五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)擴(kuò)展專題練習(xí)：數(shù)論.因數(shù)個(gè)數(shù)(A級(jí))全國(guó)通用

因數(shù)個(gè)課前預(yù)習(xí)富翁打有兩個(gè)富翁，一個(gè)頭腦精明，一個(gè)吝嗇刁鉆。貪財(cái)好利是他們的共同特點(diǎn)。一天，兩個(gè)富翁遇到了一起，雙方爭(zhēng)強(qiáng)好勝，話不投機(jī)，竟然打起賭來(lái)。精明的富翁說(shuō)可每天給元，只收回你1分吝嗇的富翁以為對(duì)方吹牛皮，便說(shuō)真的每天給我1萬(wàn)元，別說(shuō)我給你分錢(qián)，就是再給你千我也干“明富翁說(shuō)只是第一天，你我1分“道你第二天還要給我1萬(wàn)？”“的明富翁說(shuō)你第二天收了我的1，要給我分第天…沒(méi)等精明的富翁說(shuō)完，吝嗇的富翁急切地問(wèn)天你再給我，我給你“4分！就是說(shuō)，我每天得到的錢(qián)都是一天的兩倍吝嗇的富翁心想家伙可能神經(jīng)出了毛病天我下去的錢(qián)夠送多少天呢？“是人人都知道的百萬(wàn)富翁明的富翁打算都送給你，只拿出30萬(wàn)，先送你一個(gè)月足夠了。但是你給我的錢(qián)也1分能少吝嗇的富翁怕精明的富翁反悔，提出要簽協(xié)議。吝嗇的富翁說(shuō)敢訂協(xié)議？于是他們找來(lái)了幾個(gè)公證人，簽了協(xié)議。吝嗇的富翁回到家，高興得一夜沒(méi)合眼。天剛亮，對(duì)方提著萬(wàn)元送上門(mén)來(lái)，按約定他給了對(duì)方1錢(qián)。第二天，對(duì)方仍然如約送來(lái)了1萬(wàn)。他簡(jiǎn)直像做夢(mèng)一般，這樣下去一個(gè)月，便可以有萬(wàn)元的收入了！想著，想著，數(shù)錢(qián)的手都顫抖了！于是自己也如約給了對(duì)方2分。對(duì)方高高興興地拿走了2分，還叮囑了，明天給我分可是，多天以后，吝嗇的富翁突然要求終止打賭。對(duì)方以及一些證人當(dāng)然不會(huì)同意30天時(shí)間已經(jīng)過(guò)去大半了一方都無(wú)權(quán)不執(zhí)行協(xié)議最，吝嗇的富翁竟把全部家當(dāng)都輸光了。聰明的小朋友，你們說(shuō)這是為什么？原來(lái)呀，吝嗇的富翁在1個(gè)內(nèi)共得到元他需要付給對(duì)方的錢(qián)，總數(shù)是：＋＋4＋8＋1632…＋＝1073741823（分）（即：一千零七十三萬(wàn)七千四百一十八元二角三分。這是一個(gè)何等大的數(shù)目呀，吝嗇的富翁當(dāng)然會(huì)把全部家當(dāng)都輸光了。知識(shí)框架一、約數(shù)的概念與最大公約數(shù)排除在約數(shù)與倍數(shù)之外

．求最大公約數(shù)的方法①解因法先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)．例如：231，

，所以(231,252)；218②除：找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：6，以(12,18)；3③轉(zhuǎn)除：一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)到余數(shù)是0為那么最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)如果最后的除數(shù)是1，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì))例如，求600和1515的大公約：1515315；315；31528530；285301530；所以和600的大公約數(shù)是15．

．最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)n，得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以．求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b

即為所求二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1.求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：231，

，所以

2772；②短除法求最小公倍數(shù)；218例如：3963

，所以；③[a,]

a(a)

．2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積．兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)出個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)3515即為所求．例如：[]412

b出個(gè)分?jǐn)?shù)母的最大公約數(shù)b；a4注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整.如：32,3三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)．兩自數(shù)別以們的大約，得商質(zhì)

如果m為的大公約數(shù)Ama么、b互質(zhì)以AB最小公倍數(shù)為mab，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：①Amb即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；②最大公約數(shù)是A、B、、A及小倍數(shù)的約數(shù)．．兩數(shù)最公和小公的積于兩數(shù)乘。即ab),]，此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易掌握。．對(duì)任3連續(xù)的然，果個(gè)續(xù)的偶為a奇奇那么三數(shù)乘等這個(gè)的小倍例如：5，就的小公倍數(shù))偶偶那這個(gè)的積于三數(shù)小倍數(shù)倍例如：6，而的最小公倍數(shù)為168性質(zhì)（不是一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，但是也比較有于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積”四、求約數(shù)個(gè)數(shù)與所有約數(shù)的和

．求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指(次數(shù))加1后得的乘積。如1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后

