2020版高考數(shù)學(xué)第3章三角函數(shù)解三角形第6節(jié)正弦定理余弦定理其應(yīng)用教學(xué)案理新人教版

第六節(jié)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用[考綱傳真]1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形胸懷問(wèn)題.2.可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與丈量和幾何計(jì)算相關(guān)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題．1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理abca2＝b2＋c2－2bccos_A；內(nèi)容＝＝＝2.b2＝c2＋a2－2cacos_B；sinAsinBsinCRc2＝a2＋b2－2abcos_C.cos＝b2＋c2－a2；(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；A2bc變形(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；cosB＝c2＋a2－b2；(3)a＋b＋c＝a＝2.22acsinA＋sinB＋sinCsinARcos＝a＋b－c.C2ab三角形常用面積公式1S＝2a·ha(ha表示邊a上的高)；1

1

1(2)S＝2absin

C＝2acsin

B＝2bcsin

A；1S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．23．實(shí)質(zhì)問(wèn)題中的常用角仰角和俯角：與目標(biāo)視野在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視野和目標(biāo)視野的夾角，目標(biāo)視野在水平視野上方的角叫做仰角，目標(biāo)視野在水平視野下方的角叫做俯角(如圖1)．(2)方向角：相關(guān)于某正方向的水平角，如南偏東30°、北偏西45°、西偏北60°等．(3)方向角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點(diǎn)B的方向角為α(如圖2)．坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．[常用結(jié)論]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3．內(nèi)角和公式的變形(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC.4．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形或直角三角形．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思慮辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比．( )(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.()(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知隨意三個(gè)元素可求其余元素．()(4)當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)2＋2－2＜0時(shí)，△為鈍角三角形．bcaABC[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝π，B＝π，a＝1，64則b＝( )A．2B．1C.3D.2sinπabasin42BD[由sinA＝sinB得b＝sinA＝sinπ＝2×2＝2.]63．(教材改編)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有( )A．無(wú)解

B．兩解C．一解

D．解的個(gè)數(shù)不確立B[∵bsin

A＝24sin45

°＝

12

2，122＜18＜24，即bsinA＜a＜b.∴此三角形有兩解．]4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，則cosC的值為( )21A.3B.421C．－3D．－4D[由題意可知a∶b∶c＝3∶2∶4，不如設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝4k，則cosC＝a2＋b2－c22＝ab9k2＋4k2－16k21.]2×3k×2k＝－45．在△中，a＝2，＝3，＝30°，則△ABC＝________；＝________.ABCcBSb31△ABC11132[S＝2acsinB＝2×2×3×2＝2.由b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋3－43cos30°＝1，得b＝1.]利用正、余弦定理解三角形【例1】(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.求C；(2)若c＝337，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．2[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝1，因此C＝π.23(2)由已知得1sin＝33.2abC2π又C＝3，因此ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，進(jìn)而(a＋b)2＝25，因此a＋b＝5(負(fù)值舍去)．因此△ABC的周長(zhǎng)為5＋7.[規(guī)律方法]解三角形的常有題型及求解方法abcC，可先求出角已知兩角A，B與一邊a，由A＋B＋C＝π及sinA＝sinB＝sinC及b，再求出c.已知兩邊b，c及其夾角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.已知三邊，，，由余弦定理可求出角，，.,已知兩邊，b及此中一邊的abcABCa對(duì)角A，由正弦定理a＝b可求出另一邊b的對(duì)角B，由C＝π－A＋B，可求出角sinAsinBacabC，再由sinA＝sinC可求出c，而經(jīng)過(guò)sinA＝sinB求角B時(shí)，可能有一解或兩解或無(wú)解的狀況.)(2018·重慶二模)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若(a－b)(sinA＋sinB)＝c(sinC＋3sinB)，則角A等于( )ππA.6B.32π5πC.3D.6(2)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在邊AB上，AD＝3DB，cosA＝54，cos∠ACB513，BC＝13.①求cosB的值；②求CD的長(zhǎng)．D[由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝c(c＋3b)，即b2＋c2－a2＝－3bc，由余弦定理可2225π，應(yīng)選D.]得cos＝b＋c－a＝－3，又∈(0，π)，則＝A2bc2AA64(2)[解]①在△ABC中，由于cosA＝5，A∈(0，π)，23因此sinA＝1－cosA＝5.12同理可得sin∠ACB＝13.3因此cosB＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB＝5124516×13－5×13＝65.②在△中，由正弦定理得，＝BCsin∠＝13×12＝20.ABCABsinAACB3135122又AD＝3DB，因此BD＝4AB＝5，又在△BCD中，由余弦定理得CD＝BD＋BC－2BD·BCcosB2216＝5＋13－2×5×13×65＝92.判斷三角形的形狀【例2】(1)在△中，角，，C的對(duì)邊分別為，，，若sinA＝a，(＋＋)(b＋cABCABabcsinBcbca－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰非等邊三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形(2)在△中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若c－cos＝(2－)cos，則△ABCABCABCabcaBabA的形狀為()A．等腰三角形

