無窮小無窮大-極限運算法則

無窮小無窮大-極限運算法則第一頁，共31頁。第一章二、無窮大三、無窮小與無窮大的關系一、無窮小第四節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束無窮小與無窮大第二頁，共31頁。當一、無窮小定義1(P39).若時,函數(shù)則稱函數(shù)例1(P39):函數(shù)當時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當為時的無窮小.時為無窮小.機動目錄上頁下頁返回結束說明第三頁，共31頁。說明(P39):

2、0是可以作為無窮小的唯一常數(shù)時,函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.若(或)則時的無窮小.機動目錄上頁下頁返回結束1、無窮小不是很小的數(shù)定理1第四頁，共31頁。其中為時的無窮小量.定理1(P39)

.(無窮小與函數(shù)極限的關系)證:當時,有對自變量的其它變化過程類似可證.機動目錄上頁下頁返回結束無窮大第五頁，共31頁。二、無窮大定義2(P40)

.若任給M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當時為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機動目錄上頁下頁返回結束注意第六頁，共31頁。注意(P40):1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例(P42題6),函數(shù)當?shù)詴r,不是無窮大!機動目錄上頁下頁返回結束例2第七頁，共31頁。例2(P40).

證明證:任給正數(shù)M,要使即只要取則對滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明(P41):機動目錄上頁下頁返回結束無窮小無窮大關系第八頁，共31頁。三、無窮小與無窮大的關系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2(P41).

在自變量的同一變化過程中,說明:機動目錄上頁下頁返回結束定理2證明第九頁，共31頁。證設取當時，有即所以為當時的無窮小.反之，設且

取當

時，有由得所以為當時的無窮大.內(nèi)容小結第十頁，共31頁。內(nèi)容小結1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關系3.無窮小與無窮大的關系思考與練習P42題1,3P42題3提示:第五節(jié)目錄上頁下頁返回結束第十一頁，共31頁。第一章二、極限的四則運算法則三、復合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小運算法則第五節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束極限運算法則第十二頁，共31頁。時,有一、無窮小運算法則定理1(P43).有限個無窮小的和還是無窮小.證:考慮兩個無窮小的和.設當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.機動目錄上頁下頁返回結束說明第十三頁，共31頁。說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，(P56,題4(2))機動目錄上頁下頁返回結束類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.定理2第十四頁，共31頁。定理2(P43).

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:設又設即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1(P44)

.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2(P44)

.有限個無窮小的乘積是無窮小.機動目錄上頁下頁返回結束例1第十五頁，共31頁。例1(P48例8).

求解:

利用定理2(P43)可知機動目錄上頁下頁返回結束極限四則運算法則第十六頁，共31頁。二、極限的四則運算法則則有定理3(P44).

若機動目錄上頁下頁返回結束說明(P45):定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減、乘的情形.推論第十七頁，共31頁。推論1(P45).(C為常數(shù))推論2(P45).(n為正整數(shù))例2(P46).設

n次多項式試證證機動目錄上頁下頁返回結束定理4第十八頁，共31頁。定理4(P45)

.

若則有提示:因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3(P44)直接得出結論.機動目錄上頁下頁返回結束例3第十九頁，共31頁。

x=3時分母為0!例3(P46).

設有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明(P47):若不能直接用商的運算法則.例如.若機動目錄上頁下頁返回結束例4第二十頁，共31頁。例4(P47).

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因機動目錄上頁下頁返回結束由P41定理2有例5第二十一頁，共31頁。例5

.

求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機動目錄上頁下頁返回結束有理分式極限一般結果第二十二頁，共31頁。一般有如下結果(P48)：為非負常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機動目錄上頁下頁返回結束復合函數(shù)極限運算第二十三頁，共31頁。定理6(P48).設且x滿足時,又則有

說明(P49):

若定理中則類似可得機動目錄上頁下頁返回結束例7三、復合函數(shù)的極限運算法則第二十四頁，共31頁。例7.求解:令已知(見P47例3)∴原式=(見P34例5)機動目錄上頁下頁返回結束例8第二十五頁，共31頁。例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機動目錄上頁下頁返回結束內(nèi)容小結第二十六頁，共31頁。內(nèi)容小結1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復合函數(shù)極限求法設中間變量機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習第二十七頁，共31頁。思考及練習1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問機動目錄上頁下頁返回結束3題第二