圓錐曲線專題(定點(diǎn)、定值問(wèn)題)

11x圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題11x圓錐曲線題——定點(diǎn)定值問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題是常的出題形式，化解這問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變參數(shù)表示直線程、數(shù)量積、比例關(guān)等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等找不受參數(shù)影響的量。線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題法,是出直線方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。巧在于：設(shè)哪條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件?圓曲線是一種很有趣的體,自身存在多性質(zhì),這性質(zhì)往往成為出題老的參考。如果大家能夠熟識(shí)這常見(jiàn)的結(jié)論，那么解必然會(huì)事半功倍。下面結(jié)圓錐曲線中種常見(jiàn)的幾種定點(diǎn)模：模型一“手電筒型xy【題已橢：

若線l：kx與圓C相于A,B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn)且以AB為徑的圓橢圓的右頂點(diǎn).求證直線l

過(guò)定點(diǎn),并出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解設(shè)A((,y12

ykx，由得k322

2

x

2

m

2

0，k216(3，3k28mk4(23k))2x)211122

3(k3k

2

)以AB為直的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),且kADBDyyyx，1212113(mk)m16，323k23整理得

2

mk

2

，解得m,m12

2k7

，且滿足3k

2

2

當(dāng)m時(shí)l:(x，線定點(diǎn)(2,0),

與已知矛盾2當(dāng)m時(shí)lx)7

,直過(guò)定點(diǎn),0)綜上可知，直l

過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)標(biāo)為(◆法結(jié):本“弦定張直”一個(gè)例子:圓曲線如橢圓上任意一點(diǎn)做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB,AB必定點(diǎn)(

(0a2

2)22

22

2

)

)

.◆型展：題還可拓展手筒”型只要任意一個(gè)定AP與BP條（如?k值A(chǔ)Pk值線AB依會(huì)過(guò)定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直形似手電筒，名曰手電筒模)。AP此模型解題步：Step1:設(shè)AB直,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)范圍；Step2由AP與BP關(guān)系如?次函數(shù)kf()或者f(k)APBPStep3:將()或者mf(k)代，得y(xy。定定◆移練

;練1：拋物線M:

2

上點(diǎn)（1）作傾斜角互補(bǔ)直線PA與PB,交M于、B兩，求證：直線AB過(guò)點(diǎn).（注:本題論也適用于拋物線與雙線）-1-

5512112221111圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題5512112221111練2:過(guò)拋物線M:y2x的點(diǎn)任意作兩條互相垂直的OA、OB，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)典例題，多種解法練3過(guò)

2

y

2

11上的點(diǎn)作動(dòng)弦AB且k?k明BC恒過(guò)定點(diǎn)考答:))ABAC練：：A、B是軌跡:y2P上異于原點(diǎn)的個(gè)不同，直線和的斜角分別為

和

，

變化且

4

時(shí)證明直線AB恒定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)答

）【答案】設(shè)A

x,y1

x,得,,又直線OA，OB的斜角滿足221

，故

，以直線AB的斜率存在,否則，OA，OB直線的傾斜角之和為

從而設(shè)AB方程為kx，y2顯然x2，2p將與y22px(P聯(lián)立消去

，得022pb由韋達(dá)定理知y,kk

①由,得1＝442將①式代入上整理化簡(jiǎn)可得：b

tanpy)=1yp2，以bp，此時(shí)，直線AB的程可表示為kxp即xp)所以直線恒過(guò)定點(diǎn)p練習(xí)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A（4,0)且在軸截的弦MN的為。(求動(dòng)圓圓心的軌C的程；（Ⅱ）已知點(diǎn)B(-1）,設(shè)不垂直于軸的直線l角平分線，證直線l過(guò)定點(diǎn)?！敬鸢浮拷猓á瘢?,0設(shè)心

與軌跡C交于不的兩點(diǎn),Q，若x軸PBQ

的MN(,y),MN線段的中點(diǎn)為，由幾圖像知M,2

2

CM

2

ME

2

2y(點(diǎn)B(-1，0）,P(,(x),由題yy，yy0,yx8x。2111yy8(y)y(y)yy0直PQ方程：xxy12yyy1(x)y)xy2121(y)(y)xy11所以，直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1,0)

()xx練6：已知點(diǎn)動(dòng)，且滿足PC|（1)求點(diǎn)P的跡C對(duì)應(yīng)的方程；(2)已知點(diǎn)(m,2)在線上，過(guò)點(diǎn)A作曲線的兩條弦和AE，AD,判：線是過(guò)定點(diǎn)？試證你的結(jié)論?！荆┰O(shè)

P(,y代入PCBCPB(x

x,化簡(jiǎn)得

4.