B．直角三角形C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形sinAaaa(1)C(2)D[(1)∵sinB＝c，∴b＝c，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，222b＋c－abc1π∵A∈(0，π)，∴A＝3，∴△ABC是等邊三角形．(2)由于c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，因此由正弦定理得sin

C－sin

Acos

B＝2sin

Acos

A－sin

Bcos

A，因此

sin

Acos

B＋cos

Asin

B－sin

Acos

B＝2sin

Acos

A－sin

Bcos

A，因此

cos

A(sin

B－sin

A)＝0，因此

cos

A＝0或

sin

B＝sin

A，因此

A＝π或2

B＝A或

B＝π－A(舍去)，因此△ABC為等腰或直角三角形．][規(guī)律方法]判斷三角形形狀的方法化邊：經(jīng)過(guò)因式分解，配方等得邊的相對(duì)應(yīng)關(guān)系.化角：經(jīng)過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論.)cosAb(1)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosB＝a＝2，則該三角形的形狀是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形2Bc－a(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，若sin2＝2c，則△ABC的形狀必定是________．(1)A(2)直角三角形[(1)由于cosA＝b，由正弦定理得cosA＝sinB，因此sin2＝sin2.cosBacosBsinAABb2，可知a≠b，因此A≠B.又A，B∈(0,π)，因此2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，由a＝因此C＝90°，于是△ABC是直角三角形．1－cosBc－aaaa2＋c2－b22(2)由題意，得2＝2c，即cosB＝c，又由余弦定理，得c＝2ac，整理得a＋b2＝c2，因此△ABC為直角三角形．]與三角形相關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題【例3】(2019·廣州調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且知足a＝2，acosB＝(2c－b)cosA.求角A的大??；求△ABC的周長(zhǎng)的最大值．[解](1)法一：由已知，得acos＋cos＝2cos.BbAcA由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA.由于sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，因此sinC＝2sinCcosA.1由于sinC≠0，因此cosA＝2.由于0＜A＜π，因此A＝π.32＋c2－2b2＋c2－a2法二：由已知及余弦定理，得a×ab＝(2c－b)×，即b2＋c2－a2＝bc，2ac2bcb2＋c2－a21因此cosA＝＝.2bc2π由于0＜A＜π，因此A＝3.法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得bc＋4＝b2＋c2，即(b＋c)2＝3bc＋4.由于

bc≤

b＋c2

2，因此

(b＋c)

23≤4(b＋c)