，以它的約數(shù)(包括和1400本)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過(guò)程是建立在篇講過(guò)的數(shù)字唯分解定形基礎(chǔ)之，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來(lái)的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分常考的偏難題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，先告訴一個(gè)數(shù)有多少個(gè)約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原“原構(gòu)出來(lái)，者“造出可能的最”

．求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個(gè)整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：

，以21000所約數(shù)的和為

3)(1

此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)性的記憶即可。重難點(diǎn)重點(diǎn)：

本講中的知識(shí)點(diǎn)并不難理解，對(duì)于約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、最小公倍數(shù)的定義我們?cè)趯W(xué)校的課本上都已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，所以重點(diǎn)在于一些性質(zhì)的應(yīng)用，完全平方數(shù)在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以于平方差公式還有一些主要性質(zhì)一定要記難點(diǎn)：

核心目標(biāo)是讓孩子對(duì)數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，即所謂的整數(shù)唯一分解定理，教師可以在課前讓學(xué)生練習(xí)幾個(gè)兩位或三位整數(shù)的分解，然后幫學(xué)生做一個(gè)找規(guī)律式的不完全歸納讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟原來(lái)任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為

eq\o\ac(△,☆)

eq\o\ac(△,☆)

eq\o\ac(△,☆)

的結(jié)構(gòu)例題精講【例】數(shù)360的數(shù)有多少?這約數(shù)的和是多少?【鞏固】數(shù)160的數(shù)個(gè)數(shù)是多少？它們的和是多少？它們的積【例】求在到中，恰好有0個(gè)約數(shù)的所有自然.【鞏固】在到1中恰好有6個(gè)數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？1【例】甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7并且甲數(shù)除以乙數(shù)所得的商是乙是8【鞏固】甲數(shù)是，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288那么乙數(shù)是多少？（★★）【例】如圖，鼴鼠和老鼠分別從長(zhǎng)米的小兩端AB始向另一端挖洞。老鼠對(duì)鼴鼠說(shuō)你完后，我再挖?！边@一來(lái)，由于老鼠原來(lái)要挖的一些洞恰好是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少個(gè)洞？【鞏固有些小朋友排成一行，從左面第一人開(kāi)始每隔人一個(gè)蘋(píng)果；從右面第一人開(kāi)始每隔人發(fā)一個(gè)桔子，結(jié)果有10個(gè)朋友蘋(píng)果和桔子都拿.那么這些小朋友最多有多少人？（★★）【例】已知正整數(shù)a之差為，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的05倍那么a較大的數(shù)是多少？【鞏固】已知兩個(gè)自然數(shù)的和為，它們的最小公倍數(shù)與最公約數(shù)的差為114，求這兩個(gè)自然數(shù)．【例2008第屆IMC國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（加坡）年級(jí)復(fù)賽）如圖A、BC是三個(gè)順次咬和的齒輪，當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈，B恰好轉(zhuǎn)3圈當(dāng)轉(zhuǎn)圈，恰轉(zhuǎn)5圈，則A、B、C的數(shù)的最數(shù)分別是多少？A

B

C【鞏固】一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的約數(shù)之和為，么此數(shù)為幾？【例】恰有個(gè)約數(shù)的兩位數(shù)有個(gè)．【鞏固】能被整且恰有個(gè)數(shù)的數(shù)有

個(gè)．【例】已知偶數(shù)A不4的數(shù)倍，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為12求4A的數(shù)的個(gè).【鞏固】自然數(shù)N有45正約數(shù)N的小值為?！纠狝數(shù)個(gè)約數(shù)B數(shù)12約數(shù)A的小公倍數(shù)則B

．【鞏固】如果你寫(xiě)出的所有約數(shù)1除外，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的倍現(xiàn)有一個(gè)整數(shù)，除掉它的約數(shù)n外剩下的數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15，那么滿足條件的整數(shù)哪些？課堂檢測(cè)、24有多少個(gè)約數(shù)？這些約數(shù)的和是多少？、筐里有300個(gè)桃子，如果不是一次全部拿出，也不一個(gè)一個(gè)地拿，要求每次的個(gè)數(shù)同樣多，拿到最后正好不多不少，問(wèn)共有多少種不同的拿法？、在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成等，第二種刻度線把木棍分成等份，第三種刻度線把木棍分成等份，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？、在三位數(shù)中，恰有9約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？、1001的倍中，共有

個(gè)數(shù)恰有1001個(gè)約數(shù)．A,B兩都僅含有質(zhì)因數(shù)和它們的大公約數(shù)是已數(shù)A有12個(gè)數(shù)數(shù)B有10約數(shù)那么數(shù)的和等于多少?復(fù)習(xí)總結(jié)、最公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)、求一整數(shù)的所有約數(shù)的和、求一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)家庭作業(yè)、筐里有個(gè)桃子，如果不是一次全部拿出，也不一個(gè)一個(gè)地拿，求每次的個(gè)數(shù)同樣多，拿到最后正好不多不少，問(wèn)共有多少種不同的拿法？、馬和李虎計(jì)算、乙兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積473李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積，那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)、能