(5分-2-

1211112AMDM12152圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題1211112AMDM12152(2)將y24x得的標(biāo)為(設(shè)直方程xmy代入yx,得ymtt設(shè)y),E,)則yyy，1111

2

t）xxy2)xx)y111222222)y2(y)444

(y)(y)1y2(y)16()2(4m))16

2(4m化簡(jiǎn)得t

2

2

即tt2即（t

4(2tmtm或t代入（*式驗(yàn)滿直的方為xm(2)或(y直線D過(guò)定點(diǎn)(（定點(diǎn)滿足題）練7：已知A(－1，0（1,－1）和拋物線。C:，O為坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)A的直線l交拋物線于M、，直線MB交物線C于一點(diǎn)Q,如圖。（I）明OM為值5（II)若△POM的面為,求量OM與OP的角；2（Ⅲ）證明直PQ恒過(guò)一個(gè)定.y2解：(I)設(shè)點(diǎn)M(1y),(2yP、、三點(diǎn)共線4y,即112yy21244y1即4y112OM244（II）設(shè)∠=α則|

SOM

5.由可得。又(0,

45OMO夾角45(Ⅲ設(shè)點(diǎn)Q(

y23

y),、、三點(diǎn)共，k3yyy即13,yyyyyy1314(yy)y2即yyy0.3134yy即yyy即4(y0.(*)233-3-

PQ01,23圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題PQ01,2323,2yy2234y2直線Q是yy(x2yy3即(yy)()4x2y()y4222由＊式，yyy4,代上式得(yy4(x223由此可知直線PQ過(guò)定點(diǎn)E（1,－4）.模型二：點(diǎn)弦恒過(guò)定例：有如下論：“x

2

y

2

r

2

上一點(diǎn),)處的切線方程為r0

”，類比也有y2論“圓a上一點(diǎn)()a

處的切線方程

xyy20”橢C：4

2

的右準(zhǔn)線l上意一點(diǎn)M引橢圓C的條切線，切點(diǎn)為A、B。（1)求證直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)；（2）點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)1時(shí)求△ABM的面積?！荆┰O(shè)M

3xxt)(),(xx,),則的程14

y∵點(diǎn)M在MA上∴

33

xty①同可得1

33

x②由①②知AB的方程為

33

即3(1)易知右焦點(diǎn)F(3,0）滿足③式故AB恒橢圓C的右焦點(diǎn)F（）（2）AB的程x3(1)代

24

化得7∴|1

36281677

4||又M到AB的距離1

23116∴的積SAB|221◆方點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過(guò)程中直接不直引用，可以用本題的書寫步驟換之大家注意過(guò)程◆方總結(jié)什是切弦解步驟哪？-4-

1211110圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題1211110練習(xí)已拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)點(diǎn)F的離為直線l上點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作物線的條切線,PB,其中AB為點(diǎn)。（Ⅰ）求拋物線的方程；

322

.設(shè)為(當(dāng)點(diǎn)P

yl上定點(diǎn)時(shí),求直的方程00（當(dāng)點(diǎn)P在線l上動(dòng)時(shí)，求的最小值【答案】（Ⅰ）依意,設(shè)拋線的方程2,由

結(jié)合，解得.所拋物線的程為x.（拋物線的方程為

4，y

1,求得2x設(shè)x,,x（中1,41則切線PAPB的率分別為xx，2

）,x所以切線PA：yy2

x2x即11,即xxyy02同理可得切線PB的方程為因?yàn)榍芯€PA均過(guò)點(diǎn)yxyy0，0001102所以xyy的兩組解.1所以直線的程xyy0（Ⅲ）由拋物線定義可知AF,y,1所以AF2聯(lián)立方程

xxyy0x2y

，消去x整理得y0由一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系可得x2y,y120012所以AFy220又點(diǎn)Pl上所y,0

0

2所以y

y

29所以當(dāng)時(shí)AF取最小值，且最小值為2練習(xí)如圖,拋線:x2y:2上M作的切線，20切點(diǎn)為AB（為點(diǎn)時(shí)，重于）x2，切線MA的率為-。（I）的；）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)時(shí)求線段中點(diǎn)N的跡程。合時(shí),中點(diǎn)O-5-

圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題【答案】-6-

1212圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題1212模型三：交弦過(guò)定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)是切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)性質(zhì)拓展，結(jié)論同樣適用。是具體解題而,相交弦定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算相對(duì)較大，解題過(guò)程定要注意思路，同時(shí)注總結(jié)這類題的法。y2例如圖，已知直線L:x橢圓a的焦點(diǎn)F，且橢圓C于A、B兩a22點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線G:xa

上的射影依次點(diǎn)D、E。連接AE、BD，探索當(dāng)m變化時(shí)直線AE、BD是相交于一定點(diǎn)N?交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求N點(diǎn)坐標(biāo)，并予證明；否則說(shuō)明理由。法::

