiàng)式aq

可改寫為

an

a1.當(dāng)q1時(shí)x是個(gè)數(shù)函數(shù)1qq

x是一個(gè)不為0的數(shù)與指數(shù)函的積，因此等比數(shù)列a｝圖象是函數(shù)

y

a1q

x

的圖象上的一群孤立的.7．在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如知aa，，

n

，中意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三經(jīng)例導(dǎo)/

n例1]已知數(shù)列n

之和=aq（n

0,qq

為非零常數(shù)），則

n

）。A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列例2]已知等比數(shù)列

和記為S，=10，S=70，S等于.例3]求：a+a+a+?例4]設(shè)

,,

均為非零實(shí)數(shù)，

0

，求證：

b,c

成等比數(shù)列且公比為d。例5]在比數(shù)列

n

b

，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。例6]求列

{

12n

}

前n

項(xiàng)和例7]從有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%鹽水的容器中倒出1kg鹽，然后加入1kg，以后每次都倒出1kg鹽，然后再加入水問：(1)第5次出的的1kg鹽中含鹽多？(2)經(jīng)6次出后，一共倒出多少kg鹽此時(shí)加1kg后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？四典習(xí)導(dǎo)1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式/

1)aa=2)a=5,且2=n3)a=5,且

annan2.在等比數(shù)列

n

a

，

a910

，求

18

.03.已知無窮數(shù)列105

1,105

25

,

n5

,求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)（）個(gè)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的

110

，（）個(gè)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。4.設(shè)數(shù)列

n

x,3x2,4xnxn

項(xiàng)的和。5.已知數(shù)列{a}中，=且=，求ann,6.是否存在數(shù)列{a，其前項(xiàng)和S組的數(shù)列}是等比數(shù)列，且公比相同？n7.在等比數(shù)列

n

a60,S400132

，求

的范圍?！鞌?shù)的合用一知導(dǎo)1.數(shù)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi).解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模.2.應(yīng)題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，所以列應(yīng)用題占有很重要的位置，解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：1）閱讀理解材料，且對材料作適當(dāng)處理；2）建變量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討變量性質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)，是求還求a一般情況下，增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用比數(shù)列公式．若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1就公比q.二疑知導(dǎo)1.首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大（或最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式

a0a

解決；2.熟記等差、等比數(shù)列的定義，項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)公式時(shí)，勿忘分類討論思想；3.等差數(shù)列中,a+－m)d,

d

a

;等數(shù)列中a=a;

q

n

ana4.當(dāng)m+n=p+q（m、、、∈

N

）時(shí)，對等差數(shù)列｛a｝：+a+a；等比數(shù)列a｝有a=aa；5.若{a}、是等差數(shù)列，{ka+bb}(kb是非零常)是等差數(shù)列；若a}、是等比數(shù)列，則ka｝、{a}等也是等比數(shù)列；6.等差（或等比）數(shù)列的“間隔等的連續(xù)等長片斷和序列”（如a+a+a,a+a+a,a+a+a?等（或等比）數(shù)列；7.對等差數(shù)列｛a｝當(dāng)數(shù)為2n時(shí)，-S＝nd項(xiàng)數(shù)為2n1時(shí)S－＝（∈

）；8.若一階線性遞推數(shù)列a=ka+b（≠0,k≠）,則總可以將其改寫變形成如下形:

a

bkkk

(n≥2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義出其通項(xiàng)公式；三經(jīng)例導(dǎo)/

例1]設(shè)

組的等比數(shù)列S是前項(xiàng)和.證明：

logSS122

n

logS1

n

。2例2]一個(gè)球從100米處自由落下著地后又跳回至原高度的一半落下第10次著時(shí)過多少米？（精確到1米例3]一對夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀儲蓄a元年定期，若年利率為r保不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩18歲上學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？例4]求列

1

111,a3n

(3n

的前項(xiàng)和。例5]求列

,,,,3(n

前n項(xiàng)例6]設(shè)差數(shù){的前項(xiàng)為S，且

Sn

n

)2(N)

，求數(shù)列{a}前n項(xiàng)例7]大共層現(xiàn)每層指定一人，共n人中到設(shè)在第k層臨時(shí)會議室開會，問k如確定能使n位加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。（假定相鄰兩層樓梯長相等）四典習(xí)導(dǎo)1．在［1000，2000］內(nèi)能被3整除且被除余整數(shù)有多少個(gè)？2．某城市年人口為500萬，人均住房面積為m，果該城市每年人口平均增長率為1%每年平均新增住房面積為30萬，求年底該城市人均住房面積為多少m(精到0.01)/

3．已