2＋4，即b＋c≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)等號(hào)建立)，因此a＋b＋c≤6.故△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6.abcC，且a＝2，A＝π法二：由于sinA＝sinB＝sin3，4343因此b＝3sinB，c＝3sinC.因此a＋b＋＝＋43＋sinC)＝＋43＋2π－B＝＋B＋πc23(sinB23sinBsin324sin6.由于0＜B＜2π3，因此當(dāng)B＝π3時(shí)，a＋b＋c獲得最大值6.故△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6.[規(guī)律方法]求相關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值范圍問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺年P(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解.(1)(2018·鄭州一模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面積S＝3c，則ab的最小值為( )A．28B．36C．48D．56π(2)(2019·河北五校聯(lián)考)在△ABC中，AB＝2，C＝6，則AC＋3BC的最大值為( )A.7B．27C．37D．47(1)C(2)D[(1)在△中，2cos＝2＋，由正弦定理，得2sincos＝2sin＋sinABCcBabCBAB．又A＝π－(B＋C)，因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，因此2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB＝0，由于sinB≠0，10＜C＜π，因此2π113ab因此cosC＝－，又C＝.由S＝3c＝absinC＝ab×，得c＝.232224由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))，ab2因此4≥3ab，得ab≥48，因此ab的最小值為48，應(yīng)選C.(2)∵C＝5π.由正弦定理，得AC＝BC＝AB2π，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝＝＝4，∴BC66sinBsinAsinC12＝4sinA，AC＝4sinB，∴AC＋3BC＝4sinB＋43sinA＝4sin5πA＋43sinA＝2cos－6A＋63sinA＝47sin(A＋φ)此中tan3，∴當(dāng)A＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，AC＋3φ＝92獲得最大值，為47.應(yīng)選D.]BC解三角形的實(shí)質(zhì)應(yīng)用【例4】(1)江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為

45°和

60°，并且兩條船與炮臺(tái)底部連線成

30°角，則兩條船相距________m.(2)某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在

A處獲悉后，立刻測(cè)出該漁船在方向角為

45°，距離

A為

10海里的

C處，并測(cè)得漁船正沿方向角為

105°的方向，以

10海里/時(shí)的速度向小島

B聚攏，我海軍艦艇立刻以

103海里/時(shí)的速度前往救援，則艦艇的航向?yàn)楸逼珫|

________．(1)10

3(2)75°

[(1)

如圖，過(guò)炮臺(tái)頂部

A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀察小船C的俯角為45°，設(shè)A處觀察小船D的俯角為60°，連結(jié)BC，BD.Rt△ABC，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30m，Rt△ABD中，∠ADB＝60°，可得ABBD＝＝103m，3在△BCD中，BC＝30m，BD＝103m，∠CBD＝30°，由余弦定理可得：222CD＝BC＋BD－2BC·BDcos30°＝300，CD＝103m.如下圖，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB＝103t，CB＝10t，在△中，依據(jù)余弦定理，則有2＝2＋2－2··cos120°，ABCABACBCACBC可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°.21整理得2t－t－1＝0，解得t＝1或t＝－2(舍去)，∴艦艇需1小時(shí)湊近漁船，此時(shí)AB＝103，BC＝10.BCAB，在△ABC中，由正弦定理得＝sin∠CABsin120°3∴sin∠＝BC·sin120°＝10×2＝1.CABAB1032∴∠CAB＝30°.因此艦艇航向?yàn)楸逼珫|75°.][規(guī)律方法]利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題的一般思路：實(shí)質(zhì)問(wèn)題經(jīng)抽象歸納后，已知量與未知量所有集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；實(shí)質(zhì)問(wèn)題經(jīng)抽象歸納后，已知量與未知量波及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐漸求解其余三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，依據(jù)條件列出方程組，解方程組得出所要求的解.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，

到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后抵達(dá)角為30°，則此山的高度CD＝______m.

B處，測(cè)得此山頂在西偏北

75°的方向上，仰6[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，600BC故由正弦定理得sin45°＝sin30°，解得BC＝3002m.3在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×31006(m)．]1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，cosC5，BC＝1，AC＝5，則AB＝()2＝5A．42B.30C.29D．25C52C523A[由于cos2＝5，因此cosC＝2cos2－1＝2×5－1＝－5.于是，在△ABC中，由余弦222223定理得AB＝AC＋BC－2AC×BC×cosC＝5＋1－2×5×1×－5＝32，因此AB＝42.應(yīng)選A.]2.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2＋b2－c2，4則＝()CA.πB.π23ππC.4D.6C[由于S△ABC＝1absinC，因此a2＋b2－c2＝1absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得242π2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，因此在△ABC中，C＝4.應(yīng)選C.]π13．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝4，BC邊上的高等于3BC，則cosA＝()31010A.10B.10C．－10D．－3101010[法一：設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，1112則由題意得S△ABC＝2a·3a＝2acsinB，∴c＝3a.由余弦定理得222cos＝2＋22×2×2525b＝a＋c－2ac9a－2×a3a＝，∴b＝.Ba29a3a52222222a＋a－a∴cos＝b＋c－