理論力學(xué)課件之動靜法

第九章達(dá)蘭貝爾原理§9–1慣性力的概念

§9–2達(dá)蘭貝爾原理§9–3剛體慣性力系的簡化

第九章達(dá)蘭貝爾原理本章重點(diǎn)：剛體慣性力系的簡化，質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)蘭貝爾原理。本章難點(diǎn)：如何求加速度，如何虛加慣性力系的主矢和主矩。動力學(xué)普遍定理，是解決動力學(xué)問題的普遍方法，在一定條件下也是簡捷而有效的方法。本章介紹解答動力學(xué)問題的另一種方法——達(dá)蘭貝爾原理或譯為達(dá)朗伯原理。應(yīng)用這一原理，就將動力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，從而根據(jù)關(guān)于平衡的理論來求解。這種解答動力學(xué)問題的方法，因而也稱動靜法。4§9-1慣性力的概念由于物體的慣性，當(dāng)其運(yùn)動狀態(tài)因受力而發(fā)生改變時，產(chǎn)生的作用于施力物體上的力稱為慣性力。力是由于小車具有慣性，力圖保持原來的運(yùn)動狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。例如人用力推車，使車產(chǎn)生加速度，同時，車也給人手一個反作用力：5③慣性力作用在使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生加速度的其他施力物體上。①

大小：FJ=ma②

方向：與相反按不同坐標(biāo)系，慣性力可分解為：——切向慣性力——法...............

定義：質(zhì)點(diǎn)慣性力

加速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，對迫使其產(chǎn)生加速運(yùn)動的物體的慣性反抗的總和。6§9-2達(dá)蘭貝爾原理非自由質(zhì)點(diǎn)M：質(zhì)量m，受主動力，約束反力作用，、的合力為由牛頓第二定律：假象地將作用在M上，則即：一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)蘭貝爾原理表明：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的每一瞬時，假象地加上此質(zhì)點(diǎn)的慣性力，則慣性力與質(zhì)點(diǎn)的主動力、約束反力在形式上組成一平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)蘭貝爾原理。7這樣，質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)問題就可以用靜力學(xué)的方法來解。但要注意：該方程對動力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，而實(shí)際上慣性力并不作用在質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)并不平衡。采用動靜法解決動力學(xué)問題的最大優(yōu)點(diǎn)，就是可以利用靜力學(xué)提供的解題方法，給動力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。也就是：對于動力學(xué)問題，假想地加上慣性力，就可以用平衡方程求解。8對整個質(zhì)點(diǎn)系，如果在每一個質(zhì)點(diǎn)上都假象地加上慣性力，則主動力系、約束反力系、慣性力系在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)蘭貝爾原理。可用方程表示為：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，對任一質(zhì)點(diǎn)，虛加慣性力，則有二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)蘭貝爾原理對于每一個研究對象，平面問題有三個平衡方程，空間問題有六個平衡方程。9

§9-3剛體慣性力系的簡化一般質(zhì)點(diǎn)系，在應(yīng)用動靜法時，可在每一質(zhì)點(diǎn)上虛加相應(yīng)的慣性力，但對于剛體這樣由無窮多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，則不可能逐個質(zhì)點(diǎn)虛加慣性力。怎么辦？可以采用靜力學(xué)中的力系簡化的理論，求出各質(zhì)點(diǎn)慣性力所組成的慣性力系的主矢和主矩，來代替慣性力系。這樣，在剛體上虛加了慣性力系的主矢和主矩，就相當(dāng)于在剛體上的各個質(zhì)點(diǎn)上虛加了慣性力。10一、剛體作作平動慣性力系向向質(zhì)心C簡化：故剛體平動動時慣性力力系合成為為一過質(zhì)心心的合慣性性力。作用在質(zhì)心心11直線i各點(diǎn)加速度度相同，故故其慣性力力可以合成成為過對對稱點(diǎn)Mi的一個力：：這樣，空間間慣性力系系→質(zhì)量對對稱面的平平面慣性力力系。向轉(zhuǎn)軸與對稱平面面的交點(diǎn)O點(diǎn)簡化：主矢：二、定軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動剛體設(shè)剛體具有有垂直于轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量量對稱平面面。O主矩：12即：向O點(diǎn)簡化：作用在O點(diǎn)作用在C點(diǎn)若向質(zhì)心C簡化，同理理可得實(shí)際應(yīng)用時時可將慣性性主矢分解解：13討論：①若e=0，轉(zhuǎn)軸軸不通過質(zhì)質(zhì)點(diǎn)C，向轉(zhuǎn)軸簡簡化，則②若轉(zhuǎn)軸過質(zhì)質(zhì)點(diǎn)C，且0，則③若e=0且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)質(zhì)心C，則三、剛體作作平面運(yùn)動動假設(shè)剛體具具有質(zhì)量對對稱平面，，并且平行行于該平面面作平面運(yùn)運(yùn)動。此時時，剛體的的慣性力系系可先簡化化為對稱平平面內(nèi)的平平面力系。。14剛體平面運(yùn)運(yùn)動可分解解為隨基點(diǎn)（質(zhì)質(zhì)點(diǎn)C）的平動：：繞通過質(zhì)心心軸的轉(zhuǎn)動動：作用于質(zhì)心C無論剛體作作平動、定定軸轉(zhuǎn)動還還是平面運(yùn)運(yùn)動，慣性性力系向質(zhì)心簡化化，都得到一一個力（慣性力系系的主矢））：大小等于于剛體質(zhì)量量與質(zhì)心加加速度的乘乘積，方向向與質(zhì)心加加速度方向向相反，作作用在質(zhì)心心；及一個個力偶（慣性力系系的主矩））：大小等于于剛體對質(zhì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動慣量與剛剛體角加速速度的乘積積，方向與與角加速度度方向相反反。15根據(jù)動靜法法，可以用用靜力學(xué)平平衡方程的的形式來建建立動力學(xué)學(xué)方程。應(yīng)應(yīng)用動靜法法既可求運(yùn)運(yùn)動，例如如加速度、、角加速度度；也可以以求力。應(yīng)用動靜法法可以利用用靜力學(xué)建建立平衡方方程的一切切形式上的的便利。例例如，矩心心可以任意意選取，二二矩式，三三矩式等等等。因此當(dāng)當(dāng)問題中有有多個約束束反力時，，應(yīng)用動靜靜法求解它它們時就方方便得多。。動靜法的應(yīng)應(yīng)用16①選取研究究對象。原則與靜靜力學(xué)相同同。②受力分析析。畫出全部主主動力和外外約束反力力。③運(yùn)動分析析。主要是剛體體質(zhì)心加速速度，剛體體角加速度度，標(biāo)出方向。應(yīng)用動靜法法求動力學(xué)學(xué)問題的步步驟及要點(diǎn)點(diǎn)：④虛加慣性性力。在受力圖上上畫上慣性性力和慣性性力偶，一一定要在正確進(jìn)進(jìn)行運(yùn)動分分析的基礎(chǔ)礎(chǔ)上。熟記記剛體慣性力系的簡簡化結(jié)果。。17⑤列動靜方程程。選取適當(dāng)?shù)木鼐匦暮屯队拜S軸。⑥建立補(bǔ)充方方程。運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方方程（運(yùn)動量量之間的關(guān)系系）。⑦求解未知量量。