F(1,0),a先探索，當(dāng)m=0時(shí)直線L⊥ox軸，則ABED為形由對(duì)稱性知AE與BD相交于FK中N，且

2

,0)

2猜想：當(dāng)變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(。證明：設(shè)A(),x),E2),D2,)111

,

當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)點(diǎn)Nb222

即(2m2)y2mby)0....8a

2

b

2

(

2

2

b

2

(a又K

a

122122

2而KEN

a2(y)myy121a2()2

a(這是(yy)y122a2mb2)2b2(a)a2

22

(1

)2∴K=K∴A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、D三點(diǎn)共ANEN∴AE與BD相于定點(diǎn)(

2

,0)法2:本也可以直接得出AE和BD方程令y=0，得與x軸交M、N,后兩個(gè)坐標(biāo)相減0.計(jì)算也不大。◆法結(jié)方1采用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，是證明定點(diǎn)問(wèn)題一類的通法。這一類在答題過(guò)程中要注意驟。-7-

11111圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題11111x例、已橢圓C：，直l:xt2)與x軸于點(diǎn)T，點(diǎn)P為直線l上于點(diǎn)T的一點(diǎn)，直線PA，PA分與橢圓于M、N點(diǎn)試問(wèn)直線MN是通過(guò)橢圓的焦?并明你的結(jié)論。12方1:點(diǎn)A、A的標(biāo)都知道，可以設(shè)直PA的方程，直線PA和圓交點(diǎn)是A—2,0）和M，121211通過(guò)韋達(dá)定理可以求出M的標(biāo)同理可以求點(diǎn)N的坐標(biāo)動(dòng)點(diǎn)P在直線lx(上相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA、PA的方可以求出點(diǎn)縱坐標(biāo)得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求12的M、N點(diǎn)坐標(biāo)，出直線MN的方程,將交點(diǎn)坐標(biāo)代入，如解出的t〉2，就可了，否則就不存在解設(shè)M(x,

,,)

，直線A的率為k,則直線M的方程為yx2),由1

y(x2)x22消y整理得(1

)x

1

0是方程的兩個(gè)，1k2即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,1),k2k

1622k則11k1

，y

4k12

,同理,設(shè)直AN的斜率為k，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為22y(t(p1p

,k2k2

)k2y2，直線MN的程:12，ktx21x令y=0，x212，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：xy2

t又t，0

t

橢圓的焦點(diǎn)為(3,0)3，t

433故當(dāng)t

433

時(shí)，過(guò)圓的焦點(diǎn)。方總:本題由點(diǎn)A（—2,0）的坐標(biāo)－是程(12x2x2的個(gè)根，結(jié)合韋1k24達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：，；其實(shí)由消y整理得k21kx1(1

)x

k

8k，得到2x，即2，2很快。不過(guò)如果看到：k21kk2k2將x中的換下來(lái),前的系數(shù)2用－換來(lái)就得點(diǎn)N的標(biāo)(,)果在k2kk122解題時(shí)，能看這一點(diǎn)，計(jì)算量將減，這樣真容易出錯(cuò)，但樣減少計(jì)算量本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)的雙-8-

2MN12圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題2MN12k2y重身份:點(diǎn)P即直AM上在直線A上，進(jìn)而得到1，由直線MN的方程ktx21

得xy直線與x軸的交點(diǎn)即橫截距x211y

4點(diǎn)M的坐標(biāo)代入易得x,由3解t，tt3到此不要忘了察t

433

是否滿足t。◆法2:先想定點(diǎn)N的方AMA方程而得出交點(diǎn)兩標(biāo)相下：1設(shè)l:my聯(lián)立橢圓方程，整理：MN4）y3my范圍；設(shè)（x,yN（x,y得直方程：1yyl:y1(l:y2(2);x12若分別于l相較于Q、：易得TyyQ（,1(tt,2txx1yyyt2)t2)xx12myt3)(y)3)整理212(11-m韋達(dá)定理代入[(3t3)](42143顯然，當(dāng)t時(shí)，猜成立。3◆法:法2計(jì)算量相對(duì)較學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)上弦恒過(guò)定點(diǎn)例已法2采這類題的通法求于思路混亂1，未知數(shù)更少，思路更明確。練1在平面直角坐系中如圖，已橢圓錯(cuò)!+錯(cuò)=1的左右頂為A,B，右焦點(diǎn)F,設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t,m)的直TA，TB與圓分別交于點(diǎn)M（x,y，y)，其中〉0,y>0,y〈0。112212⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿PF－PB=4,求點(diǎn)P的跡⑵設(shè)x=2=錯(cuò)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)12⑶設(shè)t=9,求證：直線MN必x軸上的定(其坐與m無(wú))解析:問(wèn)與題。-9-

圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題練已知橢圓中在坐標(biāo)點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、B、C1,

