線性代數模擬題目6章二次型

§6.1

實二次型及其標準形§6.3曲面與空間曲線§6.4二次曲面第六章二次型與二次曲面§6.2正定二次型§6.1實二次型及其標準形一、二次型及其矩陣二、合同變換三、用配方法化二次型為標準形四、用正交變換化二次型為標準形定義以下僅限于討論實二次型一、二次型及其矩陣只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形例如都為3元二次型為3元二次型的標準形(球面)(不顯然)說明平面二次曲線含有交叉項時，要通過坐標變換化為只含平方項，從而可知其圖形；空間二次曲面含有交叉項時，要通過坐標變換化為只含平方項，從而可知其圖形；一般的，n元二次方程含有交叉項時，也希望通過坐標變換化為只含平方項（即標準形）。通過變量變換，化二次型為標準形，這便是二次型要討論的問題。二次型的矩陣表示用矩陣表示二次型任給一個二次型，唯一地確定一個對稱矩陣；二次型的矩陣及秩反之，一個對稱矩陣，可唯一地確定一個二次型．所以二次型與對稱矩陣之間存在著一一對應的關系及二次型的矩陣表示例解二次型為標準形當且僅當所對應的矩陣為對角形矩陣二次型為標準形矩陣為對角形矩陣練一練例求對稱矩陣A所對應的二次型解例

已知二次型f的秩為2，求參數c。解定義設兩組變量上式稱為從變量到若的一個線性變換。二、合同變換若系數矩陣C是可逆矩陣，則稱線性變換為可逆變換。若系數矩陣C是正交矩陣，則稱線性變換為正交變換。線性變換的性質（1）可逆線性變換的逆還是可逆線性變換證證（2）連續(xù)施行可逆線性變換的結果還是一個可逆線性變換；（3）連續(xù)施行正交變換的結果還是正交變換。結論設A,B是兩個n階對稱矩陣，則稱A與B是合同的.注：1.合同關系滿足自反性，對稱性和傳遞性，定義如果存在n階可逆矩陣C，使得從而在可逆線性變換下，二次型的秩不變。

A與B等價：PAQ=B,P,Q可逆；

A與B相似：P-1AP=B,P可逆；

A與B合同：CTAC=B,C可逆；注意矩陣之間的幾種關系若化為標準形問題化為：尋求可逆的矩陣C，使

為對角矩陣問題1.若二次型含有的平方項，2.

若二次型中不含有平方項，但是

化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方。直到都配成平方項為止，的項集中，然后配方，經過可逆線性變換，就得到標準形；則把含有則先作可逆線性變換三、用配方法化二次型為標準形解例含有平方項

利用配方法與歸納法可以證明：

定理

任一實二次型f(X)=XTAX都可用配方法化為標準形.解例但由于所給二次型中無平方項，再配方所用變換為所用變換矩陣為(1)和(2)都是標準形，所以標準形不唯一，(2)稱為規(guī)范形，而規(guī)范形是唯一的。一個二次型,但標準形中所含有的非零項數是確定的，其標準形是不唯一的，非零項數就是二次型的秩r負系數的個數是確定的。且標準形中所含有的正系數的個數是確定的，正系數的個數p稱為正慣性指數，負系數的個數q稱為負慣性指數，正負慣性指數的差稱為符號差正慣性指數為2，負慣性指數為2，符號差為0。二次型的秩為4，為對角陣。此結論用于實二次型便有四、用正交變換化二次型為標準形回憶定理任給實二次型總有正交變換使之化為標準形證明令則為正交變換用正交變換化實二次型為標準形的具體步驟解1．寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值例從而得特征值2．求特征向量3．正交化4．將向量組單位化，所求正交變換為正慣性指數為3，負慣性指數為0，符號差為3。二次型的秩為3，求一正交變換，將二次型化為標準型解練一練為正交向量組令

為正交矩陣

或令

正慣性指數為2，負慣性指數為0，符號差為2。二次型的秩為2，小結1.二次型及其矩陣表示2.可逆和正交線性變換3.矩陣的合同4.配方法和正交變換法化二次型為標準形將一個二次型化為標準形，可以用正交變換法，也可以用配方法。如果要求用正交變換，就必須找正交矩陣的方法；如果只要求用可逆線性變換，那么2種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數較少，使用配方法反而比較簡單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標準形可能不相同，