[注意]

的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時，只需按 計算即可。18[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分分別掛在兩條條繩子上，繩繩又分別繞在在半徑為r1和r2并裝在同一軸軸的兩鼓輪上上，已知兩鼓輪對對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為為J，系統(tǒng)在重力作作用下發(fā)生運(yùn)運(yùn)動，求鼓輪的角加加速度及O處反力。取系統(tǒng)為研究究對象解：方法1用用動靜法求求解請看動畫19返回20虛加慣性力和和慣性力偶：：則：運(yùn)動學(xué)關(guān)系：：重物1：重物2：輪：21xy22方法2用用動量矩定理理求解根據(jù)動量矩定定理：取系統(tǒng)為研究究對象23取系統(tǒng)為研究究對象，任一一瞬時系統(tǒng)的的動能兩邊除以dt，得方法3用用動能定理理求解方法2、3須須用質(zhì)心運(yùn)動動定理求O處反力當(dāng)輪逆時針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過dj時，所有力的的元功：24[例2]在圖示機(jī)構(gòu)中中，均質(zhì)圓柱體A、O重分別為P和Q，半徑均為R，A作純滾動。繩子不可伸長長，其質(zhì)量不不計，斜面傾傾角，如在O上作用一常力力偶矩M，試試求：(1)圓柱體O的角加速度？？(2)繩子的的拉力？(3)軸承O處的反力？(4)圓柱體A與斜面間的摩摩擦力（不計滾動摩摩擦）？25解：（1）取輪O為研究對象，，虛加慣性力力偶列平衡方程：：（2）取輪A為研究對象，，虛加慣性力力。26列出平衡方程程：運(yùn)動學(xué)關(guān)系：，將及及運(yùn)動學(xué)學(xué)關(guān)系代入到到(1)和(4)式并聯(lián)聯(lián)立求解得：：27代入(2)、、(3)、(5)式，得得：28方法2用用動力學(xué)普遍遍定理求解(1)求鼓鼓輪角加速度度。取系統(tǒng)為研究究對象兩邊對t求導(dǎo)數(shù)：T1=C（常數(shù)）當(dāng)輪O順時針轉(zhuǎn)過j角時：29由剛體定軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動微分方程程：得得(2)求繩繩子拉力取輪O為研究對象，，(3)求軸軸承O處支反力取輪O為研究對象，，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)運(yùn)動定理：30(4)求A與斜面間的摩摩擦力取圓柱體A為研究對象，，根據(jù)剛體平面面運(yùn)動微分方方程31[例3]均質(zhì)圓柱體重重P，半徑R，自O(shè)點(diǎn)無滑動地沿沿傾斜板由靜靜止開始滾動動。板與水平平成角，試求OA=S時板在O點(diǎn)的約束反力力。板重略去不不計。解：圓柱體作平平面運(yùn)動，設(shè)設(shè)其質(zhì)心加速速度為a，虛加慣性力力P（1）取圓柱柱體為研究對對象：32（2）取系統(tǒng)統(tǒng)體為研究對對象：33解：繞線輪作平平面運(yùn)動由將FJ、MOJ代入上式，可可得[例4]繞線輪重P，半徑為R及r，對質(zhì)心O的回轉(zhuǎn)半徑為為r，且r2=Rr，輪在常力作用下作純滾動，已知，不計滾阻，，求：(1)輪輪心的加速度度；(2)分分析輪純滾動動的條件。34純滾動的條件件：F≤fN35解：BD作平動，A相對于BD不動，所以：：[例5]重W2的板BD由兩根等長且且平行的細(xì)繩繩懸掛，板上上放置重W1且不計大小的物塊A。系統(tǒng)從圖示位位置無初速開開始運(yùn)動，求求此瞬時A物不在BD上滑動的接觸觸面的靜摩擦擦系數(shù)。（1）以物A及BD為研究對象：：x將FAJ、FCJ代入得aC=gsinq36（2）以物A為研究對象：：A在BD上不滑動，必必須F≤fN，解（1）以AB為研究對象：：設(shè)其質(zhì)心加速速度為aC、角加速度為為eAB，則[例6]圖示系統(tǒng)，均均質(zhì)桿AB：m1=2