三點(diǎn)．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F任一與坐標(biāo)軸不平行的直線l

與橢圓交M、N兩點(diǎn)，AM與BN所的直線于點(diǎn)Q。(1）橢圓E的方程：(2）否存在這樣直線m,使得點(diǎn)Q恒在直線m上移?若在，求出直線m方,若不在，請(qǐng)明理由-10

1223k2k2圓錐曲線專(定點(diǎn)1223k2k2解析：(1）設(shè)橢圓方程為2mym0,0),3將A(、(2,0)、)代橢圓E2

的方程，得9

11xy2解得m.∴橢圓E的方程4343

(也設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知a2類似計(jì)分）（2）知將直線l:y(x2代入橢圓的方程

并整理．得kxk3)0設(shè)直線l

與橢圓的交點(diǎn)M(,y),(,y)122

，由根系數(shù)的關(guān)，得12

14(2x323k(x直線AM的方程為：1(x即1(x11y(x由直線的方程為y2(x，(xx由直線AM與直線BN的程消去，得2(xxx)x)]11211(x)x122

2

24k2kx4k2k2x23k

∴直線AM與直線BN的點(diǎn)在直線x上．故樣的直線存在模型四：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)本質(zhì)上是垂直向量的題也以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)直角”的新應(yīng)用。例已知橢圓

:ab

的離心率為

22

,并直線是拋物線y

2

4x的一條切線（I）求橢的方程；1（Ⅱ）過(guò)點(diǎn))3

的動(dòng)直線L交圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒點(diǎn)T？存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存,請(qǐng)明理由。解(I）

yxy

消得:x

bx

因直線

y

x

相b4)2b-11

221112圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題221112212a2，所求橢圓方程為ya214以AB為直徑的圓的程：x))33

2

（II)當(dāng)L與x軸行,當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

2

,由

x))解x

xy即兩圓相切于（）因此，所求的T如果存,只能是（0）.事實(shí)上，點(diǎn)T(0，1)就是所的點(diǎn)，明如.當(dāng)直線L垂直于軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1若直線L不垂直于x軸，設(shè)直線L:ykx

由

13消去得:kxkx2記點(diǎn)(x)

、

B(xy),

12k1818k

又因TAxyTBy1224所以Axy)(kx)3

2

41612k16)xx))0318k318∴TA⊥TB即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0在標(biāo)平面上在一個(gè)定點(diǎn)（0,1）滿條件?！舴ńY(jié)：過(guò)定點(diǎn)題，可以先取特殊值或極值，找出這定點(diǎn)，再證明用直徑對(duì)圓周角為直角。22例2如圖，已知橢圓Ca的心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),a2點(diǎn)F是圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是x軸上位于A右的一點(diǎn)，且滿足（1)求橢的方程以及點(diǎn)D的標(biāo);

2DADFD1

。（2點(diǎn)D作x

軸的垂線n作直線l:ykx與圓有僅有一個(gè)公共點(diǎn)線l

交直線n于。求證:以線PQ為徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并出定點(diǎn)的坐標(biāo)。解:（1）(,0),A,0),c，設(shè)(x,0)，1111由有,Ax1又FD，x，是cc，又cc，a

A

P

F

Dn

lxc)(cc)2，，ca,橢圓:

x22

y2,且(2,0)。-12

00012212121111121圓錐曲線專(定點(diǎn)、定值問(wèn)題00012212121111121（2）法：(2,k,設(shè)P()0

kx，由kx)y222

)

k

2

x

2

m

2

,由于k

2

m

2

2

1)(2

2

0

2

2

0

2

k

2

（kmkm由*而由韋達(dá)定理x2kk2mm

，2k12kkx，(,mm設(shè)以線段PQ為徑的圓上任意一點(diǎn)(，由MP有22k12()(xykx2k))由對(duì)稱性知點(diǎn)m在x

軸上，令，取時(shí)滿足上式故過(guò)定點(diǎn)K.法2：本題又解取極值，PQ與平行，易得與X軸相交于F（1,0下來(lái)用相似證明。設(shè),得P線方x2;易(0,000設(shè)H1PH;HF;DQ;DFyHFDQ固相于FDQ，得PFQ90PHFD問(wèn)題得證

1y0

02y練（10廣州二文）已知橢圓C:a的焦點(diǎn)與拋物線:a2b2

2

4x的焦點(diǎn)重合，5橢圓C與拋物線C在第一象的交點(diǎn)為P，|PF。圓的圓心T是物線上的動(dòng)點(diǎn)，圓與y軸3交于M,兩，MN.（1）求橢C的程；1（2)證明無(wú)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處圓C恒過(guò)橢圓上定點(diǎn)（1)解法1:∵拋物:y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)的標(biāo)為(1,0)。2∴橢圓C